4. 在△ABC中，∠A=40°，∠B=75°，下图各三角形中与△ABC相似的是.(填序号)

4. ①②

【分析】
要判断各三角形是否与△ABC相似，首先依据三角形内角和为180°，先求出△ABC的三个内角度数，再分别计算三个序号对应三角形的所有内角度数，最后根据“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理，逐一核对是否有两个角对应相等即可得出结论。
【解析】
首先计算△ABC的第三个内角度数：
已知∠A=40°，∠B=75°，根据三角形内角和为180°，得$∠ C=180°-∠ A-∠ B=180°-40°-75°=65°$，即△ABC的三个内角为$40°$、$65°$、$75°$。
接下来分别计算三个三角形的内角：
1. 对图①的三角形：
已知$∠ E=40°$，$∠ D=65°$，则第三个角为$180°-40°-65°=75°$，三个内角为$40°$、$65°$、$75°$，和△ABC的三个内角对应相等，故与△ABC相似。
2. 对图②的三角形：
已知$∠ G=75°$，$∠ K=65°$，则第三个角为$180°-75°-65°=40°$，三个内角为$40°$、$65°$、$75°$，和△ABC的三个内角对应相等，故与△ABC相似。
3. 对图③的三角形：
已知$∠ P=40°$，$∠ Q=70°$，则第三个角为$180°-40°-70°=70°$，三个内角为$40°$、$70°$、$70°$，和△ABC的内角不对应相等，故不与△ABC相似。
综上，与△ABC相似的是①②。
【答案】
①②
【知识点】
三角形内角和定理；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础类题目，解题核心是熟练运用相似三角形的判定定理，只要先求出已知三角形的各内角度数，再计算对比未知三角形的内角即可完成判断，计算量小，逻辑清晰。
【难度系数】
0.8

5. (2025 永州期中)如图，C是AB上一点，AD⊥AB，CE⊥AB，CD//BE，求证：△ACD∽△CBE.

5. 证明:
∵AD⊥AB,CE⊥AB,
∴∠A=∠BCE=90°.
∵CD//BE,
∴∠ACD=∠B,
∴△ACD∽△CBE.

【分析】
要证明△ACD∽△CBE，可优先考虑用“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理来推导。首先根据题目给出的AD⊥AB、CE⊥AB的垂直条件，可得到一组相等的直角；再结合CD//BE的平行条件，可推出另一组同位角相等，两组对应角分别相等即可判定两个三角形相似。
【解析】
证明：
∵AD⊥AB，CE⊥AB，根据垂直的定义可得∠A=∠BCE=90°；
又
∵CD//BE，根据“两直线平行，同位角相等”可得∠ACD=∠B；
此时△ACD和△CBE中有两组对应角分别相等，根据相似三角形的判定定理，即可得△ACD∽△CBE。
【答案】
证明:
∵AD⊥AB,CE⊥AB,
∴∠A=∠BCE=90°.
∵CD//BE,
∴∠ACD=∠B,
∴△ACD∽△CBE.
【知识点】
相似三角形的判定、平行线的性质、垂直的定义
【点评】
本题是相似三角形证明的基础题型，解题核心是结合已知的垂直、平行条件推导得到两组对应相等的角，熟练掌握相关几何性质和判定定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8

6. 如图,在平行四边形ABCD中,E为DC上一点,连接AE,F为AE上一点,且∠BFE=∠C.求证:△ABF∽△EAD.

6. 证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAF=∠AED,且∠C+∠D=180°.
又
∵∠BFE+∠BFA=180°,∠BFE=∠C,
∴∠BFA=∠D,
∴△ABF∽△EAD.

