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9. 如图65-G-1，为做一个试管架，在a cm长的木条上钻了4个圆孔，每个圆孔的直径为2 cm，则x等于（
图65-G-1
A.$\frac{a+8}{5}$ cm
B.$\frac{a-16}{5}$ cm
C.$\frac{a-4}{5}$ cm
D.$\frac{a-8}{5}$ cm
D
）图65-G-1
A.$\frac{a+8}{5}$ cm
B.$\frac{a-16}{5}$ cm
C.$\frac{a-4}{5}$ cm
D.$\frac{a-8}{5}$ cm
答案
9. D
解析
【分析】
解题时首先观察图形确定等量关系：木条的总长度 = 5个间隔x的总长度 + 4个圆孔的总直径。首先数清楚间隔x的数量：4个圆孔将木条分成了5段等长的x，再计算4个圆孔的总长度，最后根据等量关系列方程求解x即可。
【解析】
首先计算4个圆孔的总直径：每个圆孔直径为2cm，4个的总长度为 $4×2=8\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，等长的间隔x共有5个，根据木条总长为a cm，可得等量关系：
$5x + 8 = a$
移项得：$5x = a - 8$
系数化为1得：$x=\frac{a-8}{5}\ \mathrm{cm}$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是结合图形准确找出各段长度的和与总长度的等量关系，易错点是数错间隔x的数量。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形确定等量关系：木条的总长度 = 5个间隔x的总长度 + 4个圆孔的总直径。首先数清楚间隔x的数量：4个圆孔将木条分成了5段等长的x，再计算4个圆孔的总长度，最后根据等量关系列方程求解x即可。
【解析】
首先计算4个圆孔的总直径：每个圆孔直径为2cm，4个的总长度为 $4×2=8\ \mathrm{cm}$。
观察图形可知，等长的间隔x共有5个，根据木条总长为a cm，可得等量关系：
$5x + 8 = a$
移项得：$5x = a - 8$
系数化为1得：$x=\frac{a-8}{5}\ \mathrm{cm}$
因此选D选项。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程应用；线段和差计算
【点评】
本题属于基础应用题，解题的核心是结合图形准确找出各段长度的和与总长度的等量关系，易错点是数错间隔x的数量。
【难度系数】
0.8
二、填空题(每小题3分,共18分)
10. (2025伊犁州期末)单项式$-\dfrac{2}{3}π xy^2$的系数是
10. (2025伊犁州期末)单项式$-\dfrac{2}{3}π xy^2$的系数是
$-\dfrac{2}{3}π$
.答案
10. $-\dfrac{2}{3}π$
解析
【分析】
解题时首先要明确单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。解题步骤分两步：第一步先区分单项式中的数字部分和字母部分，注意π是圆周率，属于常数，不是字母；第二步提取所有数字因数，注意不要遗漏数字前面的符号，即可得到该单项式的系数。
【解析】
根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
在单项式$-\dfrac{2}{3}π xy^2$中，字母部分为$xy^2$，剩余的数字因数为$-\dfrac{2}{3}π$（其中π是常数，属于数字部分，不属于字母），因此该单项式的系数是$-\dfrac{2}{3}π$。
【答案】
$-\dfrac{2}{3}π$
【知识点】
单项式的系数；常数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易误将π当作字母，或者遗漏系数前的负号，只要准确掌握单项式系数的定义，明确π的常数属性，即可正确作答。
【难度系数】
0.7
解题时首先要明确单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做单项式的系数。解题步骤分两步：第一步先区分单项式中的数字部分和字母部分，注意π是圆周率，属于常数，不是字母；第二步提取所有数字因数，注意不要遗漏数字前面的符号，即可得到该单项式的系数。
【解析】
根据单项式系数的定义：单项式中的数字因数叫做这个单项式的系数。
在单项式$-\dfrac{2}{3}π xy^2$中，字母部分为$xy^2$，剩余的数字因数为$-\dfrac{2}{3}π$（其中π是常数，属于数字部分，不属于字母），因此该单项式的系数是$-\dfrac{2}{3}π$。
