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22. (11分)历史上的数学巨人欧拉最先把关于$x$的多项式用记号$f(x)$的形式来表示，例如当$x=-1$时，多项式$f(x)=x^2+3x-5$的值记为$f(-1)$，则$f(-1)=(-1)^2+3×(-1)-5=-7$。已知$f(x)=ax^5+bx^3+3x+c$，且$f(0)=-1$。请解决以下问题：
(1)$c=$
(2)若$f(1)=2$，求$a+b$的值；
(3)若$f(2)=9$，求$f(-2)$的值。
(1)$c=$
-1
；(2)若$f(1)=2$，求$a+b$的值；
(3)若$f(2)=9$，求$f(-2)$的值。
答案
22. 解:(1)因为 $f(0)=−1$,
所以 $a×0^5+b×0^3+3×0+c=−1$,
所以 0+0+0+c=−1,所以 c=−1.
故答案为−1.
(2)因为 f(1)=2,
所以 $a×1^5+b×1^3+3×1−1=2$,
所以 a+b+2=2,所以 a+b=0,即 a+b 的值是 0.
(3)因为 f(2)=9,所以 $a×2^5+b×2^3+3×2−1=9$,
所以 32a+8b+6−1=9,
所以 32a+8b=4,
所以 $f(−2)=a×(−2)^5+b×(−2)^3+3×(−2)−1$
=−32a−8b−6−1=−(32a+8b)−7=−4−7=−11,
所以 f(−2)的值是−11.
所以 $a×0^5+b×0^3+3×0+c=−1$,
所以 0+0+0+c=−1,所以 c=−1.
故答案为−1.
(2)因为 f(1)=2,
所以 $a×1^5+b×1^3+3×1−1=2$,
所以 a+b+2=2,所以 a+b=0,即 a+b 的值是 0.
(3)因为 f(2)=9,所以 $a×2^5+b×2^3+3×2−1=9$,
所以 32a+8b+6−1=9,
所以 32a+8b=4,
所以 $f(−2)=a×(−2)^5+b×(−2)^3+3×(−2)−1$
=−32a−8b−6−1=−(32a+8b)−7=−4−7=−11,
所以 f(−2)的值是−11.
解析
【分析】
本题围绕新定义的多项式记号$f(x)$考查代数式求值，解题思路如下：
(1) 求$c$的值时，将$x=0$代入$f(x)$的表达式，此时含$a$、$b$的项因乘0均为0，结合$f(0)=-1$可直接求出$c$；
(2) 求$a+b$的值时，将$x=1$代入$f(x)$，结合第一问得到的$c=-1$，整理等式即可算出$a+b$的结果；
(3) 求$f(-2)$的值时，先将$x=2$代入$f(x)$，求出$32a+8b$的整体值，再将$x=-2$代入$f(x)$，利用负数的奇次幂为负的性质，把$f(-2)$的表达式转化为含有$32a+8b$的形式，整体代入计算即可，无需单独求$a$、$b$的值，简化计算过程。
【解析】
(1) 因为 $f(0)=−1$，
所以 $a×0^5+b×0^3+3×0+c=−1$，
整理得 $0+0+0+c=−1$，解得 $c=−1$。
(2) 因为 $f(1)=2$，$c=-1$，
所以 $a×1^5+b×1^3+3×1−1=2$，
整理得 $a+b+2=2$，解得 $a+b=0$。
(3) 因为 $f(2)=9$，$c=-1$，
所以 $a×2^5+b×2^3+3×2−1=9$，
整理得 $32a+8b+6−1=9$，即 $32a+8b=4$，
则 $f(−2)=a×(−2)^5+b×(−2)^3+3×(−2)−1$
$=−32a−8b−6−1=−(32a+8b)−7$，
将$32a+8b=4$代入得：$−4−7=−11$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{0}$；(3) $\boldsymbol{-11}$
【知识点】
代数式求值，整体代入法，有理数乘方的性质
【点评】
本题结合新定义考查代数式运算，前两问为基础代入计算，第三问通过整体代入的思想避免单独求解未知参数，降低了计算量，是代数式求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题围绕新定义的多项式记号$f(x)$考查代数式求值，解题思路如下：
(1) 求$c$的值时，将$x=0$代入$f(x)$的表达式，此时含$a$、$b$的项因乘0均为0，结合$f(0)=-1$可直接求出$c$；
(2) 求$a+b$的值时，将$x=1$代入$f(x)$，结合第一问得到的$c=-1$，整理等式即可算出$a+b$的结果；
(3) 求$f(-2)$的值时，先将$x=2$代入$f(x)$，求出$32a+8b$的整体值，再将$x=-2$代入$f(x)$，利用负数的奇次幂为负的性质，把$f(-2)$的表达式转化为含有$32a+8b$的形式，整体代入计算即可，无需单独求$a$、$b$的值，简化计算过程。
【解析】
(1) 因为 $f(0)=−1$，
所以 $a×0^5+b×0^3+3×0+c=−1$，
整理得 $0+0+0+c=−1$，解得 $c=−1$。
(2) 因为 $f(1)=2$，$c=-1$，
所以 $a×1^5+b×1^3+3×1−1=2$，
整理得 $a+b+2=2$，解得 $a+b=0$。
(3) 因为 $f(2)=9$，$c=-1$，
所以 $a×2^5+b×2^3+3×2−1=9$，
整理得 $32a+8b+6−1=9$，即 $32a+8b=4$，
则 $f(−2)=a×(−2)^5+b×(−2)^3+3×(−2)−1$
$=−32a−8b−6−1=−(32a+8b)−7$，
将$32a+8b=4$代入得：$−4−7=−11$。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-1}$；(2) $\boldsymbol{0}$；(3) $\boldsymbol{-11}$
【知识点】
代数式求值，整体代入法，有理数乘方的性质
【点评】
本题结合新定义考查代数式运算，前两问为基础代入计算，第三问通过整体代入的思想避免单独求解未知参数，降低了计算量，是代数式求值类的典型题型。
【难度系数】
0.7
