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1. 解方程$\frac{y-2}{2}+1=\frac{y+1}{3}$时，方程两边乘同一个数去分母，该数最合适的是(
A.4
B.5
C.6
D.12
C
)。A.4
B.5
C.6
D.12
答案
1. C
解析
【分析】
要解决这道题，首先要明确去分母的核心要求：去分母时需给方程两边同乘所有分母的最小公倍数，这样能让所有分母刚好消去，且计算量最小，是最合适的选择。首先找出方程中两个分母2和3，计算它们的最小公倍数即可得到答案。
【解析】
观察方程的分母分别为2和3：
1. 求2和3的最小公倍数：2和3互为质数，最小公倍数为两数乘积，即$2×3=6$；
2. 验证：若给方程两边同乘6，左边变为$3(y-2)+6$，右边变为$2(y+1)$，刚好完全消去分母，且计算过程最简便。若乘12虽也能去分母，但会让各项系数变大，增加计算量，不是最合适的。
因此最合适的数是6。
【答案】
C
【知识点】
1. 去分母解一元一次方程；2. 最小公倍数的应用
【点评】
本题考查一元一次方程去分母时最简公分母的选择，核心是掌握多个分母最小公倍数的求解方法，选择最小公倍数去分母可有效简化计算，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.9
要解决这道题，首先要明确去分母的核心要求：去分母时需给方程两边同乘所有分母的最小公倍数，这样能让所有分母刚好消去，且计算量最小，是最合适的选择。首先找出方程中两个分母2和3，计算它们的最小公倍数即可得到答案。
【解析】
观察方程的分母分别为2和3：
1. 求2和3的最小公倍数：2和3互为质数，最小公倍数为两数乘积，即$2×3=6$；
2. 验证：若给方程两边同乘6，左边变为$3(y-2)+6$，右边变为$2(y+1)$，刚好完全消去分母，且计算过程最简便。若乘12虽也能去分母，但会让各项系数变大，增加计算量，不是最合适的。
因此最合适的数是6。
【答案】
C
【知识点】
1. 去分母解一元一次方程；2. 最小公倍数的应用
【点评】
本题考查一元一次方程去分母时最简公分母的选择，核心是掌握多个分母最小公倍数的求解方法，选择最小公倍数去分母可有效简化计算，降低运算出错的概率。
【难度系数】
0.9
2. 小张在解方程$\frac{3x+1}{2}-\frac{2x-5}{6}=1$时，步骤如下：
解：$3(3x+1)-(2x-5)=6$， ①
$9x+3-2x+5=6$， ②
$9x-2x=6-3-5$， ③
$7x=-2$， ④
$x=-\frac{2}{7}$. ⑤
则下列选项中步骤与其依据搭配错误的是（
A.步骤① 去分母 等式的性质2
B.步骤② 去括号 分配律
C.步骤③ 移项 等式的性质1
D.步骤⑤ 系数化为1 等式的性质1
解：$3(3x+1)-(2x-5)=6$， ①
$9x+3-2x+5=6$， ②
$9x-2x=6-3-5$， ③
$7x=-2$， ④
$x=-\frac{2}{7}$. ⑤
则下列选项中步骤与其依据搭配错误的是（
D
）.A.步骤① 去分母 等式的性质2
B.步骤② 去括号 分配律
C.步骤③ 移项 等式的性质1
D.步骤⑤ 系数化为1 等式的性质1
答案
2. D
解析
【分析】
本题考查解一元一次方程各步骤对应的理论依据，解题时需先明确等式的两条基本性质、去括号的依据，再逐一匹配每个步骤与对应依据，找出搭配错误的选项即可。首先回忆相关概念：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立；去括号的依据是乘法分配律。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 步骤①是给方程左右两边同时乘6去掉分母，依据是等式的性质2，搭配正确，不符合题意；
B. 步骤②是去掉两个括号，根据乘法分配律将括号外的因数乘括号内的每一项，搭配正确，不符合题意；
C. 步骤③是将常数项移到方程右侧，移项的本质是等式两边同时减去相同的常数，依据是等式的性质1，搭配正确，不符合题意；
