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7.已知$a,b$都是有理数，若$(a+2)^2 + |b-1|=0$，则$(a+b)^{2026}$的值是（
A.1
B.$-1$
C.$-2025$
D.$2025$
A
）。A.1
B.$-1$
C.$-2025$
D.$2025$
答案
7. A
解析
【分析】
本题需要利用非负数的性质求解，解题思路如下：首先我们学过平方数和绝对值都具有非负性，也就是它们的取值都大于等于0，当两个非负数的和为0时，只有一种可能，就是这两个非负数各自都等于0，据此我们可以列出关于a、b的方程，求出a、b的值后，代入所求的式子，再根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵任意有理数的平方是非负数，任意有理数的绝对值也是非负数
∴$(a+2)^2 ≥ 0$，$|b-1| ≥ 0$
又
∵$(a+2)^2 + |b-1|=0$
∴$\begin{cases}a+2=0 \\ b-1=0\end{cases}$
解得：$a=-2$，$b=1$
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2026}$得：
原式$=(-2+1)^{2026}=(-1)^{2026}$
∵负数的偶次幂是正数，2026是偶数
∴$(-1)^{2026}=1$
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，再结合乘方的运算规则计算即可，需要注意负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【难度系数】
0.8
本题需要利用非负数的性质求解，解题思路如下：首先我们学过平方数和绝对值都具有非负性，也就是它们的取值都大于等于0，当两个非负数的和为0时，只有一种可能，就是这两个非负数各自都等于0，据此我们可以列出关于a、b的方程，求出a、b的值后，代入所求的式子，再根据乘方的运算规则计算结果即可。
【解析】
解：
∵任意有理数的平方是非负数，任意有理数的绝对值也是非负数
∴$(a+2)^2 ≥ 0$，$|b-1| ≥ 0$
又
∵$(a+2)^2 + |b-1|=0$
∴$\begin{cases}a+2=0 \\ b-1=0\end{cases}$
解得：$a=-2$，$b=1$
将$a=-2$，$b=1$代入$(a+b)^{2026}$得：
原式$=(-2+1)^{2026}=(-1)^{2026}$
∵负数的偶次幂是正数，2026是偶数
∴$(-1)^{2026}=1$
【答案】
A
【知识点】
非负数的性质，有理数乘方运算
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是掌握非负数的性质：几个非负数的和为0时，每个非负数的值都为0，再结合乘方的运算规则计算即可，需要注意负数的偶次幂为正，奇次幂为负。
【难度系数】
0.8
8.当n是正整数时，$(-1)^{2n+1} - (-1)^{2n}$的值是(
A.2
B.$-2$
C.0
D.2或$-2$
B
).A.2
B.$-2$
C.0
D.2或$-2$
答案
8. B
解析
【分析】
解题时首先判断指数的奇偶性：n为正整数时，2n是2的倍数，属于偶数，2n+1是奇数；再结合-1的乘方规律：-1的偶次幂等于1，奇次幂等于-1，将两个幂的值代入原式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵n是正整数，
∴2n为偶数，2n+1为奇数，
根据乘方的性质可得：
$(-1)^{2n+1}=-1$，$(-1)^{2n}=1$，
∴$(-1)^{2n+1} - (-1)^{2n} = -1 - 1 = -2$。
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
乘方运算性质，有理数减法，奇偶性判断
【点评】
本题属于乘方相关的基础题型，主要考查-1的奇偶次幂的运算规律，掌握该规律即可快速准确求解，是乘方章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先判断指数的奇偶性：n为正整数时，2n是2的倍数，属于偶数，2n+1是奇数；再结合-1的乘方规律：-1的偶次幂等于1，奇次幂等于-1，将两个幂的值代入原式计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵n是正整数，
∴2n为偶数，2n+1为奇数，
根据乘方的性质可得：
$(-1)^{2n+1}=-1$，$(-1)^{2n}=1$，
∴$(-1)^{2n+1} - (-1)^{2n} = -1 - 1 = -2$。
故本题选B。
【答案】
B
【知识点】
乘方运算性质，有理数减法，奇偶性判断
【点评】
本题属于乘方相关的基础题型，主要考查-1的奇偶次幂的运算规律，掌握该规律即可快速准确求解，是乘方章节的常考基础题。
【难度系数】
0.8
9.(1)计算下列两组算式:
①$(3×5)^2$与$3^2×5^2$；
②$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$。
(2)根据以上计算结果猜想:$(ab)^3$等于什么(直接写出结果)?
(3)猜想与验证:当$n$为正整数时,$(ab)^n$等于什么?请你利用乘方的意义说明理由.
