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1.在不透明的袋中装有大小一样的红球和白球各2个，从中摸出两个球恰为红球的概率m与抛掷两枚硬币落地后都正面朝上的概率n的大小关系是
m ＜ n
。答案
1. m ＜ n
解析
【分析】
要比较m和n的大小，需分别计算两个事件的概率再作比较。首先用列举法计算摸出两个球都是红球的概率m：先列出从4个球中摸出2个球的所有等可能结果，再统计两个都是红球的结果数，根据概率公式求出m；接着用列举法计算抛掷两枚硬币都正面朝上的概率n：列出抛两枚硬币的所有等可能结果，统计都正面朝上的结果数求出n；最后比较两个分数的大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算概率m：
将袋中2个红球记为红₁、红₂，2个白球记为白₁、白₂，从中不放回摸出2个球，所有等可能的结果为：(红₁,红₂)、(红₁,白₁)、(红₁,白₂)、(红₂,白₁)、(红₂,白₂)、(白₁,白₂)，共6种，其中两个球都是红球的结果只有1种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，得$m=\frac{1}{6}$。
2. 计算概率n：
抛掷两枚硬币，所有等可能的结果为：正正、正反、反正、反反，共4种，其中两枚都正面朝上的结果只有1种。
同理得$n=\frac{1}{4}$。
3. 比较大小：
因为$\frac{1}{6}＜\frac{1}{4}$，所以$m ＜ n$。
【答案】
m ＜ n
【知识点】
1.列举法求概率 2.概率大小比较
【点评】
本题考查两步随机事件的概率计算，解题核心是准确列举出所有机会均等的结果，注意摸球属于不放回试验，前后两次摸球的结果会互相影响，避免算错结果总数即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
要比较m和n的大小，需分别计算两个事件的概率再作比较。首先用列举法计算摸出两个球都是红球的概率m：先列出从4个球中摸出2个球的所有等可能结果，再统计两个都是红球的结果数，根据概率公式求出m；接着用列举法计算抛掷两枚硬币都正面朝上的概率n：列出抛两枚硬币的所有等可能结果，统计都正面朝上的结果数求出n；最后比较两个分数的大小即可得出结论。
【解析】
1. 计算概率m：
将袋中2个红球记为红₁、红₂，2个白球记为白₁、白₂，从中不放回摸出2个球，所有等可能的结果为：(红₁,红₂)、(红₁,白₁)、(红₁,白₂)、(红₂,白₁)、(红₂,白₂)、(白₁,白₂)，共6种，其中两个球都是红球的结果只有1种。
根据概率公式$P=\frac{符合条件的结果数}{所有等可能的结果数}$，得$m=\frac{1}{6}$。
2. 计算概率n：
抛掷两枚硬币，所有等可能的结果为：正正、正反、反正、反反，共4种，其中两枚都正面朝上的结果只有1种。
同理得$n=\frac{1}{4}$。
3. 比较大小：
因为$\frac{1}{6}＜\frac{1}{4}$，所以$m ＜ n$。
【答案】
m ＜ n
【知识点】
1.列举法求概率 2.概率大小比较
【点评】
本题考查两步随机事件的概率计算，解题核心是准确列举出所有机会均等的结果，注意摸球属于不放回试验，前后两次摸球的结果会互相影响，避免算错结果总数即可顺利求解。
【难度系数】
0.7
2. 一盒螺钉共有20个，其中有16个合格，从中抽取1个是合格的概率为
0.8
；另一盒螺母共有20个，其中有15个合格，从中抽取1个是合格的概率为0.75
；现在分别从两盒中各取出1个螺钉和1个螺母，2个都合格的概率为0.6
。答案
2. 0.8，0.75，0.6
解析
【分析】
本题需分三步求解，核心用到等可能事件的概率公式和独立事件概率计算规则。第一步求抽取合格螺钉的概率，直接用合格螺钉数除以螺钉总数量即可；第二步求抽取合格螺母的概率，同理用合格螺母数除以螺母总数量；第三步求各取1个都合格的概率，由于抽取螺钉和抽取螺母是互不影响的独立事件，二者同时发生的概率等于两个单独事件概率的乘积。
【解析】
1. 抽取螺钉合格的概率：螺钉总共有20个，合格的有16个，根据等可能事件概率公式，可得$P_1=\frac{合格螺钉数量}{螺钉总数量}=\frac{16}{20}=0.8$；
2. 抽取螺母合格的概率：螺母总共有20个，合格的有15个，同理可得$P_2=\frac{合格螺母数量}{螺母总数量}=\frac{15}{20}=0.75$；