D. 步骤⑤是给方程左右两边同时除以7，将x的系数化为1，依据是等式的性质2，不是等式的性质1，搭配错误，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程解法，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，解题的关键是区分等式两条性质的适用场景，移项对应等式性质1，去分母、系数化为1对应等式性质2，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题考查解一元一次方程各步骤对应的理论依据，解题时需先明确等式的两条基本性质、去括号的依据，再逐一匹配每个步骤与对应依据，找出搭配错误的选项即可。首先回忆相关概念：等式性质1是等式两边加（或减）同一个数（或式子），等式仍成立；等式性质2是等式两边乘同一个数，或除以同一个不为0的数，等式仍成立；去括号的依据是乘法分配律。
【解析】
我们逐个分析选项：
A. 步骤①是给方程左右两边同时乘6去掉分母，依据是等式的性质2，搭配正确，不符合题意；
B. 步骤②是去掉两个括号，根据乘法分配律将括号外的因数乘括号内的每一项，搭配正确，不符合题意；
C. 步骤③是将常数项移到方程右侧，移项的本质是等式两边同时减去相同的常数，依据是等式的性质1，搭配正确，不符合题意；
D. 步骤⑤是给方程左右两边同时除以7，将x的系数化为1，依据是等式的性质2，不是等式的性质1，搭配错误，符合题意。
故选D。
【答案】
D
【知识点】
一元一次方程解法，等式的性质，去括号法则
【点评】
本题侧重对基础概念的考查，解题的关键是区分等式两条性质的适用场景，移项对应等式性质1，去分母、系数化为1对应等式性质2，避免概念混淆即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3. 解下列方程：
(1)$\frac{x-1}{7}=\frac{x}{4}$；
(2)$x-\frac{x-2}{2}=1+\frac{2x-1}{3}$；
(3)$\frac{x+1}{4}-1=\frac{2x-1}{6}$。
(1)$\frac{x-1}{7}=\frac{x}{4}$；
(2)$x-\frac{x-2}{2}=1+\frac{2x-1}{3}$；
(3)$\frac{x+1}{4}-1=\frac{2x-1}{6}$。
答案
3. 解 (1)去分母,得 $4(x-1)=7x.$
去括号,得 $4x-4=7x.$
移项,得 $4x-7x=4.$
合并同类项,得 $-3x=4.$
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{4}{3}.$
(2)去分母,得 $6x-3(x-2)=6+2(2x-1).$
去括号,得 $6x-3x+6=6+4x-2.$
移项,得 $6x-3x-4x=6-2-6.$
合并同类项,得 $-x=-2.$
系数化为 1,得 $x=2.$
(3)去分母,得 $3(x+1)-12=2(2x-1).$
去括号,得 $3x+3-12=4x-2.$
移项,得 $3x-4x=-2-3+12.$
合并同类项,得 $-x=7.$
系数化为 1,得 $x=-7.$
去括号,得 $4x-4=7x.$
移项,得 $4x-7x=4.$
合并同类项,得 $-3x=4.$
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{4}{3}.$
(2)去分母,得 $6x-3(x-2)=6+2(2x-1).$
去括号,得 $6x-3x+6=6+4x-2.$
移项,得 $6x-3x-4x=6-2-6.$
合并同类项,得 $-x=-2.$
系数化为 1,得 $x=2.$
(3)去分母,得 $3(x+1)-12=2(2x-1).$
去括号,得 $3x+3-12=4x-2.$
移项,得 $3x-4x=-2-3+12.$
合并同类项,得 $-x=7.$
系数化为 1,得 $x=-7.$
解析
【分析】
这三道题均为含分母的一元一次方程，解题按照标准步骤展开即可：第一步去分母，先找到所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘该最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；第二步去括号，遵循去括号法则，若括号前为负号，括号内各项都要变号；第三步移项，将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项需变号；第四步合并同类项，将方程化简为$ax=b$（$a\ne0$）的形式；第五步系数化为1，两边同时除以未知数的系数得到方程的解。
【解析】
(1)去分母,得 $4(x-1)=7x.$
去括号,得 $4x-4=7x.$