(4)利用上述结论,求$(-4)^{2025}×0.25^{2026}$的值。
①$(3×5)^2$与$3^2×5^2$；
②$[(-2)×3]^2$与$(-2)^2×3^2$。
(2)根据以上计算结果猜想:$(ab)^3$等于什么(直接写出结果)?
(3)猜想与验证:当$n$为正整数时,$(ab)^n$等于什么?请你利用乘方的意义说明理由.
(4)利用上述结论,求$(-4)^{2025}×0.25^{2026}$的值。
答案
解:(1)①$(3×5)^2=15^2=225$，$3^2×5^2=9×25=225.$
②$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36.$
(2)$(ab)^3=a^3b^3.$
(3)当$n$为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$.理由如下.
当$n$为正整数时，
$(ab)^n=\underbrace{(ab)·(ab)·····(ab)}_{n个}=\underbrace{(a· a····· a)}_{n个}·\underbrace{(b· b····· b)}_{n个}=a^nb^n.$
所以当$n$为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n.$
(4)$(-4)^{2025}×0.25^{2026}=(-4)^{2025}×0.25^{2025}×0.25=(-4×0.25)^{2025}×0.25=(-1)×0.25=-0.25.$
②$[(-2)×3]^2=(-6)^2=36$，$(-2)^2×3^2=4×9=36.$
(2)$(ab)^3=a^3b^3.$
(3)当$n$为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$.理由如下.
当$n$为正整数时，
$(ab)^n=\underbrace{(ab)·(ab)·····(ab)}_{n个}=\underbrace{(a· a····· a)}_{n个}·\underbrace{(b· b····· b)}_{n个}=a^nb^n.$
所以当$n$为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n.$
(4)$(-4)^{2025}×0.25^{2026}=(-4)^{2025}×0.25^{2025}×0.25=(-4×0.25)^{2025}×0.25=(-1)×0.25=-0.25.$
解析
【分析】
1. 第(1)问为基础运算题，分别按照“先算括号内乘法，再算乘方”和“先算两个因数的乘方，再算乘积”的运算顺序计算两组算式，对比结果即可发现规律。
2. 第(2)问可直接根据第(1)问的计算规律类比推导，得出(ab)³的结果。
3. 第(3)问结合乘方的意义（n个相同因数相乘）展开(ab)ⁿ，再利用乘法交换律、结合律将所有a、b分别归类相乘，即可验证猜想的结论。
4. 第(4)问观察到-4和0.25的乘积为特殊值-1，且两个幂的指数仅相差1，因此先将0.25²⁰²⁶拆分为0.25²⁰²⁵×0.25，逆用前面推导的积的乘方法则简化高次幂的计算即可。
【解析】
(1)①计算$(3×5)^2$：先算括号内得$3×5=15$，再算乘方得$15^2=225$；
计算$3^2×5^2$：先分别算乘方得$3^2=9$，$5^2=25$，再算乘积得$9×25=225$。
②计算$[(-2)×3]^2$：先算括号内得$(-2)×3=-6$，再算乘方得$(-6)^2=36$；
计算$(-2)^2×3^2$：先分别算乘方得$(-2)^2=4$，$3^2=9$，再算乘积得$4×9=36$。
(2)根据(1)的规律可得：$(ab)^3=a^3b^3$。
(3)猜想：当n为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$。
理由如下：根据乘方的意义，
$(ab)^n=\underbrace{(ab)·(ab)·\dots·(ab)}_{n个}$，
利用乘法交换律和结合律整理得：
$\underbrace{(a·a·\dots·a)}_{n个}·\underbrace{(b·b·\dots·b)}_{n个}=a^nb^n$，猜想成立。
(4)计算$(-4)^{2025}×0.25^{2026}$：
先拆分$0.25^{2026}=0.25^{2025}×0.25$，
则原式$=(-4)^{2025}×0.25^{2025}×0.25$，
逆用积的乘方法则得：$(-4×0.25)^{2025}×0.25=(-1)^{2025}×0.25=-1×0.25=-0.25$。
【答案】
(1)①$(3×5)^2=225$，$3^2×5^2=225$；②$[(-2)×3]^2=36$，$(-2)^2×3^2=36$
(2)$(ab)^3=a^3b^3$
(3)$(ab)^n=a^nb^n$（n为正整数），理由见解析
(4)$-0.25$（或$-\frac{1}{4}$）
【知识点】
乘方的意义；积的乘方法则；积的乘方逆运算
【点评】
本题引导学生经历计算、猜想、验证、应用的完整探究过程，渗透了从特殊到一般的数学思想，重点考查积的乘方法则的正用与逆用，逆用法则简便计算时需先将指数调整为相同，再合并底数运算。
【难度系数】
0.7
1. 第(1)问为基础运算题，分别按照“先算括号内乘法，再算乘方”和“先算两个因数的乘方，再算乘积”的运算顺序计算两组算式，对比结果即可发现规律。
