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6.某中学定期对学生进行视力检测，有A，B两处检测点，甲、乙、丙三名学生各自随机选择其中的一处检测视力.
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率.
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率.
（1）求甲、乙、丙三名学生在同一处检测视力的概率.
（2）求甲、乙、丙三名学生中至少有两人在B处检测视力的概率.
答案
甲、乙、丙的检测情况，有8种等可能结果：
| A | 甲 | 甲乙 | 甲丙 | 乙 | 乙丙 | 丙 | 甲乙丙 | |
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
| B | 乙丙 | 丙 | 乙 | 甲丙 | 甲 | 甲乙 | | 甲乙丙 |
(1) $P$(甲、乙、丙在同一处检测) $= \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。
(2) $P$(至少有两人在$B$处检测) $= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。
| A | 甲 | 甲乙 | 甲丙 | 乙 | 乙丙 | 丙 | 甲乙丙 | |
|----|----|----|----|----|----|----|----|----|
| B | 乙丙 | 丙 | 乙 | 甲丙 | 甲 | 甲乙 | | 甲乙丙 |
(1) $P$(甲、乙、丙在同一处检测) $= \frac{2}{8} = \frac{1}{4}$。
(2) $P$(至少有两人在$B$处检测) $= \frac{4}{8} = \frac{1}{2}$。
解析
【分析】
解决本题的核心是先通过列举法找出三名学生选择检测点的所有等可能结果，再根据概率公式计算对应事件的概率：①对于第一问，筛选出三人在同一检测点的结果数，代入公式计算即可；②对于第二问，明确“至少两人在B处”包含“恰好两人在B处”和“三人都在B处”两类情况，筛选出对应结果数后代入公式计算。
【解析】
甲、乙、丙三名学生每人都可选择A或B两处检测点，所有等可能的结果共有8种，分别为：
(A,A,A)、(A,A,B)、(A,B,A)、(A,B,B)、(B,A,A)、(B,A,B)、(B,B,A)、(B,B,B)（括号内顺序依次为甲、乙、丙的选择）
(1) 三名学生在同一处检测的结果有(A,A,A)、(B,B,B)，共2种，
故$P(\mathrm{甲、乙、丙在同一处检测})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
(2) 至少有两人在B处检测的结果有(A,B,B)、(B,A,B)、(B,B,A)、(B,B,B)，共4种，
故$P(\mathrm{至少有两人在B处检测})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boxed{\dfrac{1}{4}}$；（2）$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率，概率计算公式，分类计数思想
【点评】
本题是概率基础应用题，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，理解“至少”类表述的含义，避免出现漏算符合条件的事件数的错误。
【难度系数】
0.7
解决本题的核心是先通过列举法找出三名学生选择检测点的所有等可能结果，再根据概率公式计算对应事件的概率：①对于第一问，筛选出三人在同一检测点的结果数，代入公式计算即可；②对于第二问，明确“至少两人在B处”包含“恰好两人在B处”和“三人都在B处”两类情况，筛选出对应结果数后代入公式计算。
【解析】
甲、乙、丙三名学生每人都可选择A或B两处检测点，所有等可能的结果共有8种，分别为：
(A,A,A)、(A,A,B)、(A,B,A)、(A,B,B)、(B,A,A)、(B,A,B)、(B,B,A)、(B,B,B)（括号内顺序依次为甲、乙、丙的选择）
(1) 三名学生在同一处检测的结果有(A,A,A)、(B,B,B)，共2种，
故$P(\mathrm{甲、乙、丙在同一处检测})=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{总结果数}}=\frac{2}{8}=\frac{1}{4}$。
(2) 至少有两人在B处检测的结果有(A,B,B)、(B,A,B)、(B,B,A)、(B,B,B)，共4种，
故$P(\mathrm{至少有两人在B处检测})=\frac{4}{8}=\frac{1}{2}$。
