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1. 下列各式中，属于整式的是 （
A.$\dfrac{1}{x}$
B.$x^2 + 2y = 1$
C.$\dfrac{x^2 + x}{2}$
D.$\dfrac{1}{2x + 1}$
C
）A.$\dfrac{1}{x}$
B.$x^2 + 2y = 1$
C.$\dfrac{x^2 + x}{2}$
D.$\dfrac{1}{2x + 1}$
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确整式的判定规则：①整式属于代数式，不能含有等号、不等号等符号；②整式的分母中不能含有字母。我们按照这个规则逐一判断每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式是代数式的一种，且分母中不含有字母。
对各选项逐一分析：
选项A：$\dfrac{1}{x}$的分母中含有字母$x$，属于分式，不是整式；
选项B：$x^2 + 2y = 1$是含有等号的等式，不属于代数式，自然不是整式；
选项C：$\dfrac{x^2 + x}{2}$可变形为$\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x$，是多项式，分母为常数2，不含字母，属于整式；
选项D：$\dfrac{1}{2x + 1}$的分母中含有字母$x$，属于分式，不是整式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式的定义 2. 分式的判定 3. 代数式的分类
【点评】
本题是整式判定的基础题，解题核心是准确把握整式的两个核心特征：属于代数式、分母不含字母，注意不要将等式、不等式等非代数式误判为整式，也要注意区分整式和分式的根本区别是分母是否含字母。
【难度系数】
0.8
要解决这道题，首先要明确整式的判定规则：①整式属于代数式，不能含有等号、不等号等符号；②整式的分母中不能含有字母。我们按照这个规则逐一判断每个选项即可得到正确答案。
【解析】
首先回忆整式的定义：单项式和多项式统称为整式，整式是代数式的一种，且分母中不含有字母。
对各选项逐一分析：
选项A：$\dfrac{1}{x}$的分母中含有字母$x$，属于分式，不是整式；
选项B：$x^2 + 2y = 1$是含有等号的等式，不属于代数式，自然不是整式；
选项C：$\dfrac{x^2 + x}{2}$可变形为$\dfrac{1}{2}x^2 + \dfrac{1}{2}x$，是多项式，分母为常数2，不含字母，属于整式；
选项D：$\dfrac{1}{2x + 1}$的分母中含有字母$x$，属于分式，不是整式。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
1. 整式的定义 2. 分式的判定 3. 代数式的分类
【点评】
本题是整式判定的基础题，解题核心是准确把握整式的两个核心特征：属于代数式、分母不含字母，注意不要将等式、不等式等非代数式误判为整式，也要注意区分整式和分式的根本区别是分母是否含字母。
【难度系数】
0.8
2. 与单项式$x^2y^3$是同类项的是 （
A.$x^3y^2$
B.$3x^2$
C.$\dfrac{x^3y^2}{2}$
D.$-y^3x^2$
D
）A.$x^3y^2$
B.$3x^2$
C.$\dfrac{x^3y^2}{2}$
D.$-y^3x^2$
答案
2. D
解析
【分析】
要判断哪个单项式和$x^2y^3$是同类项，首先回忆同类项的判定标准：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别相同，这两个条件需同时满足，且同类项与系数大小、字母的排列顺序无关。解题时只需将每个选项按上述两个标准逐一和$x^2y^3$比对，全部符合的即为正确答案。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，同类项与系数、字母排列顺序无关。
选项A：$x^3y^2$中x的指数为3，y的指数为2，与$x^2y^3$中相同字母的指数不一致，不是同类项；
选项B：$3x^2$中只含字母x，不含字母y，所含字母不同，不是同类项；
选项C：$\dfrac{x^3y^2}{2}$中x的指数为3，y的指数为2，与$x^2y^3$中相同字母的指数不一致，不是同类项；
选项D：$-y^3x^2$所含字母为x、y，x的指数为2，y的指数为3，符合同类项的判定标准，是同类项。
【答案】
