3. (2025西安期末)如图,在△ABC中,∠A=80°,AB=8,AC=6,将△ABC沿图示中的虚线剪开,剪下的阴影三角形与△ABC不相似的是 ()

3. C

【分析】
要判断剪下的阴影三角形与原△ABC是否相似，需结合相似三角形的判定定理（两角分别相等、两边成比例且夹角相等、三边成比例），逐个分析每个选项中阴影三角形与原三角形的角、边对应关系，验证是否满足相似条件即可。
【解析】
已知△ABC中，∠A=80°，AB=8，AC=6，结合相似三角形判定定理逐一分析：
1. 选项A：阴影三角形与△ABC有公共角∠B，且阴影中与BC相邻的角为80°=∠A，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意；
2. 选项B：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，且阴影中与AC相邻的角为80°=∠A，满足“两角分别相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意；
3. 选项C：阴影三角形与△ABC有公共角∠C，夹∠C的两边中，阴影三角形对应边为3、4，原△ABC夹∠C的两边为AC=6、BC，仅能得到3/6=1/2，无法证明4/BC=1/2，不满足相似判定条件，故两三角形不相似，符合题意；
4. 选项D：阴影三角形与△ABC有公共角∠A，夹∠A的两边中，阴影三角形对应边为3、4，原△ABC夹∠A的两边为AC=6、AB=8，可证3/6=4/8=1/2，满足“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”，故两三角形相似，不符合题意。
【答案】
C
【知识点】
相似三角形的判定；比例线段计算；公共角识别
【点评】
本题是相似三角形判定的基础应用题，解题关键是找准两个三角形的对应角和对应边，严格匹配相似判定的条件，尤其要注意两边成比例判定相似时，必须满足夹角相等的要求。
【难度系数】
0.7

4. 如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=$\sqrt{3}$AB=3BD.若AD=$\sqrt{3}$,则AC=（）


A.$\sqrt{3}$
B.$3$
C.$2\sqrt{3}$
D.$\sqrt{6}$

4. B

【分析】
首先整理题目给出的边的等量关系，将其转化为两组边的比例关系，再结合两个三角形的公共角，利用相似三角形的判定定理证明三角形相似，最后通过相似三角形对应边成比例的性质求解AC的长度。第一步先推导AB与BC的比值、BD与AB的比值，确认比值相等后，结合公共角∠B判断△ABD和△CBA相似，再代入已知AD的长度计算AC。
【解析】
解：由题意得$BC=\sqrt{3}AB=3BD$，
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，$BD=\frac{BC}{3}$，
把$BC=\sqrt{3}AB$代入$BD=\frac{BC}{3}$，可得$BD=\frac{\sqrt{3}AB}{3}=\frac{AB}{\sqrt{3}}$，即$\frac{BD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
∴ $\frac{AB}{BC}=\frac{BD}{AB}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
又
∵ ∠B是△ABD和△CBA的公共角，
∴ △ABD∽△CBA（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似），
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
将$AD=\sqrt{3}$代入得：$\frac{\sqrt{3}}{AC}=\frac{1}{\sqrt{3}}$，
解得$AC=\sqrt{3}×\sqrt{3}=3$。
【答案】
B
【知识点】
相似三角形的判定与性质
【点评】
本题是相似三角形的基础应用题型，解题核心是从已知的边的等量关系中推导出对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，再利用相似的性质求解未知边，掌握相似三角形的判定和性质是解题的关键。
【难度系数】
0.7

5. 在$△ ABC$中，D，E分别是边AB，AC上的点，如果$AD=2$，$DB=1$，$AE=4$，$EC=2$，那么$\frac{DE}{BC}$的值为.

