1. (2026天水)如图，直线a，b及木条c在同一平面内，将木条c绕点O顺时针旋转到与直线a垂直时，其旋转角的最小度数是（）

A.$60°$
B.$50°$
C.$40°$
D.$30°$

1. C

2. 分别以正方形的各边为直径向其内部作半圆得到的图形如图所示. 将该图形绕其中心旋转一个合适的角度后会与原图形重合,则这个旋转角的最小度数为.

2. $90°$

3.如图,正方形ABCD的边长为1,将其绕顶点C按逆时针方向旋转一定角度到正方形FGCE位置,使得点B落在对角线CF上,则阴影部分的面积为。

3. $\sqrt{2}-1$

4.如图，将$△ ABC$绕点$C$顺时针旋转$90°$得到$△ EDC$，点$A$，$B$的对应点分别为点$E$，$D$，连接$AE$，点$D$恰好落在线段$AE$上。
(1)求证：$∠ BAD=90°$；
(2)连接$BD$，若$AD=5$，$DE=2$，求$BD$的长。

4. (1)证明:由旋转的性质,得$∠ CAB=∠ CED,∠ ACE=90°$,且点 D 恰好落在线段 AE 上,
$\therefore∠ CAD+∠ CED=90°$,
$\therefore∠ CAD+∠ CAB=90°$,
$\therefore∠ BAD=90°$.
(2)解:由旋转的性质可知 $AB=DE=2$,
$\because∠ BAD=90°,AD=5$,
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ ABD$ 中,$BD=\sqrt{AB^2+AD^2}=\sqrt{4+25}=\sqrt{29}$.

5.如图,点M,N分别在正方形ABCD的边BC,CD上,且$∠ MAN=45°$.把$△ ADN$绕点A顺时针旋转$90°$得到$△ ABE$.
(1)求证:$△ AEM≌△ ANM$;

(2)若$BM=3$,$DN=2$,求正方形ABCD的边长.

5. (1)证明:在正方形 ABCD 中,$∠ ABM=∠ BAD=90°$,
$∠ MAN=45°$,则$∠ DAN+∠ BAM=45°$.
由旋转的性质可知,$AN=AE,∠ DAN=∠ BAE,∠ D=∠ ABE=90°$,则$∠ BAE+∠ BAM=45°$,
$\therefore∠ EAM=45°=∠ MAN,∠ ABE+∠ ABM=180°$,
$\therefore$ 点 E,B,M 三点共线,
在$△ AEM$ 和$△ ANM$ 中,
$\begin{cases}AE=AN,\\∠ EAM=∠ NAM,\\AM=AM,\end{cases}$
$\therefore△ AEM≌△ ANM(\mathrm{SAS})$.
(2)解:设正方形 ABCD 的边长为 $x$.
$\because BM=3,DN=2$,
$\therefore CN=x-2,CM=x-3,BE=DN=2$,
则 $EM=EB+BM=2+3=5$.
由(1)知$△ AEM≌△ ANM,\therefore MN=EM=5$.
在 $\mathrm{Rt}△ CMN$ 中,由勾股定理,得 $CM^2+CN^2=MN^2$,
$\therefore(x-3)^2+(x-2)^2=5^2$,
解得 $x_1=6,x_2=-1$(负值舍去),
$\therefore$ 正方形 ABCD 的边长为 6.