【分析】
要证明△ABF∽△EAD，可通过“两角分别相等的两个三角形相似”的判定定理推导。首先利用平行四边形的性质：一是对边平行可得内错角相等，得到第一组对应等角∠BAF=∠AED；二是平行四边形邻角互补，可得∠C+∠D=180°，再结合已知∠BFE=∠C，以及邻补角∠BFE+∠BFA=180°，通过等角的补角相等得到第二组对应等角∠BFA=∠D，即可完成相似证明。
【解析】
证明：
∵四边形ABCD是平行四边形，
∴AB//DC，∠C+∠D=180°，可得∠BAF=∠AED。
又
∵∠BFE和∠BFA互为邻补角，
∴∠BFE+∠BFA=180°，
已知∠BFE=∠C，根据等角的补角相等，可得∠BFA=∠D。
两组对应角分别相等，因此△ABF∽△EAD。
【答案】
证明:
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠BAF=∠AED,且∠C+∠D=180°.
又
∵∠BFE+∠BFA=180°,∠BFE=∠C,
∴∠BFA=∠D,
∴△ABF∽△EAD.
【知识点】
平行四边形的性质、相似三角形的判定、补角的性质
【点评】
本题属于基础几何证明题，重点考查平行四边形性质与相似三角形判定的结合应用，解题的核心是找准两组对应相等的角，熟练掌握相关定理即可快速求解。
【难度系数】
0.8

7. 如图,在△ABC中,AB＜AC,将△ABC以点A为中心逆时针旋转得到△ADE,点D在BC边上,DE交AC于点F.有下列结论:①△AFE∽△DFC;②DA平分∠BDE;③∠CDF=∠BAD.其中所有正确结论的序号是 ()

A.①②
B.②③
C.①③
D.①②③

7. D

【分析】
这是一道结合旋转性质的几何结论判断题，解题核心是先利用旋转的性质得到全等三角形，得到对应边、对应角相等的关系，再逐一验证三个结论：
1. 验证相似三角形：找两组对应角相等即可，有对顶角相等，再结合旋转得到的对应角∠E=∠C，可证相似；
2. 验证角平分线：要证DA平分∠BDE，只需证∠ADB=∠ADE，由AB=AD得等腰△ABD底角相等，结合旋转得到的∠B=∠ADE，等量代换即可得证；
3. 验证角相等：利用三角形内角和与平角的定义，结合前面得到的等角关系，通过等量代换即可推出∠CDF=∠BAD。
【解析】
由旋转的性质可得△ABC≌△ADE，因此AB=AD，∠B=∠ADE，∠C=∠E。
①证明△AFE∽△DFC：
在△AFE和△DFC中，∠AFE=∠DFC（对顶角相等），∠E=∠C，根据两角对应相等的两个三角形相似，可得△AFE∽△DFC，故①正确；
②证明DA平分∠BDE：
∵AB=AD，
∴△ABD为等腰三角形，∠B=∠ADB，
又
∵∠B=∠ADE，
∴∠ADB=∠ADE，即DA平分∠BDE，故②正确；
③证明∠CDF=∠BAD：
在△ABD中，根据三角形内角和为180°，得∠B+∠ADB+∠BAD=180°，
根据平角定义，∠ADB+∠ADE+∠CDF=180°，
结合∠B=∠ADB=∠ADE，代入可得∠CDF=∠BAD，故③正确。
综上，①②③均正确。
【答案】
D
【知识点】
旋转的性质；相似三角形的判定；等腰三角形的性质
【点评】
本题综合性较强，侧重考查几何逻辑推理能力，解题的关键是熟练掌握旋转的性质，结合相似三角形判定、等腰三角形性质以及角的等量代换逐一验证结论，是几何部分的典型基础综合题。
【难度系数】
0.65

8. 如图，$CA\bot AD$，$ED\bot AD$，B是线段AD上的一点，且$CB\bot BE$. 已知$AB=8$，$AC=6$，$DE=4$.
(1)求证：$△ ABC∽ △ DEB$；
(2)求线段BD的长.

8. (1)证明:
∵CA⊥AD,ED⊥AD,CB⊥BE,
∴∠A=∠CBE=∠D=90°,
∴∠C+∠CBA=90°,∠CBA+∠DBE=90°,
∴∠C=∠DBE.又
∵∠A=∠D,
∴△ABC∽△DEB.
(2)解:
∵△ABC∽△DEB,
∴AC/BD = AB/DE,即6/BD = 8/4,解得BD=3.