D
【知识点】
同类项的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，掌握同类项的两个判定条件即可快速作答，解题时注意不要被字母的排列顺序、系数大小误导。
【难度系数】
0.8
要判断哪个单项式和$x^2y^3$是同类项，首先回忆同类项的判定标准：①所含字母完全相同；②相同字母的指数也分别相同，这两个条件需同时满足，且同类项与系数大小、字母的排列顺序无关。解题时只需将每个选项按上述两个标准逐一和$x^2y^3$比对，全部符合的即为正确答案。
【解析】
根据同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项叫做同类项，同类项与系数、字母排列顺序无关。
选项A：$x^3y^2$中x的指数为3，y的指数为2，与$x^2y^3$中相同字母的指数不一致，不是同类项；
选项B：$3x^2$中只含字母x，不含字母y，所含字母不同，不是同类项；
选项C：$\dfrac{x^3y^2}{2}$中x的指数为3，y的指数为2，与$x^2y^3$中相同字母的指数不一致，不是同类项；
选项D：$-y^3x^2$所含字母为x、y，x的指数为2，y的指数为3，符合同类项的判定标准，是同类项。
【答案】
D
【知识点】
同类项的判定
【点评】
本题属于基础概念考查题，掌握同类项的两个判定条件即可快速作答，解题时注意不要被字母的排列顺序、系数大小误导。
【难度系数】
0.8
3. 把多项式$2(-a+b)$去括号,结果正确的是 （
A.$2a+2b$
B.$2a-2b$
C.$-2a+2b$
D.$-2a-2b$
C
）A.$2a+2b$
B.$2a-2b$
C.$-2a+2b$
D.$-2a-2b$
答案
3. C
解析
【分析】
本题考查去括号运算，解题思路遵循乘法分配律：括号外的因数要分别乘括号内的每一项，同时注意各项的符号变化。首先明确括号外的因数是2（正数），括号内的两项分别是-a和+b，分别计算2与这两项的乘积，再把结果相加即可得到去括号后的结果。
【解析】
根据乘法分配律，将括号外的2分别乘括号内的每一项：
$2(-a+b)=2×(-a) + 2× b$
计算得：$2×(-a)=-2a$，$2× b=2b$
合并两项结果为：$-2a+2b$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、乘法分配律
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查去括号的规则，易错点是运算时容易搞错符号或者漏乘括号内的项，熟练掌握乘法分配律和去括号的符号规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查去括号运算，解题思路遵循乘法分配律：括号外的因数要分别乘括号内的每一项，同时注意各项的符号变化。首先明确括号外的因数是2（正数），括号内的两项分别是-a和+b，分别计算2与这两项的乘积，再把结果相加即可得到去括号后的结果。
【解析】
根据乘法分配律，将括号外的2分别乘括号内的每一项：
$2(-a+b)=2×(-a) + 2× b$
计算得：$2×(-a)=-2a$，$2× b=2b$
合并两项结果为：$-2a+2b$
因此选C选项。
【答案】
C
【知识点】
去括号法则、乘法分配律
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查去括号的规则，易错点是运算时容易搞错符号或者漏乘括号内的项，熟练掌握乘法分配律和去括号的符号规律即可快速解题。
【难度系数】
0.8
4. 下列计算正确的是 （
A.$3x^2 + 2x^2 = 5x^4$
B.$3a + 2b = 6ab$
C.$a^3 + a^2 = a^5$
D.$x^2 - 3x^2 = -2x^2$
D
）A.$3x^2 + 2x^2 = 5x^4$
B.$3a + 2b = 6ab$
C.$a^3 + a^2 = a^5$
D.$x^2 - 3x^2 = -2x^2$
答案
4. D
解析
【分析】
这道题考查合并同类项的相关知识，解题思路是先明确同类项的判定标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，只有同类项才能合并；再根据合并同类项的法则：合并时只把系数相加减，字母和字母的指数保持不变，逐个判断每个选项的运算是否正确。
【解析】
首先明确两个核心运算规则：①只有同类项才可以合并；②合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变。