移项,得 $4x-7x=4.$
合并同类项,得 $-3x=4.$
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{4}{3}.$
(2)去分母,得 $6x-3(x-2)=6+2(2x-1).$
去括号,得 $6x-3x+6=6+4x-2.$
移项,得 $6x-3x-4x=6-2-6.$
合并同类项,得 $-x=-2.$
系数化为 1,得 $x=2.$
(3)去分母,得 $3(x+1)-12=2(2x-1).$
去括号,得 $3x+3-12=4x-2.$
移项,得 $3x-4x=-2-3+12.$
合并同类项,得 $-x=7.$
系数化为 1,得 $x=-7.$
【答案】
(1)$x=-\dfrac{4}{3}$；(2)$x=2$；(3)$x=-7$
【知识点】
去分母解一元一次方程；等式的基本性质；一元一次方程求解步骤
【点评】
本题是含分母一元一次方程的基础训练题，核心易错点为去分母时漏乘常数项、去括号或移项时符号出错，熟练掌握解一元一次方程的流程，注意每一步的操作细节即可正确求解。
【难度系数】
0.8
这三道题均为含分母的一元一次方程，解题按照标准步骤展开即可：第一步去分母，先找到所有分母的最小公倍数，方程两边同时乘该最小公倍数，注意不要漏乘不含分母的常数项；第二步去括号，遵循去括号法则，若括号前为负号，括号内各项都要变号；第三步移项，将含未知数的项移到等号一侧，常数项移到另一侧，移项需变号；第四步合并同类项，将方程化简为$ax=b$（$a\ne0$）的形式；第五步系数化为1，两边同时除以未知数的系数得到方程的解。
【解析】
(1)去分母,得 $4(x-1)=7x.$
去括号,得 $4x-4=7x.$
移项,得 $4x-7x=4.$
合并同类项,得 $-3x=4.$
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{4}{3}.$
(2)去分母,得 $6x-3(x-2)=6+2(2x-1).$
去括号,得 $6x-3x+6=6+4x-2.$
移项,得 $6x-3x-4x=6-2-6.$
合并同类项,得 $-x=-2.$
系数化为 1,得 $x=2.$
(3)去分母,得 $3(x+1)-12=2(2x-1).$
去括号,得 $3x+3-12=4x-2.$
移项,得 $3x-4x=-2-3+12.$
合并同类项,得 $-x=7.$
系数化为 1,得 $x=-7.$
【答案】
(1)$x=-\dfrac{4}{3}$；(2)$x=2$；(3)$x=-7$
【知识点】
去分母解一元一次方程；等式的基本性质；一元一次方程求解步骤
【点评】
本题是含分母一元一次方程的基础训练题，核心易错点为去分母时漏乘常数项、去括号或移项时符号出错，熟练掌握解一元一次方程的流程，注意每一步的操作细节即可正确求解。
【难度系数】
0.8
4.据报道，某高速路通车后，由A地至B地可实现1 h通达，比原来节省了30 min.小艺爸爸发现通车后从A地去B地出差比通车前少行驶27.5 km，如果平均车速比原来快17 km/h，正好和报道中描述的情况吻合，通车前小艺爸爸驾车去B地出差的平均时速是多少？
答案
4. 解 设通车前小艺爸爸驾车去 B 地出差的路程为$x$ km,则通车后小艺爸爸驾车去 B 地出差的路程为$(x-27.5)$ km,根据“平均车速比原来快 17 km/h”,列得方程$\dfrac{x-27.5}{1}-\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=17.$
去分母,得 $3(x-27.5)-2x=17×3.$
去括号,得 $3x-82.5-2x=51.$
移项,得 $3x-2x=51+82.5,$
合并同类项,得 $x=133.5.$
$\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=\dfrac{133.5}{1+\dfrac{1}{2}}=89.$
答:通车前小艺爸爸驾车去 B 地出差的平均时速是89 km/h.
去分母,得 $3(x-27.5)-2x=17×3.$
去括号,得 $3x-82.5-2x=51.$
移项,得 $3x-2x=51+82.5,$
合并同类项,得 $x=133.5.$
$\dfrac{x}{1+\dfrac{30}{60}}=\dfrac{133.5}{1+\dfrac{1}{2}}=89.$
答:通车前小艺爸爸驾车去 B 地出差的平均时速是89 km/h.