3. 各取1个都合格的概率：抽取螺钉和抽取螺母为相互独立事件，同时发生的概率为两个概率的乘积，即$P=P_1 × P_2=0.8×0.75=0.6$。
【答案】
0.8，0.75，0.6
【知识点】
1. 等可能事件概率计算 2. 独立事件概率乘法
【点评】
本题属于概率基础题型，侧重考察概率基本计算公式和独立事件的概率计算规则，计算量小，掌握基础概念和运算规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
本题需分三步求解，核心用到等可能事件的概率公式和独立事件概率计算规则。第一步求抽取合格螺钉的概率，直接用合格螺钉数除以螺钉总数量即可；第二步求抽取合格螺母的概率，同理用合格螺母数除以螺母总数量；第三步求各取1个都合格的概率，由于抽取螺钉和抽取螺母是互不影响的独立事件，二者同时发生的概率等于两个单独事件概率的乘积。
【解析】
1. 抽取螺钉合格的概率：螺钉总共有20个，合格的有16个，根据等可能事件概率公式，可得$P_1=\frac{合格螺钉数量}{螺钉总数量}=\frac{16}{20}=0.8$；
2. 抽取螺母合格的概率：螺母总共有20个，合格的有15个，同理可得$P_2=\frac{合格螺母数量}{螺母总数量}=\frac{15}{20}=0.75$；
3. 各取1个都合格的概率：抽取螺钉和抽取螺母为相互独立事件，同时发生的概率为两个概率的乘积，即$P=P_1 × P_2=0.8×0.75=0.6$。
【答案】
0.8，0.75，0.6
【知识点】
1. 等可能事件概率计算 2. 独立事件概率乘法
【点评】
本题属于概率基础题型，侧重考察概率基本计算公式和独立事件的概率计算规则，计算量小，掌握基础概念和运算规则即可顺利得分。
【难度系数】
0.8
3.一个不透明的袋子里有白球和红球各2个，这些球只有颜色不同，从袋子里随机摸出1个球记下颜色后放回，再随机地摸出1个球，两次都摸到白球的概率为……【 】
A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{8}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{2}$
答案
C
解析
【分析】
这是一道放回型的概率计算问题，解题思路可从两个方向切入：一是先计算单次摸到白球的概率，由于摸球后放回，两次摸球的结果互不影响，直接将两次摸到白球的概率相乘即可得到结果；二是用列举法（列表或树状图）列出两次摸球所有等可能的结果，再找出两次都摸到白球的结果数，根据“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
方法1：分步概率计算
袋子中共有球$2+2=4$个，其中白球2个，单次随机摸出1个球是白球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
由于摸球后放回，两次摸球为独立试验，第二次摸到白球的概率同样为$\frac{1}{2}$。
因此两次都摸到白球的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
方法2：列举法验证
两次摸球的所有等可能结果共$4 × 4=16$种，其中两次都摸到白球的结果有$2 × 2=4$种，因此概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
放回型概率计算；列举法求概率；独立事件概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是明确“放回摸球”的特点，即每次摸球的总球数、各类球的数量都不变，两次试验结果互不影响，计算时要注意和不放回摸球的情况区分开。
【难度系数】
0.8
这是一道放回型的概率计算问题，解题思路可从两个方向切入：一是先计算单次摸到白球的概率，由于摸球后放回，两次摸球的结果互不影响，直接将两次摸到白球的概率相乘即可得到结果；二是用列举法（列表或树状图）列出两次摸球所有等可能的结果，再找出两次都摸到白球的结果数，根据“概率=所求情况数÷总情况数”计算即可。
【解析】
方法1：分步概率计算
袋子中共有球$2+2=4$个，其中白球2个，单次随机摸出1个球是白球的概率为$\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
由于摸球后放回，两次摸球为独立试验，第二次摸到白球的概率同样为$\frac{1}{2}$。
