【例1】(2025湖南)如图，$△ ABC$的顶点$A$，$C$在$\odot O$上，圆心$O$在边$AB$上，$∠ ACB=120°$，$BC$与$\odot O$相切于点$C$，连接$OC$.
(1)求$∠ ACO$的度数；
(2)求证：$AC=BC$.

(1) 解:$\because BC$与$\odot O$相切于点$C$，
$\therefore OC⊥ BC$，
$\therefore ∠ OCB=90°$.
$\because ∠ ACB=120°$，
$\therefore ∠ ACO=∠ ACB-∠ OCB=120°-90°=30°$.
(2) 证明:$\because OA=OC$，
$\therefore ∠ OAC=∠ ACO=30°$.
$\because ∠ ACB=120°,∠ A+∠ B+∠ ACB=180°$，
$\therefore ∠ B=30°$，
$\therefore ∠ A=∠ B$，
$\therefore AC=BC$.

【变式】如图，PA，PB分别和$\odot O$相切于A，B两点，$∠ P=70°$，则$∠ C$的度数为 （）

A.$55°$
B.$70°$
C.$110°$
D.$140°$

A

【例2】(2026 湖南)如图,在等腰$△ OAB$中，$OA=OB$. 在$OA$上取一点$E$,以$O$为圆心，$OE$的长为半径画弧，交$OB$于点$F$；分别以$E,F$为圆心，大于$\frac{1}{2}EF$的长为半径画弧，在$∠ AOB$内两弧交于点$P$；作射线$OP$交$AB$于点$C$；以$O$为圆心，$OC$的长为半径作$\odot O$.
(1)求证:$AB$与$\odot O$相切；
(2)已知$OA=10,AB=12$,求$\odot O$的半径.

(1) 证明:由尺规作图的作法可知,射线$OP$是$∠ AOB$的角平分线.
$\because OA=OB$，
$\therefore △ OAB$是等腰三角形，
$\therefore OC⊥ AB$.
又$\because OC$是$\odot O$的半径,且点$C$在$AB$上，
$\therefore AB$与$\odot O$相切.
(2) 解:$\because △ OAB$是等腰三角形,且$OC⊥ AB$，
$\therefore OC$是底边$AB$的中线，
$\therefore AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×12=6$.
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中,$OC=\sqrt{OA^2-AC^2}=\sqrt{10^2-6^2}=8$，
$\therefore \odot O$的半径为8.

【变式】如图，A，B是$\odot O$上的两点，AC是过点A的一条直线。如果$∠ AOB=120°$，那么当$∠ CAB=$时，直线AC是$\odot O$的切线。

$60°$

1. ，直线$ l $与$ \odot O $相切于点$ A $，$ B $为直线$ l $上一点。若$ ∠ OBA = 35° $，则$ ∠ AOB $的度数为（）

A.$ 45° $
B.$ 55° $
C.$ 65° $
D.$ 75° $

B