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【例3】 计算：
(1) $-1^3 - (-4)^2 ÷ 8 × (-\frac{1}{4})$；
(2) $6^2 × (-\frac{1}{4} + \frac{2}{9}) - (-16) ÷ 8$。
总结 有理数混合运算的常用技巧如下：
①巧转化：将小数与分数、乘法与除法相互转化。
②巧分解：将一个数分解成几个数的和（差）或积。
③巧逆用：逆用分配律。
④巧分段：借助混合运算中的加减号或括号进行分段计算。
(1) $-1^3 - (-4)^2 ÷ 8 × (-\frac{1}{4})$；
(2) $6^2 × (-\frac{1}{4} + \frac{2}{9}) - (-16) ÷ 8$。
总结 有理数混合运算的常用技巧如下：
①巧转化：将小数与分数、乘法与除法相互转化。
②巧分解：将一个数分解成几个数的和（差）或积。
③巧逆用：逆用分配律。
④巧分段：借助混合运算中的加减号或括号进行分段计算。
答案
解:(1)原式$=-1-16÷8×(-\dfrac{1}{4})=-1-2×(-\dfrac{1}{4})=-1+\dfrac{1}{2}=-\dfrac{1}{2}$；
(2)原式$=36×(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{9})-(-2)=-36×\dfrac{1}{4}+36×\dfrac{2}{9}+2=-9+8+2=1.$
(2)原式$=36×(-\dfrac{1}{4}+\dfrac{2}{9})-(-2)=-36×\dfrac{1}{4}+36×\dfrac{2}{9}+2=-9+8+2=1.$
解析
【分析】
解决有理数混合运算题首先要明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算；有括号时优先计算括号内的，能运用运算律简化计算的可优先用运算律。
对于第(1)题：第一步先计算乘方项，注意区分$-1^3$是1的立方的相反数，结果为-1，$(-4)^2$是-4的平方，结果为16；接下来按从左到右的顺序计算乘除运算，最后计算加减即可，注意减法变加法的符号处理。
对于第(2)题：先计算乘方$6^2=36$，观察到36和括号内两个分数的分母4、9均为倍数关系，因此可以运用乘法分配律将36分别与括号内的两个数相乘，避免通分计算的繁琐；再计算后面的除法运算，最后计算加减即可，注意正负号的变化。
【解析】
(1) 按先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算：
原式$=-1 - 16 ÷ 8 × (-\dfrac{1}{4})$
$=-1 - 2 × (-\dfrac{1}{4})$
$=-1 + \dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}$
(2) 先算乘方，再运用乘法分配律简化计算，最后算加减：
原式$=36 × (-\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{9}) - (-2)$
$=36 × (-\dfrac{1}{4}) + 36 × \dfrac{2}{9} + 2$
$=-9 + 8 + 2$
$=1$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}$；(2) $1$
【知识点】
乘方运算；有理数混合运算；乘法分配律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础典型题，侧重考查运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，解题时需注意区分带负号的乘方的符号，乘除、加减运算的符号处理，合理运用运算律可有效降低计算量、减少失误，熟练掌握此类题型是后续代数运算的重要基础。
【难度系数】
0.7
解决有理数混合运算题首先要明确运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；同级运算从左到右依次计算；有括号时优先计算括号内的，能运用运算律简化计算的可优先用运算律。
对于第(1)题：第一步先计算乘方项，注意区分$-1^3$是1的立方的相反数，结果为-1，$(-4)^2$是-4的平方，结果为16；接下来按从左到右的顺序计算乘除运算，最后计算加减即可，注意减法变加法的符号处理。
对于第(2)题：先计算乘方$6^2=36$，观察到36和括号内两个分数的分母4、9均为倍数关系，因此可以运用乘法分配律将36分别与括号内的两个数相乘，避免通分计算的繁琐；再计算后面的除法运算，最后计算加减即可，注意正负号的变化。
【解析】
(1) 按先乘方、再乘除、最后加减的顺序计算：
原式$=-1 - 16 ÷ 8 × (-\dfrac{1}{4})$
$=-1 - 2 × (-\dfrac{1}{4})$
$=-1 + \dfrac{1}{2}$
$=-\dfrac{1}{2}$
(2) 先算乘方，再运用乘法分配律简化计算，最后算加减：
原式$=36 × (-\dfrac{1}{4} + \dfrac{2}{9}) - (-2)$
$=36 × (-\dfrac{1}{4}) + 36 × \dfrac{2}{9} + 2$
$=-9 + 8 + 2$
$=1$
【答案】
(1) $-\dfrac{1}{2}$；(2) $1$
【知识点】
乘方运算；有理数混合运算；乘法分配律应用
【点评】
本题是有理数运算的基础典型题，侧重考查运算顺序的掌握和运算律的灵活运用，解题时需注意区分带负号的乘方的符号，乘除、加减运算的符号处理，合理运用运算律可有效降低计算量、减少失误，熟练掌握此类题型是后续代数运算的重要基础。
【难度系数】
0.7
● 跟踪练习3 计算：$-\dfrac{3}{2}×[-3^2×(-\dfrac{2}{3})^3 -2]$