2. 第(2)问可直接根据第(1)问的计算规律类比推导，得出(ab)³的结果。
3. 第(3)问结合乘方的意义（n个相同因数相乘）展开(ab)ⁿ，再利用乘法交换律、结合律将所有a、b分别归类相乘，即可验证猜想的结论。
4. 第(4)问观察到-4和0.25的乘积为特殊值-1，且两个幂的指数仅相差1，因此先将0.25²⁰²⁶拆分为0.25²⁰²⁵×0.25，逆用前面推导的积的乘方法则简化高次幂的计算即可。
【解析】
(1)①计算$(3×5)^2$：先算括号内得$3×5=15$，再算乘方得$15^2=225$；
计算$3^2×5^2$：先分别算乘方得$3^2=9$，$5^2=25$，再算乘积得$9×25=225$。
②计算$[(-2)×3]^2$：先算括号内得$(-2)×3=-6$，再算乘方得$(-6)^2=36$；
计算$(-2)^2×3^2$：先分别算乘方得$(-2)^2=4$，$3^2=9$，再算乘积得$4×9=36$。
(2)根据(1)的规律可得：$(ab)^3=a^3b^3$。
(3)猜想：当n为正整数时，$(ab)^n=a^nb^n$。
理由如下：根据乘方的意义，
$(ab)^n=\underbrace{(ab)·(ab)·\dots·(ab)}_{n个}$，
利用乘法交换律和结合律整理得：
$\underbrace{(a·a·\dots·a)}_{n个}·\underbrace{(b·b·\dots·b)}_{n个}=a^nb^n$，猜想成立。
(4)计算$(-4)^{2025}×0.25^{2026}$：
先拆分$0.25^{2026}=0.25^{2025}×0.25$，
则原式$=(-4)^{2025}×0.25^{2025}×0.25$，
逆用积的乘方法则得：$(-4×0.25)^{2025}×0.25=(-1)^{2025}×0.25=-1×0.25=-0.25$。
【答案】
(1)①$(3×5)^2=225$，$3^2×5^2=225$；②$[(-2)×3]^2=36$，$(-2)^2×3^2=36$
(2)$(ab)^3=a^3b^3$
(3)$(ab)^n=a^nb^n$（n为正整数），理由见解析
(4)$-0.25$（或$-\frac{1}{4}$）
【知识点】
乘方的意义；积的乘方法则；积的乘方逆运算
【点评】
本题引导学生经历计算、猜想、验证、应用的完整探究过程，渗透了从特殊到一般的数学思想，重点考查积的乘方法则的正用与逆用，逆用法则简便计算时需先将指数调整为相同，再合并底数运算。
【难度系数】
0.7
10.(数学文化)《庄子》中记载:“一尺之棰,日取其半,万世不竭.”其大意是:一根一尺长的木棒,每天截取它的一半,永远也截不完.若按此方式截一根长为1 m的木棒,则第5天截取的木棒的长度是(
A.$[1-(\frac{1}{2})^5]\ \mathrm{m}$
B.$[1-(\frac{1}{2})^4]\ \mathrm{m}$
C.$(\frac{1}{2})^5\ \mathrm{m}$
D.$(\frac{1}{2})^4\ \mathrm{m}$
C
).A.$[1-(\frac{1}{2})^5]\ \mathrm{m}$
B.$[1-(\frac{1}{2})^4]\ \mathrm{m}$
C.$(\frac{1}{2})^5\ \mathrm{m}$
D.$(\frac{1}{2})^4\ \mathrm{m}$
答案
10. C
解析
【分析】
首先明确题目所求为第5天当天截取的木棒长度，而非前5天累计截取的总长度或剩余长度。我们可以先从第一天的截取情况入手推导规律：每天截取当前木棒长度的一半，即每天截取的长度是前一天截取长度的$\frac{1}{2}$，结合乘方的意义归纳出第$n$天截取长度的表达式，最后代入$n=5$即可得到结果。
【解析】
我们逐步推导每天截取的木棒长度：
第1天截取的长度：$1×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1\ \mathrm{m}$
第2天截取的长度：是第1天剩余长度的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2\ \mathrm{m}$
第3天截取的长度：$(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3\ \mathrm{m}$
以此类推，可得规律：第$n$天截取的木棒长度为$(\frac{1}{2})^n\ \mathrm{m}$
当$n=5$时，第5天截取的长度为$(\frac{1}{2})^5\ \mathrm{m}$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义，规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化考查乘方的实际应用，解题关键是准确理解题意，区分单日截取长度、累计截取长度和剩余长度的区别，通过归纳推导规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
首先明确题目所求为第5天当天截取的木棒长度，而非前5天累计截取的总长度或剩余长度。我们可以先从第一天的截取情况入手推导规律：每天截取当前木棒长度的一半，即每天截取的长度是前一天截取长度的$\frac{1}{2}$，结合乘方的意义归纳出第$n$天截取长度的表达式，最后代入$n=5$即可得到结果。
【解析】
我们逐步推导每天截取的木棒长度：
