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8.用五个完全相同的小长方形拼成如图所示的大长方形，若大长方形的周长是80 cm，则小长方形的面积是
75 cm²
。答案
8. 75 cm² 分析:设小长方形的宽为 x cm,则长为 3x cm。根据题意,得 2(3x+3x+2x)=80,解得 x=5,所以小长方形的长为 15 cm,宽为 5 cm,面积为 15×5=75(cm²)。
解析
【分析】
解题时首先观察拼接的大长方形，先找小长方形长和宽的关系：左边3个横放的小长方形竖直方向总高度等于3个小长方形的宽，正好等于右侧竖放小长方形的长，因此可得小长方形的长=3×小长方形的宽。接下来设小长方形的宽为未知数，就可以表示出小长方形的长，再进一步表示出大长方形的长和宽，最后利用大长方形周长为80cm的条件列一元一次方程求解，算出小长方形的长和宽后即可计算面积。
【解析】
解：设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由图形关系可知小长方形的长为$ 3x \, \mathrm{cm} $。
观察大长方形可得：大长方形的长为$ 3x + 2x = 5x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 3x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，结合大长方形周长是80cm，列方程得：
$ 2(5x + 3x) = 80 $
化简得：$ 16x = 80 $
解得：$ x = 5 $
因此小长方形的宽为5cm，长为$ 3×5 = 15 \, \mathrm{cm} $。
小长方形的面积为：$ 15×5 = 75 \, (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$ 75 \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长计算，长方形面积计算
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础应用题，解题的核心是通过观察拼接图形得到小长方形长与宽的数量关系，再结合周长公式建立方程求解，能有效考查学生的图形观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先观察拼接的大长方形，先找小长方形长和宽的关系：左边3个横放的小长方形竖直方向总高度等于3个小长方形的宽，正好等于右侧竖放小长方形的长，因此可得小长方形的长=3×小长方形的宽。接下来设小长方形的宽为未知数，就可以表示出小长方形的长，再进一步表示出大长方形的长和宽，最后利用大长方形周长为80cm的条件列一元一次方程求解，算出小长方形的长和宽后即可计算面积。
【解析】
解：设小长方形的宽为$ x \, \mathrm{cm} $，由图形关系可知小长方形的长为$ 3x \, \mathrm{cm} $。
观察大长方形可得：大长方形的长为$ 3x + 2x = 5x \, \mathrm{cm} $，大长方形的宽为$ 3x \, \mathrm{cm} $。
根据长方形周长公式$ C=2×(长+宽) $，结合大长方形周长是80cm，列方程得：
$ 2(5x + 3x) = 80 $
化简得：$ 16x = 80 $
解得：$ x = 5 $
因此小长方形的宽为5cm，长为$ 3×5 = 15 \, \mathrm{cm} $。
小长方形的面积为：$ 15×5 = 75 \, (\mathrm{cm}^2) $
【答案】
$ 75 \, \mathrm{cm}^2 $
【知识点】
一元一次方程的应用，长方形周长计算，长方形面积计算
【点评】
本题属于几何与方程结合的基础应用题，解题的核心是通过观察拼接图形得到小长方形长与宽的数量关系，再结合周长公式建立方程求解，能有效考查学生的图形观察能力和方程应用能力。
【难度系数】
0.7
9.如图，在水平桌面上有甲、乙两个内部呈圆柱形的容器，内部底面积分别为80 cm²，100 cm²，且甲容器装满水，乙容器是空的。若将甲容器中的水全部倒入乙容器中，则乙容器中的水位高度比原先甲容器中的水位高度低了8 cm，则甲容器的容积为（
A.2800 cm³
B.3000 cm³
C.3200 cm³
D.3600 cm³
C
）。A.2800 cm³
B.3000 cm³
C.3200 cm³
D.3600 cm³
答案
9. C
解析
【分析】
本题属于等积变换类应用题，解题核心是抓住“水的体积始终不变”这一等量关系。我们可以先设甲容器中原水位高度为未知数，根据“乙容器水位比甲原水位低8cm”表示出乙容器的水位高度，再结合圆柱体积=底面积×高的公式，分别表示出甲的容积（即水的体积）和倒入乙后水的体积，二者相等即可列方程求解，最后代入计算甲的容积。
【解析】
设甲容器中原水位高度为$ x\ \mathrm{cm} $，则水全部倒入乙容器后，乙容器的水位高度为$ (x-8)\ \mathrm{cm} $。
