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相似三角形的判定定理2
两边
课堂探究
典例研习，掌握关键能力
探究 相似三角形的判定定理2
两边
成比例
且夹角相等
的两个三角形相似.课堂探究
典例研习，掌握关键能力
探究 相似三角形的判定定理2
答案
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似.
解析
【分析】
本题考查相似三角形判定定理2的内容识记，解题时可先回忆相似三角形的相关判定规则，针对两边及夹角的判定要求：需两个三角形的两组对应边成比例，且这两组对应边的夹角相等，即可判定两个三角形相似，注意此处必须是两边的夹角，若为其中一边的对角则不满足该判定条件，据此即可填出空缺内容。
【解析】
根据相似三角形的判定定理2的标准内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知第一个横线处填写“成比例”，第二个横线处填写“相等”。
【答案】
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形判定定理2
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考察相似三角形判定定理的核心内容，学习相关定理时要准确记忆各判定条件的细节要求，避免混淆不同的判定规则。
【难度系数】
0.9
本题考查相似三角形判定定理2的内容识记，解题时可先回忆相似三角形的相关判定规则，针对两边及夹角的判定要求：需两个三角形的两组对应边成比例，且这两组对应边的夹角相等，即可判定两个三角形相似，注意此处必须是两边的夹角，若为其中一边的对角则不满足该判定条件，据此即可填出空缺内容。
【解析】
根据相似三角形的判定定理2的标准内容：两边成比例且夹角相等的两个三角形相似，可知第一个横线处填写“成比例”，第二个横线处填写“相等”。
【答案】
两边成比例且夹角相等的两个三角形相似
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形判定定理2
【点评】
本题属于基础概念类题目，直接考察相似三角形判定定理的核心内容，学习相关定理时要准确记忆各判定条件的细节要求，避免混淆不同的判定规则。
【难度系数】
0.9
【例】(2025江门月考)如图，点D，E分别是△ABC的边AB，AC上的点，且AD=6，AB=15，AE=4，AC=10，求证：△ADE∽△ABC。
答案
证明:
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
解析
【分析】
要证明△ADE∽△ABC，首先观察已知条件：两个三角形有公共角∠A，同时题目给出了两组边的长度，可优先选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理解题。首先分别计算夹公共角∠A的两组对应边的比值，验证比值是否相等，再结合公共角相等，即可完成相似证明。
【解析】
证明:
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
相似三角形的判定，比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，核心考察两边成比例且夹角相等的相似判定定理的应用，解题时只要准确找到对应边和公共夹角，正确计算边的比值即可完成证明，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
要证明△ADE∽△ABC，首先观察已知条件：两个三角形有公共角∠A，同时题目给出了两组边的长度，可优先选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理解题。首先分别计算夹公共角∠A的两组对应边的比值，验证比值是否相等，再结合公共角相等，即可完成相似证明。
【解析】
证明:
∵AD=6,AB=15,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{6}{15}=\frac{2}{5}$.
∵AE=4,AC=10,
∴$\frac{AE}{AC}=\frac{4}{10}=\frac{2}{5}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
【答案】
证明过程见上述解析。
【知识点】
相似三角形的判定，比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础常考题，核心考察两边成比例且夹角相等的相似判定定理的应用，解题时只要准确找到对应边和公共夹角，正确计算边的比值即可完成证明，解题思路清晰。
【难度系数】
0.8
【变式1】(2025甘肃期末)如图，已知$AB· AE=AD· AC$，且$∠ 1=∠ 2$，求证：$△ ABC∽ △ ADE$.