答案
解:原式$=-\dfrac{3}{2}×[-9×(-\dfrac{8}{27})-2]=-\dfrac{3}{2}×(\dfrac{8}{3}-2)=-\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}=-1.$
解析
【分析】
本题属于有理数混合运算题，解题需遵循有理数混合运算的优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时优先计算括号内的内容。解题时先处理中括号内的运算：第一步先算乘方，需注意$-3^2$表示$3^2$的相反数，结果为-9，$(-\frac{2}{3})^3$是负数的奇次幂，结果为负；第二步计算中括号内的乘法，第三步计算中括号内的减法，最后计算括号外的乘法即可，全程要注意符号的判断，避免符号出错。
【解析】
解：原式$=-\dfrac{3}{2}×[-9×(-\dfrac{8}{27})-2]$
$=-\dfrac{3}{2}×(\dfrac{8}{3}-2)$
$=-\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
有理数乘方运算、有理数混合运算、符号运算法则
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的应用，易错点是容易混淆$-3^2$和$(-3)^2$的含义导致符号错误，或是不按运算顺序计算。解题时牢记运算优先级，每一步先确定符号再计算数值，就能有效避免失误。
【难度系数】
0.7
本题属于有理数混合运算题，解题需遵循有理数混合运算的优先级：先算乘方，再算乘除，最后算加减，有括号时优先计算括号内的内容。解题时先处理中括号内的运算：第一步先算乘方，需注意$-3^2$表示$3^2$的相反数，结果为-9，$(-\frac{2}{3})^3$是负数的奇次幂，结果为负；第二步计算中括号内的乘法，第三步计算中括号内的减法，最后计算括号外的乘法即可，全程要注意符号的判断，避免符号出错。
【解析】
解：原式$=-\dfrac{3}{2}×[-9×(-\dfrac{8}{27})-2]$
$=-\dfrac{3}{2}×(\dfrac{8}{3}-2)$
$=-\dfrac{3}{2}×\dfrac{2}{3}$
$=-1$
【答案】
$-1$
【知识点】
有理数乘方运算、有理数混合运算、符号运算法则
【点评】
本题核心考查有理数混合运算的应用，易错点是容易混淆$-3^2$和$(-3)^2$的含义导致符号错误，或是不按运算顺序计算。解题时牢记运算优先级，每一步先确定符号再计算数值，就能有效避免失误。
【难度系数】
0.7
1. $(-2)^3, -(-3), (-3)^4, -|-3|, -3^3$中，负数有（
A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
B
）.A.2个
B.3个
C.4个
D.5个
答案
1. B
解析
【分析】
要解决这道题，首先需要分别计算出题干中每个式子的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）判断哪些是负数，最后统计负数的个数即可。计算时要注意区分乘方的底数、正确化简相反数和绝对值，避免符号出错。
【解析】
我们逐个计算每个式子的值并判断正负：
1. 计算$(-2)^3$：表示3个-2相乘，$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-8＜0$，是负数；
2. 计算$-(-3)$：根据相反数的性质，负负得正，$-(-3)=3$，$3＞0$，是正数；
3. 计算$(-3)^4$：表示4个-3相乘，负数的偶次幂为正，$(-3)^4=81$，$81＞0$，是正数；
4. 计算$-|-3|$：先算绝对值，$|-3|=3$，再添负号得$-|-3|=-3$，$-3＜0$，是负数；
5. 计算$-3^3$：先算乘方$3^3=27$，再添负号得$-3^3=-27$，$-27＜0$，是负数。
综上，负数有$(-2)^3$、$-|-3|$、$-3^3$，共3个。
【答案】
B
【知识点】
乘方运算，绝对值化简，负数的定义
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，解题的核心是准确掌握各类运算的规则，尤其要注意带负号的乘方运算中，底数是否包含负号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
要解决这道题，首先需要分别计算出题干中每个式子的结果，再根据负数的定义（小于0的数是负数）判断哪些是负数，最后统计负数的个数即可。计算时要注意区分乘方的底数、正确化简相反数和绝对值，避免符号出错。
【解析】
我们逐个计算每个式子的值并判断正负：
1. 计算$(-2)^3$：表示3个-2相乘，$(-2)^3=(-2)×(-2)×(-2)=-8$，$-8＜0$，是负数；
2. 计算$-(-3)$：根据相反数的性质，负负得正，$-(-3)=3$，$3＞0$，是正数；
3. 计算$(-3)^4$：表示4个-3相乘，负数的偶次幂为正，$(-3)^4=81$，$81＞0$，是正数；
4. 计算$-|-3|$：先算绝对值，$|-3|=3$，再添负号得$-|-3|=-3$，$-3＜0$，是负数；
5. 计算$-3^3$：先算乘方$3^3=27$，再添负号得$-3^3=-27$，$-27＜0$，是负数。
综上，负数有$(-2)^3$、$-|-3|$、$-3^3$，共3个。
【答案】
B
【知识点】
乘方运算，绝对值化简，负数的定义
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，解题的核心是准确掌握各类运算的规则，尤其要注意带负号的乘方运算中，底数是否包含负号，避免因符号判断错误失分。
【难度系数】
0.7
2.计算：$(-1)^3 - \frac{1}{4} × [2 - (-3)^2] = ( )$.
