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9.智力竞答有两道选择题，每道题只有一个选项正确，第一题有3个选项，第二题有4个选项.答题者有一次“求助”（“求助”可以去掉其中一题的一个错误选项）机会.小明两道题都不会，决定启用“求助”机会.
（1）如果小明第一题不使用“求助”机会，第一题答对的概率是
（2）如果小明第二题使用“求助”机会，画树状图求两道题都答对的概率.
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”机会.
（1）如果小明第一题不使用“求助”机会，第一题答对的概率是
$\frac{1}{3}$
.（2）如果小明第二题使用“求助”机会，画树状图求两道题都答对的概率.
（3）从概率的角度分析，你建议小明在第几题使用“求助”机会.
答案
9. (1) $\frac{1}{3}$
(2)
概率为$\frac{1}{9}$。树状图中的A,B,C表示第一题的3个选项，a,b,c表示第二题的3个选项。(3) 仿照(2)，第一题使用“求助”机会，两题都答对的概率是$\frac{1}{8}$，建议第一题使用“求助”机会。
解析
【分析】
（1）第一问中，第一题不使用求助时，共有3个等可能的选项，正确选项仅1个，直接根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算即可。
（2）第二问中，第二题使用求助后，原本4个选项去掉1个错误选项，剩余3个等可能选项。我们通过画树状图列举出两道题所有等可能的选择结果，再从中找出两道题都答对的结果数，代入概率公式就能算出对应概率。
（3）第三问需要先计算出“求助”用在第一题时两道题都答对的概率，再和第二问得到的概率比较大小，选择两题全对概率更高的方案即可。
【解析】
（1）第一题不使用求助机会时，共有3个等可能的选项，其中正确选项只有1个，因此第一题答对的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）第二题使用求助机会后，第二题剩余3个等可能的选项，第一题仍有3个等可能的选项。
画树状图如下：
由树状图可知，总共有$3×3=9$种等可能的结果，其中两道题都答对的结果只有1种，因此两道题都答对的概率为$\frac{1}{9}$。
（3）若将“求助”用在第一题：第一题去掉1个错误选项后剩余2个等可能选项，第二题有4个等可能选项，总共有$2×4=8$种等可能的结果，其中两道题都答对的结果只有1种，此时两题都答对的概率为$\frac{1}{8}$。
因为$\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$，因此在第一题使用求助时两题全对的概率更高。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2) 概率为$\frac{1}{9}$。树状图中的A,B,C表示第一题的3个选项，a,b,c表示第二题的3个选项。
(3) 建议小明在第一题使用“求助”机会。
【知识点】
概率公式；树状图法求概率；概率的实际应用
【点评】
本题结合生活中的答题场景考查概率的计算与应用，解题关键是准确确定不同情境下的等可能结果总数，通过列举法求出对应概率后比较大小即可做出决策，能有效考查学生运用概率知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问中，第一题不使用求助时，共有3个等可能的选项，正确选项仅1个，直接根据“概率=所求情况数÷总情况数”的公式计算即可。
（2）第二问中，第二题使用求助后，原本4个选项去掉1个错误选项，剩余3个等可能选项。我们通过画树状图列举出两道题所有等可能的选择结果，再从中找出两道题都答对的结果数，代入概率公式就能算出对应概率。
（3）第三问需要先计算出“求助”用在第一题时两道题都答对的概率，再和第二问得到的概率比较大小，选择两题全对概率更高的方案即可。
【解析】
（1）第一题不使用求助机会时，共有3个等可能的选项，其中正确选项只有1个，因此第一题答对的概率为$\frac{1}{3}$。
（2）第二题使用求助机会后，第二题剩余3个等可能的选项，第一题仍有3个等可能的选项。
画树状图如下：
由树状图可知，总共有$3×3=9$种等可能的结果，其中两道题都答对的结果只有1种，因此两道题都答对的概率为$\frac{1}{9}$。
（3）若将“求助”用在第一题：第一题去掉1个错误选项后剩余2个等可能选项，第二题有4个等可能选项，总共有$2×4=8$种等可能的结果，其中两道题都答对的结果只有1种，此时两题都答对的概率为$\frac{1}{8}$。
因为$\frac{1}{8}＞\frac{1}{9}$，因此在第一题使用求助时两题全对的概率更高。
【答案】
(1) $\frac{1}{3}$
(2)
概率为$\frac{1}{9}$。树状图中的A,B,C表示第一题的3个选项，a,b,c表示第二题的3个选项。(3) 建议小明在第一题使用“求助”机会。
【知识点】
概率公式；树状图法求概率；概率的实际应用
【点评】
本题结合生活中的答题场景考查概率的计算与应用，解题关键是准确确定不同情境下的等可能结果总数，通过列举法求出对应概率后比较大小即可做出决策，能有效考查学生运用概率知识解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10. 一个不透明口袋里装有分别标有数字－3，－1，0，2的四个小球，除数字不同外，小球没有任何区别，每次试验搅拌均匀.
（1）从中任取一个球，求抽取的数字为正数的概率.
（2）从中任取一个球，将球上的数字记为$a$，求关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 2ax + a + 3 = 0$有实数根的概率.
（3）从中任取一个球，将球上的数字记为$x$（不放回）；再任取一个球，将球上的数字记为$y$. 试用画树状图（或列表）表示出点$(x,y)$所有可能出现的结果，并求点$(x,y)$在直线$y = -x -1$上的概率.