【答案】
$-\dfrac{2}{3}π$
【知识点】
单项式的系数；常数的识别
【点评】
本题属于基础概念考查题，易错点是容易误将π当作字母，或者遗漏系数前的负号，只要准确掌握单项式系数的定义，明确π的常数属性，即可正确作答。
【难度系数】
0.7
11. 列式表示“$x$的2倍与$y$的和”为
$2x+y$
.答案
11. $2x+y$
解析
【分析】
解题时先拆分题干表述，明确运算顺序：第一步先计算“x的2倍”，求一个数的几倍用乘法，即可得到对应的代数式；第二步再计算这个结果与y的和，求和用加法，将两个代数式相加就能得到最终结果。
【解析】
1. 表示“x的2倍”：求x的2倍即x与2相乘，按照代数式书写规范，数字写在字母前，写作$2x$；
2. 表示“$2x$与y的和”：求和用加法运算，将$2x$和$y$相加，得到$2x+y$。
【答案】
$2x+y$
【知识点】
列代数式，代数式书写规范
【点评】
本题属于基础题，考查文字语言转化为数学代数式的能力，解题时理清运算顺序，遵循代数式书写要求即可正确作答。
【难度系数】
0.9
解题时先拆分题干表述，明确运算顺序：第一步先计算“x的2倍”，求一个数的几倍用乘法，即可得到对应的代数式；第二步再计算这个结果与y的和，求和用加法，将两个代数式相加就能得到最终结果。
【解析】
1. 表示“x的2倍”：求x的2倍即x与2相乘，按照代数式书写规范，数字写在字母前，写作$2x$；
2. 表示“$2x$与y的和”：求和用加法运算，将$2x$和$y$相加，得到$2x+y$。
【答案】
$2x+y$
【知识点】
列代数式，代数式书写规范
【点评】
本题属于基础题，考查文字语言转化为数学代数式的能力，解题时理清运算顺序，遵循代数式书写要求即可正确作答。
【难度系数】
0.9
12. 若将三个连续的偶数中最大的一个表示为$2n+2$，则最小的一个可以表示为
$2n-2$
。答案
12. $2n-2$
解析
【分析】
解题首先要明确连续偶数的基本特征：相邻两个偶数之间相差2。题目已给出三个连续偶数中最大的数是2n+2，我们可以先根据连续偶数的差值求出中间的偶数，再进一步推导最小的偶数；也可以直接计算三个连续偶数中最大数和最小数的差值（最大数比最小数大2×2=4），直接用最大数减4得到最小数。
【解析】
解：
∵ 相邻的两个偶数相差2，
∴ 三个连续偶数中，最大的数比中间的数大2，中间的数比最小的数大2，即最大的数比最小的数大2+2=4。
已知最大的偶数为2n+2，
∴ 最小的偶数 = (2n+2) - 4 = 2n - 2。
【答案】
$2n-2$
【知识点】
连续偶数的性质，列代数式
【点评】
本题侧重考查对连续数字特征的掌握和代数式的简单运算，只要抓住相邻偶数的差值规律，按顺序推导即可得出结果，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.9
解题首先要明确连续偶数的基本特征：相邻两个偶数之间相差2。题目已给出三个连续偶数中最大的数是2n+2，我们可以先根据连续偶数的差值求出中间的偶数，再进一步推导最小的偶数；也可以直接计算三个连续偶数中最大数和最小数的差值（最大数比最小数大2×2=4），直接用最大数减4得到最小数。
【解析】
解：
∵ 相邻的两个偶数相差2，
∴ 三个连续偶数中，最大的数比中间的数大2，中间的数比最小的数大2，即最大的数比最小的数大2+2=4。
已知最大的偶数为2n+2，
∴ 最小的偶数 = (2n+2) - 4 = 2n - 2。
【答案】
$2n-2$
【知识点】
连续偶数的性质，列代数式
【点评】
本题侧重考查对连续数字特征的掌握和代数式的简单运算，只要抓住相邻偶数的差值规律，按顺序推导即可得出结果，是对基础概念的常规考查。
【难度系数】
0.9
13.（2025阿克苏地区期末）若单项式$x^2y^a$与$3x^by^4$是同类项，则$a^b$的值是
$16$
。答案
13. 16
解析
【分析】
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式叫做同类项。已知两个单项式是同类项，我们只需要分别对比两个单项式中x、y的指数，即可列出等式求出a、b的取值，最后代入$a^b$计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$x^2y^a$与$3x^by^4$是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数相等，
∴x的指数对应相等：$b=2$，
y的指数对应相等：$a=4$，
将$a=4$，$b=2$代入$a^b$得：$a^b=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