答案
证明:
∵$AB· AE=AD· AC$,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
∵$AB· AE=AD· AC$,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
解析
【分析】
要证明△ABC∽△ADE，可优先考虑用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导：第一步先将题目给出的乘积式，通过比例的基本性质转化为两个三角形对应边的比例式；第二步利用已知的∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠BAE，即可得到两个三角形的一组对应夹角相等；最后结合得到的比例式和等角，即可证明相似。
【解析】
证明：
∵$AB· AE=AD· AC$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
又
∵$∠1=∠2$，
∴$∠1+∠BAE=∠2+∠BAE$，即$∠BAC=∠DAE$，
∴△ABC∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵$AB· AE=AD· AC$,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题，核心考察相似三角形的判定定理，只要掌握乘积式转比例式的方法，能通过角的和差推导等角，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
要证明△ABC∽△ADE，可优先考虑用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理推导：第一步先将题目给出的乘积式，通过比例的基本性质转化为两个三角形对应边的比例式；第二步利用已知的∠1=∠2，给两个角同时加上公共角∠BAE，即可得到两个三角形的一组对应夹角相等；最后结合得到的比例式和等角，即可证明相似。
【解析】
证明：
∵$AB· AE=AD· AC$，
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
又
∵$∠1=∠2$，
∴$∠1+∠BAE=∠2+∠BAE$，即$∠BAC=∠DAE$，
∴△ABC∽△ADE（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）。
【答案】
证明:
∵$AB· AE=AD· AC$,
∴$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$.
又
∵∠1=∠2,
∴∠2+∠BAE=∠1+∠BAE,即∠BAC=∠DAE,
∴△ABC∽△ADE.
【知识点】
相似三角形的判定、比例的基本性质、角的和差计算
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题，核心考察相似三角形的判定定理，只要掌握乘积式转比例式的方法，能通过角的和差推导等角，就能顺利解题。
【难度系数】
0.8
【变式2】如图，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$。
(1)添加条件$\underline{\hspace{5cm}}$（写出一个即可），使得$△ ABC ∽ △ ADE$。
(2)由(1)，你还能得到哪两个三角形相似？并说明理由。
(1)添加条件$\underline{\hspace{5cm}}$（写出一个即可），使得$△ ABC ∽ △ ADE$。
(2)由(1)，你还能得到哪两个三角形相似？并说明理由。
答案
(1) ∠BAC=∠DAE(答案不唯一).
(2) 解:△AOE∽△DOC.
理由如下:
∵△ABC∽△ADE,
∴∠E=∠C.
又
∵∠AOE=∠DOC,
∴△AOE∽△DOC.
(2) 解:△AOE∽△DOC.
理由如下:
∵△ABC∽△ADE,
∴∠E=∠C.
又
∵∠AOE=∠DOC,
∴△AOE∽△DOC.
解析
【分析】
(1) 要证明$△ ABC ∽ △ ADE$，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即两组对应边成比例，根据相似三角形的判定定理，只需添加这两组对应边的夹角相等，即可用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定相似，也可添加第三组边的比等于已知比例判定相似，答案不唯一。
(2) 由(1)得到$△ ABC ∽ △ ADE$后，根据相似三角形对应角相等可得对应角相等，再结合图形中的对顶角相等，用“两角分别相等的两个三角形相似”即可找到新的相似三角形。
【解析】
(1) 已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，若添加$∠ BAC=∠ DAE$，满足两边对应成比例且夹角相等，可推出$△ ABC ∽ △ ADE$。
(2) 能得到$△ AOE ∽ △ DOC$，理由如下：
$\because △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore ∠ E=∠ C$（相似三角形的对应角相等），
又$\because ∠ AOE=∠ DOC$（对顶角相等），