【答案】
（1）$\boxed{\dfrac{1}{4}}$；（2）$\boxed{\dfrac{1}{2}}$
【知识点】
列举法求概率，概率计算公式，分类计数思想
【点评】
本题是概率基础应用题，解题的关键是不重不漏地列举出所有等可能的事件结果，理解“至少”类表述的含义，避免出现漏算符合条件的事件数的错误。
【难度系数】
0.7
7. 图5-1-10是做游戏用的，正四面体骰子的四面分别有数字1,2,3,4，游戏规则是：两人轮流抛掷骰子，骰子朝下的数字是几，就将棋子沿顺时针方向推进几格，谁恰好把棋子推到有红旗的那一格谁获胜。开始棋子在标有数字“1”的那一格，小明先掷，小亮后掷。
（1）小明首次抛掷骰子能获胜吗？为什么？
（2）小亮第一次抛掷骰子获胜的概率是多少？
（1）小明首次抛掷骰子能获胜吗？为什么？
（2）小亮第一次抛掷骰子获胜的概率是多少？
答案
7. (1) 小明第一次抛掷骰子不能获胜。因为小明把棋子向前走6步才能获胜，而骰子上的最大数字为4，即最多把棋子向前走4步。
(2) 由树状图知，共有16个结果，结果为6有3个，$\therefore P$(小亮第一次掷骰子获胜) $= \frac{3}{16}$。
解析
【分析】
（1）先明确获胜要求：棋子从初始的1号格顺时针走到红旗格，需要恰好前进6步。再看骰子的点数范围是1~4，最大仅能前进4步，小于需要的6步，即可判断小明首次抛掷无法获胜。
（2）小亮第一次获胜需要满足小明走的步数与小亮走的步数之和为6。先列举两人抛掷骰子的所有等可能结果，再统计出步数和为6的结果数，最后用概率公式计算即可。
【解析】
（1）解：根据游戏规则，棋子初始在1号格，要恰好到达红旗格，需顺时针前进6步。
正四面体骰子的点数只有1、2、3、4四种可能，最大点数为4，即小明首次抛掷最多只能前进4步，4＜6，无法刚好前进6步到达红旗格，因此小明首次抛掷骰子不能获胜。
（2）解：设小明抛掷骰子得到的点数为$x$，小亮抛掷骰子得到的点数为$y$，小亮第一次获胜需满足$x+y=6$。
两人各抛一次骰子，所有等可能的结果共有$4×4=16$种，其中满足$x+y=6$的结果有：$(2,4)$、$(3,3)$、$(4,2)$，共3种。
根据概率公式可得：
$P$(小亮第一次掷骰子获胜)$=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{3}{16}$
【答案】
7. (1) 小明第一次抛掷骰子不能获胜。因为小明把棋子向前走6步才能获胜，而骰子上的最大数字为4，即最多把棋子向前走4步。
(2) 由树状图知，共有16个结果，结果为6有3个，$\therefore P$(小亮第一次掷骰子获胜) $= \frac{3}{16}$。
【知识点】
列举法求概率；概率公式应用
【点评】
本题结合趣味游戏考查概率的实际应用，解题核心是找准获胜的条件，准确统计所有等可能结果和符合要求的结果数，能够很好地锻炼学生将实际问题转化为概率模型的能力。
【难度系数】
0.65
（1）先明确获胜要求：棋子从初始的1号格顺时针走到红旗格，需要恰好前进6步。再看骰子的点数范围是1~4，最大仅能前进4步，小于需要的6步，即可判断小明首次抛掷无法获胜。
（2）小亮第一次获胜需要满足小明走的步数与小亮走的步数之和为6。先列举两人抛掷骰子的所有等可能结果，再统计出步数和为6的结果数，最后用概率公式计算即可。
【解析】
（1）解：根据游戏规则，棋子初始在1号格，要恰好到达红旗格，需顺时针前进6步。
正四面体骰子的点数只有1、2、3、4四种可能，最大点数为4，即小明首次抛掷最多只能前进4步，4＜6，无法刚好前进6步到达红旗格，因此小明首次抛掷骰子不能获胜。
（2）解：设小明抛掷骰子得到的点数为$x$，小亮抛掷骰子得到的点数为$y$，小亮第一次获胜需满足$x+y=6$。
两人各抛一次骰子，所有等可能的结果共有$4×4=16$种，其中满足$x+y=6$的结果有：$(2,4)$、$(3,3)$、$(4,2)$，共3种。
根据概率公式可得：
$P$(小亮第一次掷骰子获胜)$=\frac{\mathrm{符合条件的结果数}}{\mathrm{所有等可能结果数}}=\frac{3}{16}$
【答案】
7. (1) 小明第一次抛掷骰子不能获胜。因为小明把棋子向前走6步才能获胜，而骰子上的最大数字为4，即最多把棋子向前走4步。
(2) 由树状图知，共有16个结果，结果为6有3个，$\therefore P$(小亮第一次掷骰子获胜) $= \frac{3}{16}$。
【知识点】
列举法求概率；概率公式应用
【点评】
本题结合趣味游戏考查概率的实际应用，解题核心是找准获胜的条件，准确统计所有等可能结果和符合要求的结果数，能够很好地锻炼学生将实际问题转化为概率模型的能力。
【难度系数】
0.65
8.一副中国象棋的32枚棋子中有5枚是红兵，从这些棋子中摸出1枚棋子，然后放回搅匀再摸1枚棋子.