因此两次都摸到白球的概率为$\frac{1}{2} × \frac{1}{2} = \frac{1}{4}$。
方法2：列举法验证
两次摸球的所有等可能结果共$4 × 4=16$种，其中两次都摸到白球的结果有$2 × 2=4$种，因此概率为$\frac{4}{16}=\frac{1}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
放回型概率计算；列举法求概率；独立事件概率
【点评】
本题属于概率基础题，解题的关键是明确“放回摸球”的特点，即每次摸球的总球数、各类球的数量都不变，两次试验结果互不影响，计算时要注意和不放回摸球的情况区分开。
【难度系数】
0.8
4.现有长分别为10cm,7cm,5cm,3cm的四条线段,从中任意选三条线段能够组成三角形的概率是 ……………………【 】
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
A.$\frac{1}{4}$
B.$\frac{1}{3}$
C.$\frac{1}{2}$
D.$\frac{3}{4}$
答案
C
解析
【分析】
解题需分三步推进：第一步明确概率计算逻辑，即概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数；第二步用列举法找出从4条线段中任选3条的全部组合，列举时注意不重不漏；第三步根据三角形三边关系判断每个组合能否构成三角形，简便判断技巧为：只需验证两条较短线段的和是否大于最长线段，即可快速得出结论，最后代入公式计算概率即可。
【解析】
从四条线段中任意选3条，所有等可能的组合共有4种，逐一判断如下：
1. 选10cm、7cm、5cm：较短两边和为$5+7=12＞10$，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
2. 选10cm、7cm、3cm：较短两边和为$3+7=10$，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
3. 选10cm、5cm、3cm：较短两边和为$3+5=8＜10$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；
4. 选7cm、5cm、3cm：较短两边和为$3+5=8＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
能构成三角形的情况共2种，总情况共4种，因此组成三角形的概率为$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 列举法求概率
【点评】
本题是几何与概率的综合基础题，易错点有两个：一是列举组合时出现重复或遗漏，二是忽略两边之和等于第三边时无法构成三角形的要求，解题时用“短边之和大于最长边”的判断技巧可以有效提高正确率。
【难度系数】
0.7
解题需分三步推进：第一步明确概率计算逻辑，即概率=符合条件的情况数÷所有等可能的总情况数；第二步用列举法找出从4条线段中任选3条的全部组合，列举时注意不重不漏；第三步根据三角形三边关系判断每个组合能否构成三角形，简便判断技巧为：只需验证两条较短线段的和是否大于最长线段，即可快速得出结论，最后代入公式计算概率即可。
【解析】
从四条线段中任意选3条，所有等可能的组合共有4种，逐一判断如下：
1. 选10cm、7cm、5cm：较短两边和为$5+7=12＞10$，满足三角形三边关系，可以构成三角形；
2. 选10cm、7cm、3cm：较短两边和为$3+7=10$，不满足两边之和大于第三边，不能构成三角形；
3. 选10cm、5cm、3cm：较短两边和为$3+5=8＜10$，不满足三角形三边关系，不能构成三角形；
4. 选7cm、5cm、3cm：较短两边和为$3+5=8＞7$，满足三角形三边关系，可以构成三角形。
能构成三角形的情况共2种，总情况共4种，因此组成三角形的概率为$P=\frac{2}{4}=\frac{1}{2}$。
【答案】
C
【知识点】
1. 三角形三边关系
2. 列举法求概率
【点评】
本题是几何与概率的综合基础题，易错点有两个：一是列举组合时出现重复或遗漏，二是忽略两边之和等于第三边时无法构成三角形的要求，解题时用“短边之和大于最长边”的判断技巧可以有效提高正确率。
【难度系数】
0.7
5.在学习轴对称知识时，王老师让同学们寻找身边的轴对称图形，小明有一副三角尺和一个量角器(如图5-1-9所示).
