2. 如果$ l $是$ \odot O $的切线，要判定$ AB ⊥ l $，还需要添加的条件是 （）

A.AB经过圆心O
B.AB是直径
C.AB是直径，B是切点
D.AB是直线，B是切点

C

3. (2026湖北)如图，PA与$\odot O$相切于点A，连接PO并延长交$\odot O$于点B，连接AB。若$∠ B=24°$，则$∠ P$的度数是（）

A.$42°$
B.$48°$
C.$56°$
D.$66°$

A

4.如图,已知⊙O的半径为3,OP⊥EF于点P,则当OP=时,直线EF是⊙O的切线.

第4题图 第5题图

3

5.将以O为中心点的量角器与直角三角板ABC按如图所示的方式摆放，直角顶点B在量角器的零刻度线所在的直线ED上，且量角器与三角板只有一个公共点P.若点P的读数为$35°$,则$∠ CBD$的度数为.

$35°$

6. (2026 江西)如图，AD为$\odot O$的直径，$AD=4$，$B$，$C$是$\odot O$上的点，四边形$OABC$为菱形。
(1)求$\overset{\frown}{AC}$的长；
(2)延长$AD$到点$P$，使得$DP=2$，求证：$PC$是$\odot O$的切线。

(1) 解:如图,连接$OB$.

$\because$ 四边形$OABC$为菱形，
$\therefore OA=AB,AB// OC$.
又$\because OA=OB$，
$\therefore △ AOB$是等边三角形.
$\therefore ∠ A=60°$，
$\therefore ∠ AOC=180°-∠ A=120°$.
$\because AD=4$，
$\therefore OA=\frac{1}{2}AD=2$，
$\therefore \overset{\frown}{AC}$的长为$\frac{120×π×2}{180}=\frac{4π}{3}$.
(2) 证明:如图,连接$CD$.

由(1)可得$AB// OC,∠ A=60°$，
$\therefore ∠ A=∠ COD=60°$.
$\because OC=OD$，
$\therefore △ COD$是等边三角形，
$\therefore CD=OD=2,∠ OCD=∠ ODC=60°$.
$\because DP=2$，
$\therefore DP=CD$，
$\therefore ∠ DCP=∠ P=\frac{1}{2}∠ ODC=30°$，
$\therefore ∠ OCP=∠ OCD+∠ DCP=90°$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径，
$\therefore PC$是$\odot O$的切线.

7.(2025长沙中考改编)如图,点O是以AB为直径的半圆的圆心,AD与BC均为该半圆的切线,C,D均为直径AB上方的动点,连接CD,且始终满足$CD=AD+BC$.
(1)求证:CD与该半圆相切;
(2)当半径$r=\sqrt{2}$时,令$AD=a$,$BC=b$,$m=\dfrac{2}{2+a}+\dfrac{2}{2+b}$,$n=\dfrac{a}{1+a}+\dfrac{b}{1+b}$,比较$m$与$n$的大小,并说明理由.

(1) 证明:如图①,连接$CO$,并延长交$DA$的延长线于点$M$,过点$O$作$OE⊥ CD$于点$E$.
$\because AD$与$BC$均为该半圆的切线，
$\therefore AD⊥ AB,BC⊥ AB$，
$\therefore AD// BC$.
$\therefore ∠ M=∠ 1$.
$\because O$为$AB$的中点，
$\therefore OA=OB$.
在$△ OAM$和$△ OBC$中，
$\begin{cases}∠ M=∠ 1,\\∠ OAM=∠ OBC=90°,\\OA=OB,\end{cases}$
$\therefore △ OAM≌△ OBC(\mathrm{AAS})$，
$\therefore AM=BC$.
$\because CD=AD+BC$，
$\therefore CD=AD+AM=DM$，
$\therefore ∠ M=∠ 2$，
$\therefore ∠ 1=∠ 2$,即$CO$平分$∠ BCD$.
又$\because OE⊥ CD,OB⊥ CB,\therefore OE=OB$，
$\therefore CD$与该半圆相切.

(2) 解:$m=n$.理由如下：
如图②,过点$C$作$CN⊥ AD$,交$AD$于点$N$，
$\therefore$ 四边形$ABCN$为矩形.
在$△ CDN$中,由勾股定理可得$CD^2=DN^2+CN^2$.
$\because CD=AD+BC=a+b,DM=|a-b|,CM=2r$，
$\therefore (a+b)^2=(a-b)^2+4r^2$，
$\therefore r^2=AD· BC=ab=2$，
代入可得 $m=\frac{2}{2+a}+\frac{2}{2+b}=\frac{ab}{ab+a}+\frac{ab}{ab+b}=\frac{b}{1+b}+\frac{a}{1+a}=n$.