（1）从中任取一个球，求抽取的数字为正数的概率.
（2）从中任取一个球，将球上的数字记为$a$，求关于$x$的一元二次方程$ax^2 - 2ax + a + 3 = 0$有实数根的概率.
（3）从中任取一个球，将球上的数字记为$x$（不放回）；再任取一个球，将球上的数字记为$y$. 试用画树状图（或列表）表示出点$(x,y)$所有可能出现的结果，并求点$(x,y)$在直线$y = -x -1$上的概率.
答案
10. (1) 4个数中有1个是正数，$P$(正数) $= \frac{1}{4}$。
(2) 由$a ≠ 0$，且$\Delta = -12a ≥ 0$，可得$a ＜ 0$，$P$(方程有实数根) $= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
(3)
由树状图可得，共有12个点，其中有4个点$(-3,2),(-1,0),(0,-1),(2,-3)$在直线$y=-x-1$上，则$P$(点在直线上) $= \frac{1}{3}$。解析
【分析】
（1）第一问可直接利用概率公式求解：先明确所有等可能的抽取结果总数，再统计抽取数字为正数的结果数，二者的比值即为所求概率。
（2）第二问需先结合一元二次方程的定义明确$a≠0$的隐含条件，再根据方程有实数根的要求，利用判别式$\Delta≥0$求出$a$的取值范围，统计符合条件的$a$的个数后代入概率公式计算即可。
（3）第三问属于不放回的两步试验，可通过树状图列举出所有点$(x,y)$的等可能结果，再筛选出满足直线解析式的点的个数，代入概率公式求解。
【解析】
（1）口袋内4个小球的数字为$-3,-1,0,2$，其中仅数字2是正数，任取1球共有4种等可能的结果，因此抽取数字为正数的概率为符合条件的情况数除以总情况数。
（2）因为$ax^2 - 2ax + a + 3 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$；若方程有实数根，则判别式$\Delta = (-2a)^2 -4a(a+3) = -12a≥0$，解得$a≤0$，结合$a≠0$得$a＜0$。4个数字中满足$a＜0$的有$-3,-1$共2个，代入概率公式即可得结果。
（3）根据不放回抽取的规则，第一次抽取有4种可能，第二次抽取有3种可能，共$4×3=12$种等可能的点，验证可知其中4个点满足$y=-x-1$，代入概率公式计算即可。
【答案】
(1) 4个数中有1个是正数，$P$(正数) $= \frac{1}{4}$。
(2) 由$a ≠ 0$，且$\Delta = -12a ≥ 0$，可得$a ＜ 0$，$P$(方程有实数根) $= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
(3) 由树状图可得，共有12个点，其中有4个点$(-3,2),(-1,0),(0,-1),(2,-3)$在直线$y=-x-1$上，则$P$(点在直线上) $= \frac{1}{3}$。
【知识点】
概率公式；一元二次方程根的判别式；树状图法求概率
【点评】
本题为概率与代数知识的综合应用题，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，掌握不放回试验的结果列举方法，既考查基础知识点的掌握，也考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
（1）第一问可直接利用概率公式求解：先明确所有等可能的抽取结果总数，再统计抽取数字为正数的结果数，二者的比值即为所求概率。
（2）第二问需先结合一元二次方程的定义明确$a≠0$的隐含条件，再根据方程有实数根的要求，利用判别式$\Delta≥0$求出$a$的取值范围，统计符合条件的$a$的个数后代入概率公式计算即可。
（3）第三问属于不放回的两步试验，可通过树状图列举出所有点$(x,y)$的等可能结果，再筛选出满足直线解析式的点的个数，代入概率公式求解。
【解析】
（1）口袋内4个小球的数字为$-3,-1,0,2$，其中仅数字2是正数，任取1球共有4种等可能的结果，因此抽取数字为正数的概率为符合条件的情况数除以总情况数。
（2）因为$ax^2 - 2ax + a + 3 = 0$是一元二次方程，所以二次项系数$a≠0$；若方程有实数根，则判别式$\Delta = (-2a)^2 -4a(a+3) = -12a≥0$，解得$a≤0$，结合$a≠0$得$a＜0$。4个数字中满足$a＜0$的有$-3,-1$共2个，代入概率公式即可得结果。
（3）根据不放回抽取的规则，第一次抽取有4种可能，第二次抽取有3种可能，共$4×3=12$种等可能的点，验证可知其中4个点满足$y=-x-1$，代入概率公式计算即可。
【答案】
(1) 4个数中有1个是正数，$P$(正数) $= \frac{1}{4}$。
(2) 由$a ≠ 0$，且$\Delta = -12a ≥ 0$，可得$a ＜ 0$，$P$(方程有实数根) $= \frac{2}{4} = \frac{1}{2}$。
(3)
由树状图可得，共有12个点，其中有4个点$(-3,2),(-1,0),(0,-1),(2,-3)$在直线$y=-x-1$上，则$P$(点在直线上) $= \frac{1}{3}$。【知识点】
概率公式；一元二次方程根的判别式；树状图法求概率
【点评】
本题为概率与代数知识的综合应用题，解题时需注意一元二次方程二次项系数不为0的隐含条件，掌握不放回试验的结果列举方法，既考查基础知识点的掌握，也考查知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.7
