12.某超市答谢顾客的办法是:凡在本超市购物的,均可凭购物小票,参与抽奖活动.奖品是:绿茶(500mL)、红茶(500mL)和可乐(600mL).
抽奖规则如下:
① 图5-1-8是一个材质均匀可自由转动的转盘,转盘被等分成5个扇形区域,每个区域上分别写有“可”“绿”“乐”“茶”“红”字样.
② 参与一次抽奖活动的顾客可进行两次“有效随机转动”(转动转盘,转盘停止后,指针指向有字区域,称为一次“有效随机转动”,若指针指向两区域边界,重新转动转盘).
③ 当顾客完成一次抽奖后,两次指针所指区域的两个字,与奖品名称的两个字相同(与字的顺序无关),便可获得相应的奖品,不相同时,不能获得任何奖品.
根据以上规则,回答下列问题.
(1) 求一次“有效随机转动”可获得“乐”字的概率.
(2) 请你用列表法或画树状图的方法,求顾客经过两次“有效随机转动”后,获得一瓶可乐的概率.

图5-1-8

12. (1) 一次“有效随机转动”是“乐”的概率为$\frac{1}{5}$.
(2) 由题意,列表如下：
| | 可 | 绿 | 乐 | 茶 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 可 | (可,可) | (可,绿) | (可,乐) | (可,茶) | (可,红) |
| 绿 | (绿,可) | (绿,绿) | (绿,乐) | (绿,茶) | (绿,红) |
| 乐 | (乐,可) | (乐,绿) | (乐,乐) | (乐,茶) | (乐,红) |
| 茶 | (茶,可) | (茶,绿) | (茶,乐) | (茶,茶) | (茶,红) |
| 红 | (红,可) | (红,绿) | (红,乐) | (红,茶) | (红,红) |
共有25种等可能结果,结果是(可,乐)或(乐,可),获得一瓶可乐,共有2种情况，
$\therefore P(顾客获得一瓶可乐)=\frac{2}{25}$.

【分析】
（1）单次有效随机转动的概率可直接用概率公式求解：首先明确转盘被等分为5个区域，一次转动共有5种等可能结果，其中指向“乐”字的结果仅1种，代入公式即可计算。
（2）求两次转动获得可乐的概率，首先明确获奖条件是两次转出的字为“可”和“乐”（顺序不限）。我们可以通过列表法列举出两次转动所有的等可能结果，再从中筛选出符合条件的结果，最后代入概率公式计算即可。
【解析】
（1）解：
∵一次有效随机转动共有5种等可能的结果，其中指针指向“乐”字的结果有1种，
∴$P(\mathrm{一次转动获得“乐”字})=\frac{1}{5}$。
（2）解：根据题意，列表如下：
| 第一次\第二次 | 可 | 绿 | 乐 | 茶 | 红 |
| ---- | ---- | ---- | ---- | ---- | ---- |
| 可 | (可,可) | (可,绿) | (可,乐) | (可,茶) | (可,红) |
| 绿 | (绿,可) | (绿,绿) | (绿,乐) | (绿,茶) | (绿,红) |
| 乐 | (乐,可) | (乐,绿) | (乐,乐) | (乐,茶) | (乐,红) |
| 茶 | (茶,可) | (茶,绿) | (茶,乐) | (茶,茶) | (茶,红) |
| 红 | (红,可) | (红,绿) | (红,乐) | (红,茶) | (红,红) |
由表格可知，两次转动共有25种等可能的结果，其中能获得可乐的结果为（可，乐）、（乐，可），共2种，
∴$P(\mathrm{获得一瓶可乐})=\frac{2}{25}$。
【答案】
(1) $\boxed{\frac{1}{5}}$
(2) $\boxed{\frac{2}{25}}$
【知识点】
1. 简单概率计算
2. 列表法求概率
【点评】
本题属于概率基础题型，难度较低，解题核心是准确列举所有等可能结果，同时注意题干中“字的顺序无关”的要求，避免漏算符合条件的事件。
【难度系数】
0.7

13. 两次分别从1～6六个整数中任意取一个数，第一个数记作$m$，第二个数记作$n$，在研究点$P(m,n)$在反比例函数$y = \frac{12}{x}$和$y = \frac{6}{x}$的图象上的概率大小时，小芳认为两者的概率相同，小明认为点$P$在前一个函数图象上的概率大。
（1）试用列表或画树状图的方法列举出所有的点$P(m,n)$。
（2）分别求出点$P(m,n)$在每个反比例函数图象上的概率，并说明谁的观点正确。

13. (1) 树状图如图.
(2) 由树状图知,点$P(m,n)$共有36种等可能结果,点(3,4),(4,3),(2,6),(6,2)在反比例函数$y = \frac{12}{x}$的图象上;点(2,3),(3,2),(1,6),(6,1)在函数$y = \frac{6}{x}$的图象上,概率都是$\frac{1}{9}$,所以小芳的观点正确.

【分析】
这是一道概率与反比例函数结合的基础综合题，解题思路如下：1. 解决第一问时，因为是两次独立从1~6取数，第一次取的m有6种可能，第二次取的n对应每个m也有6种可能，用树状图或列表法就能不重不漏列举出所有点P(m,n)的结果，且所有结果是等可能的。2. 解决第二问时，先回忆反比例函数图象上点的坐标特征：若点(x,y)在y=k/x的图象上，则xy=k，据此分别找出满足mn=12、mn=6的点的个数，再根据概率公式“概率=符合条件的结果数÷所有等可能结果数”计算两个概率，比较大小后即可判断谁的观点正确。
【解析】
（1）用树状图列举所有结果：第一层为第一次取的数m，可取1、2、3、4、5、6共6种情况；对应每个m，第二层为第二次取的数n，均可取1、2、3、4、5、6共6种情况，即可得到所有点P(m,n)的结果。
（2）由树状图可知，共有$6×6=36$种等可能的结果。
根据反比例函数图象上点的坐标特征：
① 若点P在$y=\frac{12}{x}$的图象上，则$m· n=12$，在1~6的整数中，满足乘积为12的组合有$(3,4)、(4,3)、(2,6)、(6,2)$，共4种结果，因此点P在$y=\frac{12}{x}$图象上的概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。
② 若点P在$y=\frac{6}{x}$的图象上，则$m· n=6$，在1~6的整数中，满足乘积为6的组合有$(2,3)、(3,2)、(1,6)、(6,1)$，共4种结果，因此点P在$y=\frac{6}{x}$图象上的概率为$\frac{4}{36}=\frac{1}{9}$。
两个概率相等，因此小芳的观点正确。
【答案】
(1) 树状图如图。
(2) 点$P$在两个反比例函数图象上的概率都是$\frac{1}{9}$，小芳的观点正确。
【知识点】
1. 列举法求概率 2. 反比例函数点的坐标特征 3. 概率计算
【点评】
本题是概率与反比例函数的综合基础题，主要考查学生对列举所有等可能结果方法的掌握，以及反比例函数基本性质的应用，解题时要注意列举结果时做到不重不漏，准确识别符合函数条件的点坐标即可顺利解题。
【难度系数】
0.7