同类项的定义；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础考查题型，核心是对同类项定义的理解与应用，只要抓住同类项“相同字母的指数相同”这一核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆同类项的定义：所含字母相同，且相同字母的指数也分别相等的单项式叫做同类项。已知两个单项式是同类项，我们只需要分别对比两个单项式中x、y的指数，即可列出等式求出a、b的取值，最后代入$a^b$计算就能得到结果。
【解析】
解：
∵单项式$x^2y^a$与$3x^by^4$是同类项，根据同类项的定义，相同字母的指数相等，
∴x的指数对应相等：$b=2$，
y的指数对应相等：$a=4$，
将$a=4$，$b=2$代入$a^b$得：$a^b=4^2=16$。
【答案】
16
【知识点】
同类项的定义；有理数的乘方运算
【点评】
本题属于基础考查题型，核心是对同类项定义的理解与应用，只要抓住同类项“相同字母的指数相同”这一核心特征即可快速解题。
【难度系数】
0.9
14. 已知轮船在静水中的速度为$(a+b)$千米/时，逆流速度为$(2a - b)$千米/时，则顺流速度为
$3b$
千米/时。答案
14. $3b$
解析
【分析】
解题首先要明确流水行船问题的核心数量关系：①逆流速度=静水速度-水流速度，因此可推出水流速度=静水速度-逆流速度；②顺流速度=静水速度+水流速度。解题时先根据已知的静水速度和逆流速度求出水流速度，再代入顺流速度的公式，结合整式加减的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
首先计算水流速度：
根据水流速度=静水速度-逆流速度，代入已知条件得：
水流速度$=(a+b)-(2a-b)$
去括号：$=a+b-2a+b$
合并同类项：$=(-a+2b)$千米/时
再计算顺流速度：
根据顺流速度=静水速度+水流速度，代入得：
顺流速度$=(a+b)+(-a+2b)$
去括号：$=a+b-a+2b$
合并同类项：$=3b$千米/时
【答案】
$3b$
【知识点】
流水行船速度关系、整式的加减运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是熟练掌握流水行船场景下各速度之间的换算关系，计算整式加减时注意去括号的符号变化规则，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
解题首先要明确流水行船问题的核心数量关系：①逆流速度=静水速度-水流速度，因此可推出水流速度=静水速度-逆流速度；②顺流速度=静水速度+水流速度。解题时先根据已知的静水速度和逆流速度求出水流速度，再代入顺流速度的公式，结合整式加减的运算法则计算即可得到结果。
【解析】
首先计算水流速度：
根据水流速度=静水速度-逆流速度，代入已知条件得：
水流速度$=(a+b)-(2a-b)$
去括号：$=a+b-2a+b$
合并同类项：$=(-a+2b)$千米/时
再计算顺流速度：
根据顺流速度=静水速度+水流速度，代入得：
顺流速度$=(a+b)+(-a+2b)$
去括号：$=a+b-a+2b$
合并同类项：$=3b$千米/时
【答案】
$3b$
【知识点】
流水行船速度关系、整式的加减运算
【点评】
本题属于基础应用题，核心是熟练掌握流水行船场景下各速度之间的换算关系，计算整式加减时注意去括号的符号变化规则，即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
15. 若多项式$5mx^2 + 4nxy - 3x + x^2 - 2xy + y$（$m,n$是常数）化简后的结果不含二次项，则$5m + 4n =$
$1$
.答案
15. 1
解析
【分析】
解题时首先要明确“化简后不含二次项”的含义：即所有二次项的系数都为0。解题步骤如下：第一步先对多项式中的同类项进行合并，找到所有二次项，将同类二次项合并整理；第二步令合并后的二次项系数分别为0，得到关于m、n的等式；最后将等式变形，直接求出5m+4n的值即可，不需要单独求解m和n的具体数值。
【解析】
先对原式合并同类项：
$\begin{aligned}&5mx^2 + 4nxy - 3x + x^2 - 2xy + y\\=&(5m + 1)x^2 + (4n - 2)xy - 3x + y\end{aligned}$
∵化简后的结果不含二次项
∴二次项的系数为0，即：
$5m + 1 = 0$，$4n - 2 = 0$
变形可得：$5m = -1$，$4n = 2$
将两式相加得：$5m + 4n = -1 + 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；不含某项的条件