（1）小明的这三件文具中，可以看作是轴对称图形的是
（2）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，并画出草图.(只需画一种)
（3）小红也有同样的一副三角尺和一个量角器，他们分别从自己这三件文具中随机取出一件，两件文具可以拼成一个轴对称图案的概率是多少?(画树状图或列表计算)
（1）小明的这三件文具中，可以看作是轴对称图形的是
B,C
.(填字母代号)（2）请用这三个图形中的两个拼成一个轴对称图案，并画出草图.(只需画一种)
（3）小红也有同样的一副三角尺和一个量角器，他们分别从自己这三件文具中随机取出一件，两件文具可以拼成一个轴对称图案的概率是多少?(画树状图或列表计算)
答案
5. (1) B,C
(2) B和C可拼成轴对称图形，图略。
(3) 可拼成轴对称图形的:AA,BB,BC,CB,CC。
概率为$\frac{5}{9}$。解析
【分析】
（1）第一问需依据轴对称图形的定义判断：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形为轴对称图形，逐一分析三个文具的形状即可得出结论。
（2）第二问拼轴对称图案，只需选择两个图形，使二者的对称轴重合，拼接后整体存在符合要求的对称轴即可，例如将等腰直角三角尺B的斜边与量角器C的直径对齐拼接。
（3）第三问属于两步概率问题，先通过列表或树状图列举出小明、小红各取一件文具的所有等可能结果，再统计出其中能拼成轴对称图案的结果数，最后利用概率公式计算概率即可。
【解析】
（1）根据轴对称图形定义判断：
A是含30°角的直角三角尺，不存在直线使它折叠后两边完全重合，不是轴对称图形；
B是等腰直角三角尺，沿斜边的高所在直线折叠后两边完全重合，是轴对称图形；
C是半圆形量角器，沿过圆心且垂直于直径的直线折叠后两边完全重合，是轴对称图形。
故可看作轴对称图形的是B、C。
（2）选择B和C，将量角器C的直径边与等腰直角三角尺B的斜边完全对齐，使二者的对称轴重合，即可得到轴对称图案，草图略（合理即可）。
（3）列表列举所有等可能的结果如下：
| 小明\小红 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
共有9种等可能的结果，其中能拼成轴对称图案的有(A,A)、(B,B)、(B,C)、(C,B)、(C,C)，共5种。
根据概率公式，可得所求概率$P=\frac{5}{9}$。
【答案】
(1) B,C
(2) B和C可拼成轴对称图形，图略。
(3) 可拼成轴对称图形的:AA,BB,BC,CB,CC。 概率为$\frac{5}{9}$。
【知识点】
轴对称图形识别，列举法求概率
【点评】
本题结合常见的学习用具考查轴对称知识和概率计算，难度适中，既考查了基础概念的掌握，也要求学生能准确筛选符合条件的情况，避免列举结果时出现遗漏或重复。
【难度系数】
0.7
（1）第一问需依据轴对称图形的定义判断：沿一条直线折叠后，直线两旁的部分能完全重合的图形为轴对称图形，逐一分析三个文具的形状即可得出结论。
（2）第二问拼轴对称图案，只需选择两个图形，使二者的对称轴重合，拼接后整体存在符合要求的对称轴即可，例如将等腰直角三角尺B的斜边与量角器C的直径对齐拼接。
（3）第三问属于两步概率问题，先通过列表或树状图列举出小明、小红各取一件文具的所有等可能结果，再统计出其中能拼成轴对称图案的结果数，最后利用概率公式计算概率即可。
【解析】
（1）根据轴对称图形定义判断：
A是含30°角的直角三角尺，不存在直线使它折叠后两边完全重合，不是轴对称图形；
B是等腰直角三角尺，沿斜边的高所在直线折叠后两边完全重合，是轴对称图形；
C是半圆形量角器，沿过圆心且垂直于直径的直线折叠后两边完全重合，是轴对称图形。
故可看作轴对称图形的是B、C。
（2）选择B和C，将量角器C的直径边与等腰直角三角尺B的斜边完全对齐，使二者的对称轴重合，即可得到轴对称图案，草图略（合理即可）。
（3）列表列举所有等可能的结果如下：
| 小明\小红 | A | B | C |
| --- | --- | --- | --- |
| A | (A,A) | (A,B) | (A,C) |
| B | (B,A) | (B,B) | (B,C) |
| C | (C,A) | (C,B) | (C,C) |
共有9种等可能的结果，其中能拼成轴对称图案的有(A,A)、(B,B)、(B,C)、(C,B)、(C,C)，共5种。
根据概率公式，可得所求概率$P=\frac{5}{9}$。
【答案】
(1) B,C
(2) B和C可拼成轴对称图形，图略。
(3) 可拼成轴对称图形的:AA,BB,BC,CB,CC。
概率为$\frac{5}{9}$。【知识点】
轴对称图形识别，列举法求概率
【点评】
本题结合常见的学习用具考查轴对称知识和概率计算，难度适中，既考查了基础概念的掌握，也要求学生能准确筛选符合条件的情况，避免列举结果时出现遗漏或重复。
【难度系数】
0.7