A.$-\frac{11}{4}$
B.$0$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$
A.$-\frac{11}{4}$
B.$0$
C.$\frac{3}{4}$
D.$-\frac{3}{4}$
答案
C
解析
【分析】
本题考查有理数的混合运算，解题时需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算。首先分别计算两个乘方项，再计算中括号内的减法，接着计算乘法，最后计算括号外的减法即可得到结果，计算过程中要注意负数乘方的符号以及去括号时的符号变化。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方：
$(-1)^3 = -1$，$(-3)^2 = 9$；
2. 计算中括号内的运算：
$2 - (-3)^2 = 2 - 9 = -7$；
3. 计算乘法运算：
$\frac{1}{4} × (-7) = -\frac{7}{4}$；
4. 计算最终加减运算：
原式$= -1 - (-\frac{7}{4}) = -1 + \frac{7}{4} = \frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
乘方运算，有理数混合运算顺序，有理数四则运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心易错点是负数乘方的符号判断、去括号时的符号变化，运算时严格遵循运算顺序，仔细核对每一步的符号，即可准确得出结果。
【难度系数】
0.7
本题考查有理数的混合运算，解题时需遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有括号的先算括号内的运算。首先分别计算两个乘方项，再计算中括号内的减法，接着计算乘法，最后计算括号外的减法即可得到结果，计算过程中要注意负数乘方的符号以及去括号时的符号变化。
【解析】
按照有理数混合运算顺序逐步计算：
1. 计算乘方：
$(-1)^3 = -1$，$(-3)^2 = 9$；
2. 计算中括号内的运算：
$2 - (-3)^2 = 2 - 9 = -7$；
3. 计算乘法运算：
$\frac{1}{4} × (-7) = -\frac{7}{4}$；
4. 计算最终加减运算：
原式$= -1 - (-\frac{7}{4}) = -1 + \frac{7}{4} = \frac{3}{4}$。
【答案】
C
【知识点】
乘方运算，有理数混合运算顺序，有理数四则运算
【点评】
本题是有理数运算的基础题型，核心易错点是负数乘方的符号判断、去括号时的符号变化，运算时严格遵循运算顺序，仔细核对每一步的符号，即可准确得出结果。
【难度系数】
0.7
3.若$a$，$b$互为相反数，$c$，$d$互为倒数，则$(a+b)^4 - (-cd)^3$的结果为(
A.$-1$
B.$1$
C.$-1$或$2$
D.$2$
B
).A.$-1$
B.$1$
C.$-1$或$2$
D.$2$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先回忆相反数、倒数的定义性质：互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1。首先根据这两个性质求出a+b、cd的值，再将其代入所求代数式，按照乘方的运算规则逐步计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，
∴$a + b = 0$，
∵c，d互为倒数，
∴$cd = 1$，
将$a+b=0$、$cd=1$代入代数式得：
$\begin{aligned}(a+b)^4 - (-cd)^3&= 0^4 - (-1)^3\\&= 0 - (-1)\\&= 0 + 1\\&= 1\end{aligned}$
故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对相反数、倒数基本定义的掌握，以及乘方运算中符号的处理，只要牢记相关概念和运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆相反数、倒数的定义性质：互为相反数的两个数的和为0，互为倒数的两个数的乘积为1。首先根据这两个性质求出a+b、cd的值，再将其代入所求代数式，按照乘方的运算规则逐步计算即可得到结果。
【解析】
解：
∵a，b互为相反数，
∴$a + b = 0$，
∵c，d互为倒数，
∴$cd = 1$，
将$a+b=0$、$cd=1$代入代数式得：
$\begin{aligned}(a+b)^4 - (-cd)^3&= 0^4 - (-1)^3\\&= 0 - (-1)\\&= 0 + 1\\&= 1\end{aligned}$
故答案选B。
【答案】