【点评】
本题是整式加减中的常考题型，核心考点是“多项式不含某项则该项系数为0”的应用，解题时要准确识别同类项并正确合并，即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
解题时首先要明确“化简后不含二次项”的含义：即所有二次项的系数都为0。解题步骤如下：第一步先对多项式中的同类项进行合并，找到所有二次项，将同类二次项合并整理；第二步令合并后的二次项系数分别为0，得到关于m、n的等式；最后将等式变形，直接求出5m+4n的值即可，不需要单独求解m和n的具体数值。
【解析】
先对原式合并同类项：
$\begin{aligned}&5mx^2 + 4nxy - 3x + x^2 - 2xy + y\\=&(5m + 1)x^2 + (4n - 2)xy - 3x + y\end{aligned}$
∵化简后的结果不含二次项
∴二次项的系数为0，即：
$5m + 1 = 0$，$4n - 2 = 0$
变形可得：$5m = -1$，$4n = 2$
将两式相加得：$5m + 4n = -1 + 2 = 1$
【答案】
1
【知识点】
合并同类项；多项式的项与系数；不含某项的条件
【点评】
本题是整式加减中的常考题型，核心考点是“多项式不含某项则该项系数为0”的应用，解题时要准确识别同类项并正确合并，即可快速得到结果。
【难度系数】
0.8
三、解答题(共55分)
16. (6分)把下列各式填在相应的大括号里(将各式用逗号分开):
$-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,0,π.$
(1)单项式:{…};
(2)多项式:{…};
(3)整式:{…}.
16. (6分)把下列各式填在相应的大括号里(将各式用逗号分开):
$-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,0,π.$
(1)单项式:{…};
(2)多项式:{…};
(3)整式:{…}.
答案
16. 解:(1)单项式:$\{-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,0,π,\dots\}$;
(2)多项式:$\{x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,\dots\}$;
(3)整式:$\{-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,0,π,\dots\}$.
(2)多项式:$\{x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,\dots\}$;
(3)整式:$\{-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,0,π,\dots\}$.
解析
【分析】
要完成这道分类题，首先要明确三个核心概念：①单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；②多项式：几个单项式的和（减法可以看作加对应单项式的相反数）组成的代数式；③整式：单项式和多项式统称为整式。解题时先逐个判断给出的每个式子的类型，再分别填入对应括号即可，注意π是固定常数，属于单项式，不要错当成字母。
【解析】
我们逐个分析给出的式子：
1. 判定式子类型：
$-\dfrac{3}{5}a^2$：是数$-\dfrac{3}{5}$与字母$a^2$的乘积，属于单项式；
$ab^2$：是字母$a$与$b^2$的乘积，属于单项式；
$x^2-5x$：是单项式$x^2$和$-5x$的和，属于多项式；
$\dfrac{4}{5}-y$：是单项式$\dfrac{4}{5}$和$-y$的和，属于多项式；
$0$：单独的数字，属于单项式；
$π$：固定常数，属于单独的数，属于单项式。
2. 按类别汇总：
(1) 单项式集合填入所有判定为单项式的式子；
(2) 多项式集合填入所有判定为多项式的式子；
(3) 整式集合填入所有单项式和多项式即可。
【答案】
(1)单项式:$\{-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,0,π,\dots\}$;
(2)多项式:$\{x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,\dots\}$;
(3)整式:$\{-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,0,π,\dots\}$.