A选项：$3x^2$和$2x^2$是同类项，合并后应为$(3+2)x^2=5x^2$，不是$5x^4$，故A错误；
B选项：$3a$和$2b$所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B错误；
C选项：$a^3$和$a^2$中相同字母$a$的指数不同，不是同类项，不能合并，故C错误；
D选项：$x^2$和$-3x^2$是同类项，合并后为$(1-3)x^2=-2x^2$，运算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对同类项的判断以及合并同类项规则的掌握，常见错误是混淆合并规则将指数相加，或是对非同类项强行合并，解题时只要牢记相关规则即可快速判断。
【难度系数】
0.9
这道题考查合并同类项的相关知识，解题思路是先明确同类项的判定标准：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相同的项是同类项，只有同类项才能合并；再根据合并同类项的法则：合并时只把系数相加减，字母和字母的指数保持不变，逐个判断每个选项的运算是否正确。
【解析】
首先明确两个核心运算规则：①只有同类项才可以合并；②合并同类项时，系数相加减，字母和字母的指数不变。
A选项：$3x^2$和$2x^2$是同类项，合并后应为$(3+2)x^2=5x^2$，不是$5x^4$，故A错误；
B选项：$3a$和$2b$所含字母不同，不是同类项，不能合并，故B错误；
C选项：$a^3$和$a^2$中相同字母$a$的指数不同，不是同类项，不能合并，故C错误；
D选项：$x^2$和$-3x^2$是同类项，合并后为$(1-3)x^2=-2x^2$，运算正确，故D正确。
【答案】
D
【知识点】
同类项的定义；合并同类项法则
【点评】
本题属于基础运算类题目，重点考查对同类项的判断以及合并同类项规则的掌握，常见错误是混淆合并规则将指数相加，或是对非同类项强行合并，解题时只要牢记相关规则即可快速判断。
【难度系数】
0.9
5. 把多项式$2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2 +6$合并同类项后，所得结果是（
A.单项式
B.一次二项式
C.二次二项式
D.二次三项式
B
）A.单项式
B.一次二项式
C.二次二项式
D.二次三项式
答案
5. B
解析
【分析】
解题时首先要明确合并同类项的核心思路：先识别出多项式中的同类项（即所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），再将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最后根据合并后的结果判断多项式的类型即可。具体步骤为：先分别归类$x^2$项、$x$项、常数项，再分别计算每类同类项合并后的结果，最后判断整式类型。
【解析】
首先对原式中的同类项进行分组计算：
$\begin{aligned}2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2 +6&=(2x^2 + x^2 - 3x^2) + (-5x + 4x) + 6\\&=(2+1-3)x^2 + (-5+4)x + 6\\&=0· x^2 -x +6\\&=-x +6\end{aligned}$
合并后的结果$-x+6$含有2项，最高次项的次数是1，属于一次二项式，故选B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的识别；合并同类项；多项式的分类
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查合并同类项的运算能力，只要熟练掌握同类项的判断方法和合并同类项的法则，准确计算系数即可得分。
【难度系数】
0.85
解题时首先要明确合并同类项的核心思路：先识别出多项式中的同类项（即所含字母相同，且相同字母的指数也相同的项），再将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变，最后根据合并后的结果判断多项式的类型即可。具体步骤为：先分别归类$x^2$项、$x$项、常数项，再分别计算每类同类项合并后的结果，最后判断整式类型。
【解析】
首先对原式中的同类项进行分组计算：
$\begin{aligned}2x^2 -5x +x^2 +4x -3x^2 +6&=(2x^2 + x^2 - 3x^2) + (-5x + 4x) + 6\\&=(2+1-3)x^2 + (-5+4)x + 6\\&=0· x^2 -x +6\\&=-x +6\end{aligned}$