【分析】
(1)要证明△ABC∽△DEB，先根据垂直条件可得两个三角形已有一组直角∠A=∠D=90°，只需再证明一组对应角相等即可。由CB⊥BE得∠CBE=90°，可推出∠CBA+∠DBE=90°，结合Rt△ABC中∠C+∠CBA=90°，利用同角的余角相等即可得到∠C=∠DBE，满足两角分别相等的相似判定条件。
(2)已知两个三角形相似，根据相似三角形对应边成比例的性质，代入已知边长列方程，即可求出BD的长度。
【解析】
(1)证明：
∵$CA\bot AD$，$ED\bot AD$，$CB\bot BE$，
∴$∠ A=∠ CBE=∠ D=90°$，
∴$∠ C+∠ CBA=90°$，$∠ CBA+∠ DBE=180°-∠ CBE=90°$，
∴$∠ C=∠ DBE$，
又
∵$∠ A=∠ D$，
∴$△ ABC∽ △ DEB$。
(2)解：
∵$△ ABC∽ △ DEB$，
∴相似三角形对应边成比例，即$\frac{AC}{BD}=\frac{AB}{DE}$，
将$AC=6$，$AB=8$，$DE=4$代入比例式得：
$\frac{6}{BD}=\frac{8}{4}$，
解得$BD=3$。
【答案】
(1)证明见上述过程，$△ ABC∽ △ DEB$成立；
(2)线段BD的长为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；余角的性质
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是通过垂直关系推导等角完成相似证明，再借助相似性质求解线段长，掌握相似三角形的判定和性质是解决这类问题的核心。
【难度系数】
0.8

9.如图，$□ ABCD$的对角线$AC$，$BD$相交于点$O$，点$E$在边$BC$的延长线上，且$OE=OB$，连接$DE$。
(1)求证：$DE⊥ BE$；
(2)若$OE⊥ CD$，求证：$△ BDE ∽ △ DCE$。

9. 证明:(1)
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴BO=OD.
∵OE=OB,
∴OE=OD,
∴∠OBE=∠OEB,∠OED=∠ODE.
∵∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°,
∴2∠OEB+2∠OED=180°,
∴∠OEB+∠OED=∠BED=90°,
∴DE⊥BE.
(2)
∵OE⊥CD,
∴∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°,
∴∠CEO=∠CDE.
∵OB=OE,
∴∠DBE=∠CEO,
∴∠DBE=∠CDE.
∵∠BED=∠BED=90°,
∴△BDE∽△DCE.

【分析】
(1)要证$DE⊥BE$，即证$∠BED=90°$。首先根据平行四边形对角线互相平分的性质可得$OB=OD$，结合已知$OE=OB$，可推出$OB=OD=OE$，得到$△ OBE$和$△ ODE$均为等腰三角形，再利用等腰三角形等边对等角的性质，结合三角形内角和定理，即可推导得出$∠BED=90°$。
(2)要证$△ BDE ∽ △ DCE$，两个三角形已有公共直角$∠BED=∠DEC=90°$，只需再证一组对应角相等即可。结合$OE⊥CD$，利用同角的余角相等可推出$∠CEO=∠CDE$，再结合等腰$△ OBE$的底角相等得到$∠DBE=∠CEO$，即可得到一组对应角相等，由两角对应相等的判定定理即可证明相似。
【解析】
(1)证明：
∵四边形$ABCD$是平行四边形，
∴$BO=OD$。
∵$OE=OB$，
∴$OE=OD$，
∴$∠OBE=∠OEB$，$∠OED=∠ODE$。
∵$∠OBE+∠OEB+∠OED+∠ODE=180°$，
∴$2∠OEB+2∠OED=180°$，
∴$∠OEB+∠OED=∠BED=90°$，
∴$DE⊥BE$。
(2)证明：
∵$OE⊥CD$，
∴$∠CEO+∠DCE=∠CDE+∠DCE=90°$，
∴$∠CEO=∠CDE$。
∵$OB=OE$，
∴$∠DBE=∠CEO$，
∴$∠DBE=∠CDE$。
∵$∠BED=∠DEC=90°$，
∴$△ BDE ∽ △ DCE$。
【答案】
(1)证明见上述解析，可证$DE⊥BE$；
(2)证明见上述解析，可证$△ BDE ∽ △ DCE$。
【知识点】
平行四边形的性质；等腰三角形的性质；相似三角形的判定
【点评】
本题是基础几何证明题，重点考查对相关几何定理的理解与运用能力，解题时需结合已知条件梳理边、角之间的等量关系，构建清晰的证明逻辑链即可顺利解答。
【难度系数】
0.7