【知识点】
单项式的定义,多项式的定义,整式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是准确掌握单项式、多项式、整式的定义，解题时要注意单独的数字（包括常数π）都是单项式，避免漏选或错选。
【难度系数】
0.85
要完成这道分类题，首先要明确三个核心概念：①单项式：由数或字母的积组成的代数式，单独的一个数或一个字母也属于单项式；②多项式：几个单项式的和（减法可以看作加对应单项式的相反数）组成的代数式；③整式：单项式和多项式统称为整式。解题时先逐个判断给出的每个式子的类型，再分别填入对应括号即可，注意π是固定常数，属于单项式，不要错当成字母。
【解析】
我们逐个分析给出的式子：
1. 判定式子类型：
$-\dfrac{3}{5}a^2$：是数$-\dfrac{3}{5}$与字母$a^2$的乘积，属于单项式；
$ab^2$：是字母$a$与$b^2$的乘积，属于单项式；
$x^2-5x$：是单项式$x^2$和$-5x$的和，属于多项式；
$\dfrac{4}{5}-y$：是单项式$\dfrac{4}{5}$和$-y$的和，属于多项式；
$0$：单独的数字，属于单项式；
$π$：固定常数，属于单独的数，属于单项式。
2. 按类别汇总：
(1) 单项式集合填入所有判定为单项式的式子；
(2) 多项式集合填入所有判定为多项式的式子；
(3) 整式集合填入所有单项式和多项式即可。
【答案】
(1)单项式:$\{-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,0,π,\dots\}$;
(2)多项式:$\{x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,\dots\}$;
(3)整式:$\{-\dfrac{3}{5}a^2,ab^2,x^2-5x,\dfrac{4}{5}-y,0,π,\dots\}$.
【知识点】
单项式的定义,多项式的定义,整式的定义
【点评】
本题属于基础概念辨析题，核心是准确掌握单项式、多项式、整式的定义，解题时要注意单独的数字（包括常数π）都是单项式，避免漏选或错选。
【难度系数】
0.85
17. (6分)计算：
(1)$3(5m - 6n) + 2(3m - 4n)$；
(2)$(3a^2 + 2ab) - \frac{1}{3}(-3a^2 + 6ab - 1)$。
(1)$3(5m - 6n) + 2(3m - 4n)$；
(2)$(3a^2 + 2ab) - \frac{1}{3}(-3a^2 + 6ab - 1)$。
答案
17. 解:(1)$3(5m - 6n) + 2(3m - 4n)$
$=15m - 18n + 6m - 8n$
$=21m - 26n$.
(2)原式$=3a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + \dfrac{1}{3}$
$=3a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + \dfrac{1}{3}$
$=4a^2 + \dfrac{1}{3}$.
$=15m - 18n + 6m - 8n$
$=21m - 26n$.
(2)原式$=3a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + \dfrac{1}{3}$
$=3a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + \dfrac{1}{3}$
$=4a^2 + \dfrac{1}{3}$.
解析
【分析】
本题考查整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的步骤：①去括号时，需利用乘法分配律将括号外的系数乘到括号内每一项，注意括号前为负系数时，括号内每一项都要变号，且不要漏乘项；②合并同类项时，只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) $3(5m - 6n) + 2(3m - 4n)$
$=15m - 18n + 6m - 8n$
$=21m - 26n$
(2) $(3a^2 + 2ab) - \frac{1}{3}(-3a^2 + 6ab - 1)$
$=3a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + \dfrac{1}{3}$
$=3a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + \dfrac{1}{3}$
$=4a^2 + \dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{21m - 26n}$；(2) $\boldsymbol{4a^2 + \dfrac{1}{3}}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减运算
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题，核心考查去括号的符号规则和合并同类项的方法，易错点是去括号时漏乘括号内的项、符号处理错误，熟练掌握运算法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
本题考查整式的加减运算，解题遵循“先去括号，再合并同类项”的步骤：①去括号时，需利用乘法分配律将括号外的系数乘到括号内每一项，注意括号前为负系数时，括号内每一项都要变号，且不要漏乘项；②合并同类项时，只需将同类项的系数相加，字母和字母的指数保持不变。
【解析】
(1) $3(5m - 6n) + 2(3m - 4n)$
$=15m - 18n + 6m - 8n$
$=21m - 26n$
(2) $(3a^2 + 2ab) - \frac{1}{3}(-3a^2 + 6ab - 1)$
$=3a^2 + 2ab + a^2 - 2ab + \dfrac{1}{3}$
$=3a^2 + a^2 + 2ab - 2ab + \dfrac{1}{3}$
$=4a^2 + \dfrac{1}{3}$
【答案】
(1) $\boldsymbol{21m - 26n}$；(2) $\boldsymbol{4a^2 + \dfrac{1}{3}}$
【知识点】
去括号法则、合并同类项、整式的加减运算
【点评】
本题属于整式加减的基础常规题，核心考查去括号的符号规则和合并同类项的方法，易错点是去括号时漏乘括号内的项、符号处理错误，熟练掌握运算法则即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