$\therefore △ AOE ∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $∠ BAC=∠ DAE$（答案不唯一）
(2) $△ AOE ∽ △ DOC$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定和性质，结合图形特征找到边角的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
(1) 要证明$△ ABC ∽ △ ADE$，已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，即两组对应边成比例，根据相似三角形的判定定理，只需添加这两组对应边的夹角相等，即可用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”判定相似，也可添加第三组边的比等于已知比例判定相似，答案不唯一。
(2) 由(1)得到$△ ABC ∽ △ ADE$后，根据相似三角形对应角相等可得对应角相等，再结合图形中的对顶角相等，用“两角分别相等的两个三角形相似”即可找到新的相似三角形。
【解析】
(1) 已知$\frac{AB}{AD}=\frac{AC}{AE}$，若添加$∠ BAC=∠ DAE$，满足两边对应成比例且夹角相等，可推出$△ ABC ∽ △ ADE$。
(2) 能得到$△ AOE ∽ △ DOC$，理由如下：
$\because △ ABC ∽ △ ADE$，
$\therefore ∠ E=∠ C$（相似三角形的对应角相等），
又$\because ∠ AOE=∠ DOC$（对顶角相等），
$\therefore △ AOE ∽ △ DOC$（两角分别相等的两个三角形相似）。
【答案】
(1) $∠ BAC=∠ DAE$（答案不唯一）
(2) $△ AOE ∽ △ DOC$，理由见解析。
【知识点】
相似三角形的判定，相似三角形的性质，对顶角的性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题，解题核心是熟练掌握相似三角形的判定和性质，结合图形特征找到边角的对应关系即可顺利求解。
【难度系数】
0.8
1. 如图，已知$△ ABC$，则下列三角形中，与$△ ABC$相似的是（
C
）答案
1. C
解析
【分析】
首先分析已知△ABC的特征：△ABC是等腰三角形，AB=AC=10，顶角∠A=30°，根据三角形内角和为180°，可算出两个底角∠B=∠C=(180°-30°)÷2=75°，因此△ABC的三个内角度数为30°、75°、75°。我们可以利用“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理，逐一分析各选项三角形的内角，找到和△ABC内角对应相等的三角形即可。
【解析】
步骤1：计算△ABC的三个内角
已知△ABC中AB=AC=10，∠A=30°，由等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°可得：
$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
即△ABC的三个内角为30°、75°、75°。
步骤2：逐一分析选项
选项A：三角形两边长为4、4，夹角为75°（即顶角为75°），底角为$\frac{180°-75°}{2}=52.5°$，三个角为75°、52.5°、52.5°，和△ABC内角不对应相等，不相似；
选项B：三角形两边长为3、3，夹角为60°，是等边三角形，三个内角均为60°，和△ABC内角不对应相等，不相似；
选项C：三角形两边长为6、6，有一个内角75°为底角，因此另一个底角也为75°，顶角为$180°-75°×2=30°$，三个内角为30°、75°、75°，和△ABC内角对应相等，满足两角分别相等的两个三角形相似，因此该三角形和△ABC相似；
选项D：三角形两边长为5、5，顶角为40°，底角为$\frac{180°-40°}{2}=70°$，三个角为40°、70°、70°，和△ABC内角不对应相等，不相似。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题核心是先求出已知三角形的内角度数，再结合等腰三角形的性质推导各选项三角形的角度，根据两角对应相等即可判断相似，解题时要注意区分等腰三角形的顶角和底角，避免混淆角度位置。
【难度系数】
0.7
首先分析已知△ABC的特征：△ABC是等腰三角形，AB=AC=10，顶角∠A=30°，根据三角形内角和为180°，可算出两个底角∠B=∠C=(180°-30°)÷2=75°，因此△ABC的三个内角度数为30°、75°、75°。我们可以利用“两角分别相等的两个三角形相似”这一判定定理，逐一分析各选项三角形的内角，找到和△ABC内角对应相等的三角形即可。
【解析】
步骤1：计算△ABC的三个内角
已知△ABC中AB=AC=10，∠A=30°，由等腰三角形两底角相等、三角形内角和为180°可得：
$∠ B=∠ C=\frac{180°-∠ A}{2}=\frac{180°-30°}{2}=75°$
即△ABC的三个内角为30°、75°、75°。
步骤2：逐一分析选项
选项A：三角形两边长为4、4，夹角为75°（即顶角为75°），底角为$\frac{180°-75°}{2}=52.5°$，三个角为75°、52.5°、52.5°，和△ABC内角不对应相等，不相似；