第1天截取的长度：$1×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^1\ \mathrm{m}$
第2天截取的长度：是第1天剩余长度的一半，即$\frac{1}{2}×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^2\ \mathrm{m}$
第3天截取的长度：$(\frac{1}{2})^2×\frac{1}{2}=(\frac{1}{2})^3\ \mathrm{m}$
以此类推，可得规律：第$n$天截取的木棒长度为$(\frac{1}{2})^n\ \mathrm{m}$
当$n=5$时，第5天截取的长度为$(\frac{1}{2})^5\ \mathrm{m}$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义，规律探究
【点评】
本题结合传统数学文化考查乘方的实际应用，解题关键是准确理解题意，区分单日截取长度、累计截取长度和剩余长度的区别，通过归纳推导规律即可快速求解。
【难度系数】
0.8
11. 为了求 $1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{100}$ 的值，可令 $M = 1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{100}$，则 $3M = 3 + 3^2 + 3^3 + 3^4 + \dots + 3^{101}$，因此，$3M - M = 3^{101} - 1$，所以 $M = \frac{3^{101} - 1}{2}$，即 $1 + 3 + 3^2 + 3^3 + \dots + 3^{100} = \frac{3^{101} - 1}{2}$。仿照以上推理，求 $1 + 5 + 5^2 + 5^3 + \dots + 5^{2026}$ 的值。
答案
解:令 $S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2026}$，
则 $5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{2027}.$
因此，$5S-S=5^{2027}-1$，
所以 $S=\dfrac{5^{2027}-1}{4}$，
即 $1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2026}=\dfrac{5^{2027}-1}{4}.$
则 $5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{2027}.$
因此，$5S-S=5^{2027}-1$，
所以 $S=\dfrac{5^{2027}-1}{4}$，
即 $1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2026}=\dfrac{5^{2027}-1}{4}.$
解析
【分析】
本题属于方法仿照类的求和题，解题思路可对照题干给出的示例逐步推导：首先设待求式子的总和为S，观察式子可发现每一项都是前一项的5倍，因此将等式两边同时乘5得到新的等式，再将两个等式相减，中间重复的项会相互抵消，仅剩余首尾两项的差，最后整理化简就能求出S的值，也就是原式的结果。
【解析】
解：令 $S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2026}$，
则 $5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{2027}$，
两式相减可得：$5S-S=5^{2027}-1$，
即 $4S=5^{2027}-1$，
所以 $S=\dfrac{5^{2027}-1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{5^{2027}-1}{4}$
【知识点】
乘方运算；类比推理；错位相减求和
【点评】
本题是典型的方法迁移类题型，解题的关键是读懂题干给出的求和逻辑，将方法灵活套用到新的算式中，重点考查对解题方法的理解能力和知识迁移应用能力，计算时需注意相减后系数的计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
本题属于方法仿照类的求和题，解题思路可对照题干给出的示例逐步推导：首先设待求式子的总和为S，观察式子可发现每一项都是前一项的5倍，因此将等式两边同时乘5得到新的等式，再将两个等式相减，中间重复的项会相互抵消，仅剩余首尾两项的差，最后整理化简就能求出S的值，也就是原式的结果。
【解析】
解：令 $S=1+5+5^2+5^3+\dots+5^{2026}$，
则 $5S=5+5^2+5^3+5^4+\dots+5^{2027}$，
两式相减可得：$5S-S=5^{2027}-1$，
即 $4S=5^{2027}-1$，
所以 $S=\dfrac{5^{2027}-1}{4}$。
【答案】
$\dfrac{5^{2027}-1}{4}$
【知识点】
乘方运算；类比推理；错位相减求和
【点评】
本题是典型的方法迁移类题型，解题的关键是读懂题干给出的求和逻辑，将方法灵活套用到新的算式中，重点考查对解题方法的理解能力和知识迁移应用能力，计算时需注意相减后系数的计算，避免因粗心出错。
【难度系数】
0.7