合并后的结果$-x+6$含有2项，最高次项的次数是1，属于一次二项式，故选B。
【答案】
B
【知识点】
同类项的识别；合并同类项；多项式的分类
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查合并同类项的运算能力，只要熟练掌握同类项的判断方法和合并同类项的法则，准确计算系数即可得分。
【难度系数】
0.85
6. 已知代数式$A=9x^2 -4x -3$，$B=2x^3 -mx^2 +5$，若$A-B$的值中不含$x^2$项，则$m$的值为 （
A.0
B.3
C.9
D.$-9$
D
）A.0
B.3
C.9
D.$-9$
答案
6. D
解析
【分析】
要解决这个问题，首先要明确“$A-B$的值中不含$x^2$项”的含义：即对$A-B$进行整式加减运算、合并同类项后，$x^2$项的系数为0。解题思路分为三步：第一步列式表示$A-B$；第二步去括号、合并同类项，整理出$x^2$项的系数；第三步令$x^2$项的系数等于0，列方程求解$m$即可。
【解析】
先代入$A$、$B$的表达式计算$A-B$：
$\begin{aligned}A-B&=(9x^2 -4x -3)-(2x^3 -mx^2 +5)\\&=9x^2 -4x -3 -2x^3 +mx^2 -5\\&=-2x^3 + (9+m)x^2 -4x -8\end{aligned}$
因为$A-B$的值不含$x^2$项，所以$x^2$项的系数为0，可得：
$9+m=0$
解得$m=-9$
【答案】
D
【知识点】
整式的加减；合并同类项；多项式项的系数
【点评】
本题考查整式加减中“不含某项”类问题的解法，核心是理解不含某一项就是合并同类项后该项的系数为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先要明确“$A-B$的值中不含$x^2$项”的含义：即对$A-B$进行整式加减运算、合并同类项后，$x^2$项的系数为0。解题思路分为三步：第一步列式表示$A-B$；第二步去括号、合并同类项，整理出$x^2$项的系数；第三步令$x^2$项的系数等于0，列方程求解$m$即可。
【解析】
先代入$A$、$B$的表达式计算$A-B$：
$\begin{aligned}A-B&=(9x^2 -4x -3)-(2x^3 -mx^2 +5)\\&=9x^2 -4x -3 -2x^3 +mx^2 -5\\&=-2x^3 + (9+m)x^2 -4x -8\end{aligned}$
因为$A-B$的值不含$x^2$项，所以$x^2$项的系数为0，可得：
$9+m=0$
解得$m=-9$
【答案】
D
【知识点】
整式的加减；合并同类项；多项式项的系数
【点评】
本题考查整式加减中“不含某项”类问题的解法，核心是理解不含某一项就是合并同类项后该项的系数为0，熟练掌握去括号、合并同类项的运算法则是解题的基础。
【难度系数】
0.7
7. 一个两位数，十位数字是$a$，个位数字是$b$，则这个两位数是（
A.$ab$
B.$a+b$
C.$10ab$
D.$10a+b$
D
）A.$ab$
B.$a+b$
C.$10ab$
D.$10a+b$
答案
7. D
解析
【分析】
解决这道题首先要明确两位数的组成规则：两位数由十位和个位构成，十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，把两个数位对应的数值相加就能得到这个两位数。我们先分别计算十位数字a和个位数字b对应的数值，再求和，最后匹配选项即可。
【解析】
根据数位的计数规则：
1. 十位数字是a，十位的计数单位是10，因此十位对应的数值为$10 × a = 10a$；
2. 个位数字是b，个位的计数单位是1，因此个位对应的数值为$1 × b = b$；
3. 这个两位数是两个数位的数值之和，即$10a + b$。
对比选项，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
用字母表示数；数位的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查不同数位对应的计数单位，只要明确数位上的数字所代表的实际大小，就能快速列出对应代数式得到答案。
【难度系数】
0.9
解决这道题首先要明确两位数的组成规则：两位数由十位和个位构成，十位上的数字表示几个十，个位上的数字表示几个一，把两个数位对应的数值相加就能得到这个两位数。我们先分别计算十位数字a和个位数字b对应的数值，再求和，最后匹配选项即可。
