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【例1】在同一平面直角坐标系中，描点画出下列二次函数的图象，并写出对称轴和顶点：
$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$，$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 + 2$
$y=\frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$，$y=\frac{1}{2}(x-1)^2 + 2$
答案
解:画函数图象如图：
由图象可知函数 $y=\frac{1}{2}(x+2)^2 - 2$ 的对称轴为直线 $x=-2$，顶点坐标为 $(-2,-2)$，
函数 $y=\frac{1}{2}(x-1)^2 + 2$ 的对称轴为直线 $x=1$，顶点坐标为 $(1,2)$。
【变式】抛物线$y=5(x-6)^2 -1$的顶点坐标为________，开口方向是________，对称轴是直线________。当$x=\_\_\_\_\_\_$时，$y$取最小值为________。
答案
顶点坐标为(6,-1)，开口方向是向上，对称轴是直线x=6。当x=6时，y取最小值为-1。
【例2】将抛物线$y=x^2$向左平移2个单位长度，再向下平移3个单位长度，所得抛物线的解析式为
$y=x^2+4x+1$
（填一般形式）。答案
$y=x^2+4x+1$
【变式】把二次函数$y=a(x-h)^2 +k$的图象先向左平移2个单位长度，再向上平移4个单位长度，得到二次函数$y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$的图象.试确定$a,h,k$的值.
答案
解:二次函数 $y=\frac{1}{2}(x+1)^2 -1$ 的图象的顶点坐标为 $(-1,-1)$，
把点$(-1,-1)$先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为$(1,-5)$，
∴原二次函数的解析式为 $y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$，
∴$a=\frac{1}{2},h=1,k=-5$。
把点$(-1,-1)$先向右平移2个单位长度，再向下平移4个单位长度得到点的坐标为$(1,-5)$，
∴原二次函数的解析式为 $y=\frac{1}{2}(x-1)^2 -5$，
∴$a=\frac{1}{2},h=1,k=-5$。
【例3】一名男生扔铅球，铅球运行的高度y(m)与水平距离x(m)之间的关系如图所示，已知铅球出手高度为$\frac{5}{3}$ m，铅球水平运行4 m时达到最大高度3 m. 则该男生推铅球的成绩为
10
m.答案
10
【变式】一台艺术喷水装置，喷射出的水流可近似看成抛物线.如图，喷水装置置于平面直角坐标系的原点O处，喷水口的高度（喷水口距地面的距离）为1.2 m，当喷射出的水流距离喷水口水平距离为10 m时，达到最大高度6 m，则水流运行轨迹的函数解析式为
$y=-\frac{6}{125}(x-10)^2 +6$
.答案
$y=-\frac{6}{125}(x-10)^2 +6$
1. 抛物线 $ y=-3(x+1)^2 +2 $ 的顶点坐标在（
A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
B
）A.第一象限
B.第二象限
C.第三象限
D.第四象限
答案
1. B
2. 二次函数 $y=-4(x-5)^2+1$ 的最大值是（
A.1
B.$-1$
C.5
D.$-4$
A
）A.1
B.$-1$
C.5
D.$-4$
答案
2. A
3. (2026甘孜)对于抛物线$y=3(x-5)^2 -4$，以下说法正确的是（
A.开口向下
B.对称轴为直线$x=5$
C.顶点坐标为$(5,4)$
D.当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而减小
B
）A.开口向下
B.对称轴为直线$x=5$
C.顶点坐标为$(5,4)$
D.当$x＞5$时，$y$随$x$的增大而减小
答案
3. B