5. $\frac{2}{3}$

【分析】
解题时首先观察已知的线段长度，可先计算AB、AC的总长度，再分别计算AD与AB的比值、AE与AC的比值，发现两组对应边比值相等，结合∠A是两个三角形的公共角，可判定△ADE与△ABC相似，最后根据相似三角形对应边成比例即可求出$\frac{DE}{BC}$的值。
【解析】
解：由题意得：
$AB = AD + DB = 2 + 1 = 3$，$AC = AE + EC = 4 + 2 = 6$
$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$，$\frac{AE}{AC} = \frac{4}{6} = \frac{2}{3}$
$\therefore \frac{AD}{AB} = \frac{AE}{AC}$
又$\because ∠A = ∠A$（公共角）
$\therefore △ADE ∽ △ABC$（两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似）
$\therefore \frac{DE}{BC} = \frac{AD}{AB} = \frac{2}{3}$
【答案】
$\frac{2}{3}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质
【点评】
本题属于基础题型，核心考查相似三角形的判定与性质的应用，解题的突破口是通过线段长度计算得到两组对应边成比例，结合公共角证明三角形相似，再利用相似的性质求解对应边的比值。
【难度系数】
0.8

6.如图,已知$AB// DC$,点$E,F$在线段$BD$上,$AB=2DC,BE=2DF$.求证:$△ ABE∽ △ CDF$.

6. 证明:
∵AB//CD,
∴∠B=∠D.
又
∵AB=2CD,BE=2DF,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$,
∴△ABE∽△CDF.

【分析】
要证明两个三角形相似，可结合已知条件选择合适的相似判定定理。首先由AB//DC，根据平行线的性质可得到一组内错角相等，即∠B=∠D；再看边的条件，已知AB=2DC、BE=2DF，可推出两组对应边的比值相等，且∠B和∠D恰好是这两组对应边的夹角，因此可通过“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”完成证明。
【解析】
证明：
∵AB//CD，
∴∠B=∠D。
又
∵AB=2CD，BE=2DF，
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$，
∴△ABE∽△CDF。
【答案】
证明:
∵AB//CD,
∴∠B=∠D.
又
∵AB=2CD,BE=2DF,
∴$\frac{AB}{CD}=\frac{BE}{DF}=2$,
∴△ABE∽△CDF.
【知识点】
平行线的性质、相似三角形的判定
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心考查对平行线性质和相似三角形判定定理的掌握与应用，只要找准对应等角和对应边的比例关系即可快速解题。
【难度系数】
0.8

7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ C=90°$,$BC=3$,$AC=4$,$D$为$AB$的中点.若在$AC$边上取一点$E$,使$△ ADE$与$△ ABC$相似,则$AE$的长为.

7. 2或$\frac{25}{8}$

【分析】
本题未明确△ADE与△ABC的对应顶点，需结合公共角∠A分两种相似情况讨论：首先用勾股定理求出AB的长度，再结合D是AB中点得到AD的长，最后根据相似三角形对应边成比例分别计算两种情况下AE的长度即可。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=4$，$BC=3$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{4^2+3^2}=5$
$\because D$是$AB$的中点，$\therefore AD=\frac{1}{2}AB=\frac{5}{2}$
分两种情况讨论：
1. 当$△ ADE ∽ △ ABC$时，$∠ AED=∠ C=90°$，此时$DE// BC$，$E$为$AC$中点，
$\therefore AE=\frac{1}{2}AC=\frac{1}{2}×4=2$
2. 当$△ ADE ∽ △ ACB$时，$∠ ADE=∠ C=90°$，由相似三角形对应边成比例得：
$\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$
代入$AD=\frac{5}{2},AC=4,AB=5$，得：
$\frac{\frac{5}{2}}{4}=\frac{AE}{5}$
解得$AE=\frac{25}{8}$
综上，$AE$的长为$2$或$\frac{25}{8}$。
【答案】
$2$或$\frac{25}{8}$
【知识点】
勾股定理；相似三角形的性质；中点的定义
【点评】
本题属于易错题，解题时容易忽略相似三角形对应顶点不确定的情况导致漏解，需要结合公共角$∠ A$，分两种直角对应情况讨论求解，熟练掌握相似三角形的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.6

8. 如图，在$△ ABC$中，$∠ A=60°$，$BD$，$CE$均是$△ ABC$的高，连接$DE$.
(1)求证：$△ ADE ∽ △ ABC$；
(2)求$\frac{DE}{BC}$的值.

8. (1)证明:
∵BD,CE是△ABC的高,
∴∠ADB=∠AEC=90°.
∵∠A=∠A,
∴△ADB∽△AEC,
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$.
∵∠A=∠A,
∴△ADE∽△ABC.
(2)解:
∵∠A=60°,∠ADB=90°,
∴∠ABD=30°,
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$.
∵△ADE∽△ABC,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$,
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$.

