9. (2026·苏州中考)如图①,点O位于竖直墙面l上,平面镜AB与墙面l平行,从点O射出一束激光,经过平面镜AB的反射,在墙面l上形成一个光点C,OC所在直线垂直于水平面.入射光线OP与平面镜AB的夹角∠OPA=60°.(根据光的反射定律可知:反射光线与镜面的夹角等于入射光线与镜面的夹角)
(1)求证:△OPC是等边三角形.
(2)如图②,将图①中的平面镜AB绕点P顺时针旋转7.5°到A'B'位置,入射光线OP经过平面镜的反射后,在墙面l上形成光点E,点E在直线OC上.
①∠OPE=°;
②若OC=60厘米,求光点向下移动的距离CE的长(结果保留根号).

9. (1)
∵ ∠OPA = 60°,
∴ 根据光的反射定律可知∠BPC =∠OPA=60°.
∴ ∠OPC=180°-∠OPA-∠BPC=60°.
∵ AB//l,
∴ ∠POC=∠OPA=60°.
∴ △OPC 是等边三角形.
(2)①75 解析:
∵ ∠OPA=60°,平面镜 AB 绕点 P 顺时针旋转7.5°到A'B'位置,
∴ 根据光的反射定律可知∠EPB'=∠OPA'=∠OPA-7.5°=52.5°,
∴ ∠OPE=180°-∠EPB'-∠OPA'=75°.
②如图,过点 P 作 PF ⊥ OE 于 F,
由(1)知 ∠OPC = 60°,由 ① 知 ∠OPE = 75°,
∴ ∠CPE=∠OPE-∠OPC=15°.
由(1)知△OPC 是等边三角形,又知 OC=60 厘米,
∴ OP=CP=OC=60 厘米.又
∵ PF ⊥ OE,
∴ ∠CPF=1/2 ∠OPC=30°,CF=1/2 OC = 30 厘米,
∴ ∠EPF = ∠CPF + ∠CPE = 45°,
∴ △EPF是等腰直角三角形,
∴ PF = EF.在 Rt△CPF 中,cos∠CPF=PF/CP,
∴ EF = PF = CP · cos ∠CPF = 60×cos 30°=60×√3/2=30√3(厘米),
∴ CE=EF-CF=(30√3-30)厘米,即光点向下移动的距离 CE 的长为(30√3-30)厘米.

10. 新趋势 数学文化 (连云港中考)图①是古代数学家杨辉在《详解九章算法》中对“邑的计算”的相关研究.数学兴趣小组也类比进行了如下探究:如图②,正八边形游乐城$A_1A_2A_3A_4-A_5A_6A_7A_8$的边长为$\frac{\sqrt{2}}{2}$km,南门O设立在$A_6A_7$边的正中央,游乐城南侧有一条东西走向的道路BM,$A_6A_7$在BM上(门宽及门与道路间距离忽略不计),东侧有一条南北走向的道路BC,C处有一座雕塑.在$A_1$处测得雕塑在北偏东$45°$方向上,在$A_2$处测得雕塑在北偏东$59°$方向上.
(1)$∠ CA_1A_2=$$°$,$∠ CA_2A_1=$$°$;
(2)求点$A_1$到道路BC的距离;
(3)若该小组成员小李出南门O后沿道路MB向东行走,求她离B处不超过多少千米,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响?
(结果精确到0.1 km,参考数据:$\sqrt{2}\approx1.41$,$\sin76°\approx0.97$,$\tan76°\approx4.00$,$\sin59°\approx0.86$,$\tan59°\approx1.66$)

10. (1)90 76 解析:
∵ 正八边形的一个外角的度数为360°/8=45°,
∴ ∠CA₁A₂=45°+45°=90°,∠CA₂A₁=180°-45°-59°=76°.
(2)如图,过点 A₁ 作 A₁D ⊥ BC,垂足为 D.在 Rt△CA₂A₁中,A₂A₁=√2/2 km,∠CA₂A₁=76°,
∴ CA₁=A₁A₂ · tan 76°≈√2/2 ×4.00=2√2(km).在 Rt△CA₁D 中,∠CA₁D=90°-45°=45°,
∴ A₁D=CA₁ · cos 45°=2√2×√2/2=2.0(km).
答:点 A₁ 到道路 BC 的距离为 2.0 km.
(3)如图,连接 CA₈ 并延长交 BM 于点 E,延长 A₁A₈ 交 BE于点 G,过点 A₈ 作 A₈F ⊥ BC,垂足为 F.
∵ 正八边形的外角均为 45°,
∴ 在Rt△A₇A₈G 中,A₈G=1/2 km,
∴ FB=A₈G=1/2 km. 又
∵ A₈F = A₁D = CD = 2 km,DF = A₁A₈ = √2/2 km,
∴ CB=CD+DF+FB=(5+√2)/2 km.
∵ ∠CFA₈ = ∠B,∠FCA₈ =∠BCE,
∴ Rt△CA₈F ∽ Rt△CEB,
∴ CF/CB = A₈F/EB,即(2+√2/2)/((5+√2)/2) = 2/EB.
∵ √2≈1.41,
∴ EB≈2.4 km.答:小李离 B 处不超过2.4 km,才能确保观察雕塑不会受到游乐城的影响.