B
【知识点】
相反数的性质，倒数的性质，乘方运算
【点评】
本题属于基础运算类题目，核心考查对相反数、倒数基本定义的掌握，以及乘方运算中符号的处理，只要牢记相关概念和运算规则即可准确作答。
【难度系数】
0.8
4.故事“棋盘上的米粒”中，棋盘的第1格中放1粒米，第2格中放2粒米，第3格中放4粒米……以此类推，每一格中的米粒数均是前一格的2倍，那么第12格中所放的米粒数是（
A.22
B.24
C.$2^{11}$
D.$2^{12}$
C
）。A.22
B.24
C.$2^{11}$
D.$2^{12}$
答案
4. C
解析
【分析】
我们先观察前几格的米粒数变化特征：每一格的米粒数都是前一格的2倍，我们可以先把前几格的米粒数转化为乘方形式，找到格子序号和乘方指数的对应规律，再代入第12格的序号计算即可得出结果。
【解析】
先列出前几格的米粒数并改写为乘方形式：
第1格：$1=2^0$
第2格：$2=2^1$
第3格：$4=2^2$
第4格：$8=2^3$
……
由此可总结规律：第$n$格的米粒数为$2^{n-1}$
当$n=12$时，第12格的米粒数为$2^{12-1}=2^{11}$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；数字规律探究
【点评】
本题是结合乘方的基础规律探究题，解题的关键是通过前几项的数值归纳出米粒数和格子序号的指数对应关系，注意不要混淆乘方的指数和格子序号。
【难度系数】
0.8
我们先观察前几格的米粒数变化特征：每一格的米粒数都是前一格的2倍，我们可以先把前几格的米粒数转化为乘方形式，找到格子序号和乘方指数的对应规律，再代入第12格的序号计算即可得出结果。
【解析】
先列出前几格的米粒数并改写为乘方形式：
第1格：$1=2^0$
第2格：$2=2^1$
第3格：$4=2^2$
第4格：$8=2^3$
……
由此可总结规律：第$n$格的米粒数为$2^{n-1}$
当$n=12$时，第12格的米粒数为$2^{12-1}=2^{11}$，因此选C。
【答案】
C
【知识点】
乘方的意义；数字规律探究
【点评】
本题是结合乘方的基础规律探究题，解题的关键是通过前几项的数值归纳出米粒数和格子序号的指数对应关系，注意不要混淆乘方的指数和格子序号。
【难度系数】
0.8
5.定义一种新运算 *，规定运算法则为$m*n=m^n - mn(m,n均为整数,且m≠0)$.例:$2*3=2^3 -2×3=2$,则$(-2)*2=$
8
.答案
5. 8
解析
【分析】
解决新定义运算类题目的核心是先准确理解给定的运算法则，首先找到待求算式中对应法则里m、n的取值，再将数值代入法则，转化为我们学过的有理数常规运算即可。计算时遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减，同时注意负数运算的符号规则。
【解析】
根据规定的新运算法则$m*n=m^n - mn$，
在$(-2)*2$中，$m=-2$，$n=2$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(-2)*2&=(-2)^2 - (-2)×2 \\&=4 - (-4) \\&=4+4 \\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算、有理数乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题考察新定义下的有理数运算，解题关键是正确匹配参数代入公式，计算时需要注意负数乘方的符号以及去括号时的符号变化，属于对基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.8
解决新定义运算类题目的核心是先准确理解给定的运算法则，首先找到待求算式中对应法则里m、n的取值，再将数值代入法则，转化为我们学过的有理数常规运算即可。计算时遵循有理数混合运算顺序：先算乘方，再算乘法，最后算加减，同时注意负数运算的符号规则。
【解析】
根据规定的新运算法则$m*n=m^n - mn$，
在$(-2)*2$中，$m=-2$，$n=2$，代入公式计算：
$\begin{aligned}(-2)*2&=(-2)^2 - (-2)×2 \\&=4 - (-4) \\&=4+4 \\&=8\end{aligned}$
【答案】
8
【知识点】
新定义运算、有理数乘方运算、有理数混合运算
【点评】
本题考察新定义下的有理数运算，解题关键是正确匹配参数代入公式，计算时需要注意负数乘方的符号以及去括号时的符号变化，属于对基础运算能力的考察。
【难度系数】
0.8
6.计算：
(1)$-4^2 ÷ (-3)^3 × (\dfrac{3}{2})^3 - \left|\dfrac{1}{3} - 3\right|$；
(2)$-1^2 + 3^2 ÷ [ (-2)^3 + (-1)^2 ] × (-2\dfrac{1}{3})$。