【解析】
根据数位的计数规则：
1. 十位数字是a，十位的计数单位是10，因此十位对应的数值为$10 × a = 10a$；
2. 个位数字是b，个位的计数单位是1，因此个位对应的数值为$1 × b = b$；
3. 这个两位数是两个数位的数值之和，即$10a + b$。
对比选项，只有D选项符合要求。
【答案】
D
【知识点】
用字母表示数；数位的意义
【点评】
本题属于基础题型，核心考查不同数位对应的计数单位，只要明确数位上的数字所代表的实际大小，就能快速列出对应代数式得到答案。
【难度系数】
0.9
8. 新考法 代数推理 有一个魔术，魔术师背对小聪，让小聪拿着扑克牌按下列四个步骤操作：
①第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同；
②第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆；
③第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆；
④第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆。
这时，魔术师准确地说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（
A.8
B.9
C.10
D.11
①第一步：分发左、中、右三堆牌，每堆牌不少于五张，且各堆牌的张数相同；
②第二步：从左边一堆拿出五张，放入中间一堆；
③第三步：从右边一堆拿出三张，放入中间一堆；
④第四步：右边一堆有几张牌，就从中间一堆拿几张牌放入右边一堆。
这时，魔术师准确地说出了中间一堆牌现有的张数，则他说出的张数是（
D
）A.8
B.9
C.10
D.11
答案
8. D
解析
【分析】
本题属于代数推理类问题，我们可以通过设未知数表示初始每堆牌的数量，再根据四个操作步骤依次计算每堆牌在每一步后的数量，最后化简中间堆牌的数量即可得到固定结果。由于初始三堆牌数量相同，设该数量为x（x≥5，为正整数），整个计算过程中x会被消去，因此最终中间堆的牌数是固定值，魔术师无需知道初始数量就能说出结果。
【解析】
设第一步操作后，左、中、右三堆牌的张数均为$ x $张（$ x ≥ 5 $，且$ x $为正整数），按照步骤依次计算每堆牌的数量：
1. 第二步操作后：
左边堆牌数：$ x - 5 $张，
中间堆牌数：$ x + 5 $张，
右边堆牌数：$ x $张；
2. 第三步操作后：
左边堆牌数：$ x - 5 $张，
中间堆牌数：$ (x + 5) + 3 = x + 8 $张，
右边堆牌数：$ x - 3 $张；
3. 第四步操作后：
从中间堆拿出与右边堆相同的$ x - 3 $张放入右边堆，因此中间堆剩余牌数为：
$ (x + 8) - (x - 3) = x + 8 - x + 3 = 11 $张。
【答案】
D
【知识点】
字母表示数、整式的加减运算、代数推理
【点评】
本题结合魔术场景考查代数应用能力，解题核心是用字母表示未知的初始数量，根据操作规则逐步列式化简，最终得到定值结果，体现了代数方法解决实际问题的优势。
【难度系数】
0.7
本题属于代数推理类问题，我们可以通过设未知数表示初始每堆牌的数量，再根据四个操作步骤依次计算每堆牌在每一步后的数量，最后化简中间堆牌的数量即可得到固定结果。由于初始三堆牌数量相同，设该数量为x（x≥5，为正整数），整个计算过程中x会被消去，因此最终中间堆的牌数是固定值，魔术师无需知道初始数量就能说出结果。
【解析】
设第一步操作后，左、中、右三堆牌的张数均为$ x $张（$ x ≥ 5 $，且$ x $为正整数），按照步骤依次计算每堆牌的数量：
1. 第二步操作后：
左边堆牌数：$ x - 5 $张，
中间堆牌数：$ x + 5 $张，
右边堆牌数：$ x $张；
2. 第三步操作后：
左边堆牌数：$ x - 5 $张，
中间堆牌数：$ (x + 5) + 3 = x + 8 $张，
右边堆牌数：$ x - 3 $张；
3. 第四步操作后：
从中间堆拿出与右边堆相同的$ x - 3 $张放入右边堆，因此中间堆剩余牌数为：
$ (x + 8) - (x - 3) = x + 8 - x + 3 = 11 $张。
【答案】
D
【知识点】
字母表示数、整式的加减运算、代数推理
【点评】
本题结合魔术场景考查代数应用能力，解题核心是用字母表示未知的初始数量，根据操作规则逐步列式化简，最终得到定值结果，体现了代数方法解决实际问题的优势。
【难度系数】
0.7