选项B：三角形两边长为3、3，夹角为60°，是等边三角形，三个内角均为60°，和△ABC内角不对应相等，不相似；
选项C：三角形两边长为6、6，有一个内角75°为底角，因此另一个底角也为75°，顶角为$180°-75°×2=30°$，三个内角为30°、75°、75°，和△ABC内角对应相等，满足两角分别相等的两个三角形相似，因此该三角形和△ABC相似；
选项D：三角形两边长为5、5，顶角为40°，底角为$\frac{180°-40°}{2}=70°$，三个角为40°、70°、70°，和△ABC内角不对应相等，不相似。
综上，符合要求的是选项C。
【答案】
C
【知识点】
等腰三角形的性质，三角形内角和定理，相似三角形的判定
【点评】
本题考查相似三角形的判定，解题核心是先求出已知三角形的内角度数，再结合等腰三角形的性质推导各选项三角形的角度，根据两角对应相等即可判断相似，解题时要注意区分等腰三角形的顶角和底角，避免混淆角度位置。
【难度系数】
0.7
2.如图，AD,BC相交于点O，由下列条件不能判定△AOB与△DOC相似的是 （
A.$AB// CD$
B.$∠ A=∠ D$
C.$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$
D.$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$
D
）A.$AB// CD$
B.$∠ A=∠ D$
C.$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$
D.$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$
答案
2. D
解析
【分析】
首先明确两个三角形的隐含已知条件：AD和BC交于点O，因此对顶角∠AOB=∠DOC，即△AOB和△DOC已有一组对应角相等。接下来结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），逐一分析各个选项是否满足判定条件即可。
【解析】
∵ AD与BC相交于点O，
∴ ∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
选项A：若$AB// CD$，则$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项B：若$∠ A=∠ D$，结合$∠ AOB=∠ DOC$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项C：若$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，且夹角$∠ AOB=∠ DOC$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项D：若$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$，相等的$∠ AOB$不是两组成比例边的夹角（OA与AB的夹角为$∠ A$，OD与CD的夹角为$∠ D$，无证据证明$∠ A=∠ D$），不满足相似三角形的判定条件，无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；对顶角的性质；平行线的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，相等的角必须是两组对应边的夹角，不能混淆对应边和对应角的对应关系，避免误判。
【难度系数】
0.8
首先明确两个三角形的隐含已知条件：AD和BC交于点O，因此对顶角∠AOB=∠DOC，即△AOB和△DOC已有一组对应角相等。接下来结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），逐一分析各个选项是否满足判定条件即可。
【解析】
∵ AD与BC相交于点O，
∴ ∠AOB=∠DOC（对顶角相等）。
选项A：若$AB// CD$，则$∠ A=∠ D$，$∠ B=∠ C$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项B：若$∠ A=∠ D$，结合$∠ AOB=∠ DOC$，根据“两角分别相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项C：若$\frac{OA}{OD}=\frac{OB}{OC}$，且夹角$∠ AOB=∠ DOC$，根据“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，可判定$△ AOB ∽ △ DOC$，不符合题意；
选项D：若$\frac{OA}{OD}=\frac{AB}{CD}$，相等的$∠ AOB$不是两组成比例边的夹角（OA与AB的夹角为$∠ A$，OD与CD的夹角为$∠ D$，无证据证明$∠ A=∠ D$），不满足相似三角形的判定条件，无法判定两三角形相似，符合题意。
【答案】
D
【知识点】
相似三角形的判定；对顶角的性质；平行线的性质
【点评】
本题重点考查相似三角形判定定理的灵活应用，解题时要特别注意“两边成比例且夹角相等”的判定中，相等的角必须是两组对应边的夹角，不能混淆对应边和对应角的对应关系，避免误判。
【难度系数】
0.8