(1)$-4^2 ÷ (-3)^3 × (\dfrac{3}{2})^3 - \left|\dfrac{1}{3} - 3\right|$；
(2)$-1^2 + 3^2 ÷ [ (-2)^3 + (-1)^2 ] × (-2\dfrac{1}{3})$。
答案
解:(1)原式$=-16÷(-27)×\dfrac{27}{8}-\left|-\dfrac{8}{3}\right|=16×\dfrac{1}{27}×\dfrac{27}{8}-\dfrac{8}{3}=2-\dfrac{8}{3}=-\dfrac{2}{3}$；
(2)原式$=-1+9÷(-8+1)×(-\dfrac{7}{3})=-1+9×(-\dfrac{1}{7})×(-\dfrac{7}{3})=-1+3=2.$
(2)原式$=-1+9÷(-8+1)×(-\dfrac{7}{3})=-1+9×(-\dfrac{1}{7})×(-\dfrac{7}{3})=-1+3=2.$
解析
【分析】
有理数混合运算需遵循固定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有绝对值或括号时，优先计算绝对值内、括号内的运算，同级运算按照从左到右的顺序计算。解题时先分别处理两小问中的乘方、绝对值、括号运算，再按顺序计算乘除，最后计算加减即可，过程中要特别注意符号的判断，避免符号类错误。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值：
$-4^2=-16$，$(-3)^3=-27$，$(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{27}{8}$，$\left|\dfrac{1}{3}-3\right|=\left|-\dfrac{8}{3}\right|=\dfrac{8}{3}$
原式$=-16÷(-27)×\dfrac{27}{8}-\dfrac{8}{3}$
$=16×\dfrac{1}{27}×\dfrac{27}{8}-\dfrac{8}{3}$
$=2-\dfrac{8}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}$
(2) 先计算乘方和中括号内的运算：
$-1^2=-1$，$3^2=9$，$(-2)^3=-8$，$(-1)^2=1$，$-2\dfrac{1}{3}=-\dfrac{7}{3}$
中括号内：$(-8)+1=-7$
原式$=-1+9÷(-7)×(-\dfrac{7}{3})$
$=-1+9×(-\dfrac{1}{7})×(-\dfrac{7}{3})$
$=-1+3$
$=2$
【答案】
(1) $-\dfrac{2}{3}$；(2) $2$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；绝对值化简
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序，易错点为乘方的符号判断、绝对值化简以及运算过程中的符号处理，熟练掌握运算法则、注意细节即可正确解题。
【难度系数】
0.7
有理数混合运算需遵循固定运算顺序：先算乘方，再算乘除，最后算加减；有绝对值或括号时，优先计算绝对值内、括号内的运算，同级运算按照从左到右的顺序计算。解题时先分别处理两小问中的乘方、绝对值、括号运算，再按顺序计算乘除，最后计算加减即可，过程中要特别注意符号的判断，避免符号类错误。
【解析】
(1) 先计算乘方和绝对值：
$-4^2=-16$，$(-3)^3=-27$，$(\dfrac{3}{2})^3=\dfrac{27}{8}$，$\left|\dfrac{1}{3}-3\right|=\left|-\dfrac{8}{3}\right|=\dfrac{8}{3}$
原式$=-16÷(-27)×\dfrac{27}{8}-\dfrac{8}{3}$
$=16×\dfrac{1}{27}×\dfrac{27}{8}-\dfrac{8}{3}$
$=2-\dfrac{8}{3}$
$=-\dfrac{2}{3}$
(2) 先计算乘方和中括号内的运算：
$-1^2=-1$，$3^2=9$，$(-2)^3=-8$，$(-1)^2=1$，$-2\dfrac{1}{3}=-\dfrac{7}{3}$
中括号内：$(-8)+1=-7$
原式$=-1+9÷(-7)×(-\dfrac{7}{3})$
$=-1+9×(-\dfrac{1}{7})×(-\dfrac{7}{3})$
$=-1+3$
$=2$
【答案】
(1) $-\dfrac{2}{3}$；(2) $2$
【知识点】
有理数乘方运算；有理数混合运算；绝对值化简
【点评】
本题重点考查有理数混合运算的运算顺序，易错点为乘方的符号判断、绝对值化简以及运算过程中的符号处理，熟练掌握运算法则、注意细节即可正确解题。
【难度系数】
0.7