（1）第二次摸到的棋子是红兵的概率是多少？
（2）两次摸到的棋子都是红兵的概率是多少？
（1）第二次摸到的棋子是红兵的概率是多少？
（2）两次摸到的棋子都是红兵的概率是多少？
答案
(1) $\frac{5}{32}$。 (2) $\frac{25}{1024}$。
解析
【分析】
首先明确摸棋规则是有放回搅匀后再摸，属于有放回的重复试验，每次试验的条件完全一致，各次摸棋的结果互不影响。解答第一问时，因为每次摸棋时总棋子数、红兵数都不变，直接用古典概型的概率公式计算即可，无需考虑第一次的摸棋结果。解答第二问时，求两次都摸到红兵的概率，既可以先算所有等可能的总结果数和两次都是红兵的结果数，再代入概率公式计算，也可以利用独立事件概率的乘法规则，将两次摸到红兵的概率相乘得到结果。
【解析】
（1）因为每次摸完棋子都放回搅匀，所以每次摸棋时，总共有32枚等可能被摸到的棋子，其中红兵有5枚。
根据概率公式，第二次摸到红兵的概率为 $P=\frac{\mathrm{红兵的数量}}{\mathrm{总棋子数量}}=\frac{5}{32}$。
（2）两次摸棋的结果互不影响，第一次摸到红兵的概率为$\frac{5}{32}$，第二次摸到红兵的概率也为$\frac{5}{32}$。
因此两次都摸到红兵的概率为 $P=\frac{5}{32} × \frac{5}{32}=\frac{25}{1024}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{32}$。 (2) $\frac{25}{1024}$。
【知识点】
古典概型计算，独立事件概率，有放回试验概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对有放回试验特征的理解，解题时需注意区分有放回和无放回试验的差异，掌握独立事件同时发生的概率计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
首先明确摸棋规则是有放回搅匀后再摸，属于有放回的重复试验，每次试验的条件完全一致，各次摸棋的结果互不影响。解答第一问时，因为每次摸棋时总棋子数、红兵数都不变，直接用古典概型的概率公式计算即可，无需考虑第一次的摸棋结果。解答第二问时，求两次都摸到红兵的概率，既可以先算所有等可能的总结果数和两次都是红兵的结果数，再代入概率公式计算，也可以利用独立事件概率的乘法规则，将两次摸到红兵的概率相乘得到结果。
【解析】
（1）因为每次摸完棋子都放回搅匀，所以每次摸棋时，总共有32枚等可能被摸到的棋子，其中红兵有5枚。
根据概率公式，第二次摸到红兵的概率为 $P=\frac{\mathrm{红兵的数量}}{\mathrm{总棋子数量}}=\frac{5}{32}$。
（2）两次摸棋的结果互不影响，第一次摸到红兵的概率为$\frac{5}{32}$，第二次摸到红兵的概率也为$\frac{5}{32}$。
因此两次都摸到红兵的概率为 $P=\frac{5}{32} × \frac{5}{32}=\frac{25}{1024}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{32}$。 (2) $\frac{25}{1024}$。
【知识点】
古典概型计算，独立事件概率，有放回试验概率
【点评】
本题是概率计算的基础题型，重点考查对有放回试验特征的理解，解题时需注意区分有放回和无放回试验的差异，掌握独立事件同时发生的概率计算方法即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