解析
【分析】
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是利用“速度=路程÷时间”的基本公式，梳理通车前后的路程、时间、速度三个量的关系，找到等量关系列方程。首先明确已知条件：通车后行驶时间为1h，比通车前节省30min（即0.5h），因此通车前行驶时间为1.5h；通车后行驶路程比通车前少27.5km，通车后平均车速比通车前快17km/h。我们可以先设通车前的路程为x km，分别表示出通车前后的车速，再根据“通车后车速-通车前车速=17km/h”的等量关系列方程，求解出通车前的路程后，再根据速度公式计算通车前的平均时速即可。
【解析】
解：设通车前小艺爸爸驾车去B地出差的路程为$x$ km，则通车后的路程为$(x-27.5)$ km。
由题意可知，通车前行驶时间为$1+\frac{30}{60}=1.5$ h，根据车速差列方程：
$\frac{x-27.5}{1}-\frac{x}{1+\frac{30}{60}}=17$
去分母，得：$3(x-27.5)-2x=17×3$
去括号，得：$3x-82.5-2x=51$
移项，得：$3x-2x=51+82.5$
合并同类项，得：$x=133.5$
则通车前的平均时速为：$\frac{x}{1+\frac{30}{60}}=\frac{133.5}{1.5}=89$（km/h）
答：通车前小艺爸爸驾车去B地出差的平均时速是89 km/h。
【答案】
89 km/h
【知识点】
一元一次方程的应用；去分母解一元一次方程；行程问题公式
【点评】
本题属于典型的行程类方程应用题，解题的关键是找准通车前后路程、时间、速度的对应关系，抓住速度差这一等量关系列方程求解，解题过程中要注意时间单位的统一，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
这是一道行程类的一元一次方程应用题，解题核心是利用“速度=路程÷时间”的基本公式，梳理通车前后的路程、时间、速度三个量的关系，找到等量关系列方程。首先明确已知条件：通车后行驶时间为1h，比通车前节省30min（即0.5h），因此通车前行驶时间为1.5h；通车后行驶路程比通车前少27.5km，通车后平均车速比通车前快17km/h。我们可以先设通车前的路程为x km，分别表示出通车前后的车速，再根据“通车后车速-通车前车速=17km/h”的等量关系列方程，求解出通车前的路程后，再根据速度公式计算通车前的平均时速即可。
【解析】
解：设通车前小艺爸爸驾车去B地出差的路程为$x$ km，则通车后的路程为$(x-27.5)$ km。
由题意可知，通车前行驶时间为$1+\frac{30}{60}=1.5$ h，根据车速差列方程：
$\frac{x-27.5}{1}-\frac{x}{1+\frac{30}{60}}=17$
去分母，得：$3(x-27.5)-2x=17×3$
去括号，得：$3x-82.5-2x=51$
移项，得：$3x-2x=51+82.5$
合并同类项，得：$x=133.5$
则通车前的平均时速为：$\frac{x}{1+\frac{30}{60}}=\frac{133.5}{1.5}=89$（km/h）
答：通车前小艺爸爸驾车去B地出差的平均时速是89 km/h。
【答案】
89 km/h
【知识点】
一元一次方程的应用；去分母解一元一次方程；行程问题公式
【点评】
本题属于典型的行程类方程应用题，解题的关键是找准通车前后路程、时间、速度的对应关系，抓住速度差这一等量关系列方程求解，解题过程中要注意时间单位的统一，避免因单位不统一出现计算错误。
【难度系数】
0.7
5. 阅读以下材料，完成任务.
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程.
解：原方程可化为$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$，去分母，得$3x - 2 + 14 = -6 - 4x$，移项、合并同类项，得$7x = -18$，系数化为1，得$x = -\frac{18}{7}$.
任务：
（1）该同学由$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$变形到$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$是利用了（
A. 等式的性质1
B. 等式的性质2
C. 分数的性质
D. 去分母
（2）请仿照上述方法解方程：$\frac{2x}{0.03} + \frac{0.25 - 0.1x}{0.02} = 1$.
分子、分母含小数的一元一次方程的解法
我们知道，解一元一次方程的一般步骤是去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1，那么像$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$这样分子、分母均含有小数的方程如何求出它的解呢？下面是某同学的解答过程.
解：原方程可化为$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$，去分母，得$3x - 2 + 14 = -6 - 4x$，移项、合并同类项，得$7x = -18$，系数化为1，得$x = -\frac{18}{7}$.