【分析】
(1) 要证明△ADE∽△ABC，已知两三角形有公共角∠A，根据相似三角形判定定理，只需证明夹∠A的两组对应边成比例，即$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。首先由BD、CE是△ABC的高可得∠ADB=∠AEC=90°，结合公共角∠A可先证△ADB∽△AEC，将得到的对应边比例做变形即可得到所需的边比例，进而证得结论。
(2) 要求$\frac{DE}{BC}$的值，根据相似三角形的性质，相似三角形对应边的比等于相似比，结合(1)的结论可知$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，再在Rt△ADB中利用∠A=60°的特殊角性质，即可求出$\frac{AD}{AB}$的值，最终得到$\frac{DE}{BC}$的比值。
【解析】
(1) 证明：
∵BD，CE是△ABC的高，
∴∠ADB=∠AEC=90°。
∵∠A=∠A，
∴△ADB∽△AEC，
∴$\frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}$。
又
∵∠A=∠A，
∴△ADE∽△ABC。
(2) 解：
∵∠A=60°，∠ADB=90°，
∴∠ABD=30°，
∴$\frac{AD}{AB}=\frac{1}{2}$。
∵△ADE∽△ABC，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{AD}{AB}$，
∴$\frac{DE}{BC}=\frac{1}{2}$。
【答案】
(1) △ADE∽△ABC得证；(2) $\frac{1}{2}$
【知识点】
相似三角形的判定；相似三角形的性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题是三角形相似的基础综合题，解题核心是灵活运用相似三角形的判定定理推导边的比例关系，同时结合直角三角形特殊角的性质求解边长比，熟练掌握相似三角形的判定和性质可以快速解决此类问题。
【难度系数】
0.7

9.如图,在$△ ABC$中,$∠ B=90°$,$AB=12\ \mathrm{mm}$,$BC=24\ \mathrm{mm}$,动点$P$以$2\ \mathrm{mm/s}$的速度从点$A$向点$B$移动(不与点$B$重合),动点$Q$以$4\ \mathrm{mm/s}$的速度从点$B$向点$C$移动(不与点$C$重合).若点$P,Q$同时出发,经过s后,$△ PBQ$与$△ ABC$相似.

9. 3或$\frac{6}{5}$

【分析】
本题为动点结合相似三角形的问题，解题思路如下：①先设运动时间为t s，根据动点速度表示出△PBQ的两条直角边PB、BQ的长度；②由于两三角形均为直角三角形且有公共角∠B，未明确相似对应顶点，因此需要分两种对应情况讨论，分别根据相似三角形对应边成比例列方程；③求解方程后结合动点不与端点重合的条件验证解的合理性，最终得到符合要求的结果。
【解析】
设点P、Q的运动时间为$t\ \mathrm{s}$，由题意得$0＜t＜6$（点P不与B重合：$12-2t＞0$；点Q不与C重合：$4t＜24$）。
则$PB=AB-AP=12-2t$，$BQ=4t$。
已知$∠ B=∠ B=90°$，$△ PBQ$与$△ ABC$相似分两种情况：
1. 当$△ PBQ ∽ △ ABC$时，对应边成比例：
$\frac{PB}{AB}=\frac{BQ}{BC}$，代入数值得$\frac{12-2t}{12}=\frac{4t}{24}$
化简得：$2(12-2t)=4t$，即$24-4t=4t$，解得$t=3$，符合$0＜t＜6$。
2. 当$△ PBQ ∽ △ CBA$时，对应边成比例：
$\frac{PB}{BC}=\frac{BQ}{AB}$，代入数值得$\frac{12-2t}{24}=\frac{4t}{12}$
化简得：$12-2t=8t$，解得$t=\frac{6}{5}$，符合$0＜t＜6$。
综上，运动时间为$3\ \mathrm{s}$或$\frac{6}{5}\ \mathrm{s}$。
【答案】
3或$\frac{6}{5}$
【知识点】
相似三角形的性质，动点问题计算，分类讨论思想
【点评】
本题是相似三角形与动点结合的典型题型，解题的核心是明确未给出对应顶点的相似问题需要分类讨论，同时要结合动点的运动范围对求出的解进行验证，避免出现漏解或者不符合题意的解。
【难度系数】
0.6