任务：
（1）该同学由$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} + 7 = \frac{-1.5 - x}{0.5}$变形到$\frac{3x - 2}{2} + 7 = \frac{-3 - 2x}{1}$是利用了（
C
）.A. 等式的性质1
B. 等式的性质2
C. 分数的性质
D. 去分母
（2）请仿照上述方法解方程：$\frac{2x}{0.03} + \frac{0.25 - 0.1x}{0.02} = 1$.
答案
5. 解 (1)C
(2)原方程可化为$\dfrac{200x}{3}+\dfrac{25-10x}{2}=1.$
去分母,得 $400x+3(25-10x)=6.$
去括号,得 $400x+75-30x=6.$
移项,得 $400x-30x=6-75.$
合并同类项,得 $370x=-69.$
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{69}{370}.$
(2)原方程可化为$\dfrac{200x}{3}+\dfrac{25-10x}{2}=1.$
去分母,得 $400x+3(25-10x)=6.$
去括号,得 $400x+75-30x=6.$
移项,得 $400x-30x=6-75.$
合并同类项,得 $370x=-69.$
系数化为 1,得 $x=-\dfrac{69}{370}.$
解析
【分析】
（1）先观察变形特征：该步只对等式中的两个分数本身进行调整，将每个分数的分子、分母同时乘同一个不为0的数，把小数化为整数且分数大小不变，符合分数的基本性质的特征，据此可判断正确选项；
（2）解方程思路：先仿照示例用分数的基本性质，把两个含小数分母的分数的分子、分母同时乘100，将分母转化为整数，再按解一元一次方程的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1依次计算即可。
【解析】
（1）变形$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} \to \frac{3x - 2}{2}$是分子分母同乘10，$\frac{-1.5 - x}{0.5} \to \frac{-3 - 2x}{1}$是分子分母同乘2（或同乘10后约分），整个过程仅调整分数的分子、分母形式，分数值保持不变，应用的是分数的性质，故选C。
（2）解：利用分数的性质，将原方程中各分数的分子分母同乘100，化为整数系数得：
$\dfrac{200x}{3}+\dfrac{25-10x}{2}=1$
去分母，等式两边同乘6，得 $400x+3(25-10x)=6$
去括号，得 $400x+75-30x=6$
移项，得 $400x-30x=6-75$
合并同类项，得 $370x=-69$
系数化为1，得 $x=-\dfrac{69}{370}$
【答案】
（1）C
（2）$x=-\dfrac{69}{370}$
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题考查含小数分母的一元一次方程的解法，核心是区分分数的基本性质和等式的性质，将小数分母化整时仅调整对应分数的分子分母，不要错误改动等式内的其他项，再按常规解方程步骤求解即可。
【难度系数】
0.7
（1）先观察变形特征：该步只对等式中的两个分数本身进行调整，将每个分数的分子、分母同时乘同一个不为0的数，把小数化为整数且分数大小不变，符合分数的基本性质的特征，据此可判断正确选项；
（2）解方程思路：先仿照示例用分数的基本性质，把两个含小数分母的分数的分子、分母同时乘100，将分母转化为整数，再按解一元一次方程的常规步骤：去分母、去括号、移项、合并同类项、系数化为1依次计算即可。
【解析】
（1）变形$\frac{0.3x - 0.2}{0.2} \to \frac{3x - 2}{2}$是分子分母同乘10，$\frac{-1.5 - x}{0.5} \to \frac{-3 - 2x}{1}$是分子分母同乘2（或同乘10后约分），整个过程仅调整分数的分子、分母形式，分数值保持不变，应用的是分数的性质，故选C。
（2）解：利用分数的性质，将原方程中各分数的分子分母同乘100，化为整数系数得：
$\dfrac{200x}{3}+\dfrac{25-10x}{2}=1$
去分母，等式两边同乘6，得 $400x+3(25-10x)=6$
去括号，得 $400x+75-30x=6$
移项，得 $400x-30x=6-75$
合并同类项，得 $370x=-69$
系数化为1，得 $x=-\dfrac{69}{370}$
【答案】
（1）C
（2）$x=-\dfrac{69}{370}$
【知识点】
1. 分数的基本性质
2. 解一元一次方程
【点评】
本题考查含小数分母的一元一次方程的解法，核心是区分分数的基本性质和等式的性质，将小数分母化整时仅调整对应分数的分子分母，不要错误改动等式内的其他项，再按常规解方程步骤求解即可。
【难度系数】
0.7