根据水的体积不变，可列方程：
$ 80x = 100(x-8) $
展开得：$ 80x = 100x - 800 $
移项合并同类项得：$ 20x = 800 $
解得：$ x = 40 $
因此甲容器的容积为：$ 80 × 40 = 3200\ \mathrm{cm}^3 $
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；圆柱体积计算；等积变换
【点评】
本题是典型的等体积变换应用题，解题关键是找准不变量建立等量关系，考查学生提取题目信息、建立方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
本题属于等积变换类应用题，解题核心是抓住“水的体积始终不变”这一等量关系。我们可以先设甲容器中原水位高度为未知数，根据“乙容器水位比甲原水位低8cm”表示出乙容器的水位高度，再结合圆柱体积=底面积×高的公式，分别表示出甲的容积（即水的体积）和倒入乙后水的体积，二者相等即可列方程求解，最后代入计算甲的容积。
【解析】
设甲容器中原水位高度为$ x\ \mathrm{cm} $，则水全部倒入乙容器后，乙容器的水位高度为$ (x-8)\ \mathrm{cm} $。
根据水的体积不变，可列方程：
$ 80x = 100(x-8) $
展开得：$ 80x = 100x - 800 $
移项合并同类项得：$ 20x = 800 $
解得：$ x = 40 $
因此甲容器的容积为：$ 80 × 40 = 3200\ \mathrm{cm}^3 $
故选C。
【答案】
C
【知识点】
一元一次方程的应用；圆柱体积计算；等积变换
【点评】
本题是典型的等体积变换应用题，解题关键是找准不变量建立等量关系，考查学生提取题目信息、建立方程解决实际问题的能力。
【难度系数】
0.7
10.桌面上有甲、乙、丙三个圆柱形的杯子，杯深均为15 cm，各装有10 cm高的水，下表记录了甲、乙、丙三个杯子的底面积。现小明将甲、乙两杯内的一些水倒入丙杯，过程中水没溢出，使甲、乙、丙三杯内水的高度比变为3:4:5。若不计杯子厚度，则甲杯内水的高度变为（
| | 甲杯 | 乙杯 | 丙杯 |
| --- | --- | --- | --- |
| 底面积/cm² |
| 80 | 100 |
A.5.4 cm
B.5.7 cm
C.7.2 cm
D.7.5 cm
C
）。| | 甲杯 | 乙杯 | 丙杯 |
| --- | --- | --- | --- |
| 底面积/cm² |
| 80 | 100 |A.5.4 cm
B.5.7 cm
C.7.2 cm
D.7.5 cm
答案
10. C
解析
【分析】
解题的核心是抓住倒水前后水的总体积不变这一隐含等量关系，这是列方程的依据。首先根据已知的三杯初始水位和底面积可算出总水量；再结合最终三杯水位高度比3:4:5，设每份高度为x，分别表示出三杯最终的水位高度；接下来依据“圆柱体积=底面积×高”表示出三杯最终的水体积，根据总水量相等列方程求解，最后验证丙杯最终水位不超过杯深，确认解符合题意即可。
【解析】
1. 计算初始状态水的总体积：
初始时三杯水位均为10cm，总水体积为：
$V_{总}=S_{甲}h_{原}+S_{乙}h_{原}+S_{丙}h_{原}=60×10+80×10+100×10=2400\ \mathrm{cm}^3$
2. 设未知数并列方程：
设最终甲、乙、丙三杯的水位高度分别为$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$、$5x\ \mathrm{cm}$，根据总水量不变得：
$60×3x + 80×4x + 100×5x = 2400$
3. 解方程：
化简方程得：$180x+320x+500x=2400$，即$1000x=2400$，解得$x=2.4$。
4. 求甲杯高度并验证合理性：
甲杯最终高度为$3x=3×2.4=7.2\ \mathrm{cm}$；此时丙杯高度为$5x=12\ \mathrm{cm}＜15\ \mathrm{cm}$，符合水未溢出的条件。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 圆柱体积计算
【点评】
本题属于等积变形类的方程应用题，关键是找到体积不变的隐含条件，结合比例设未知数可以简化计算，解题时要注意结合“水不溢出”的实际限制验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
解题的核心是抓住倒水前后水的总体积不变这一隐含等量关系，这是列方程的依据。首先根据已知的三杯初始水位和底面积可算出总水量；再结合最终三杯水位高度比3:4:5，设每份高度为x，分别表示出三杯最终的水位高度；接下来依据“圆柱体积=底面积×高”表示出三杯最终的水体积，根据总水量相等列方程求解，最后验证丙杯最终水位不超过杯深，确认解符合题意即可。
【解析】
1. 计算初始状态水的总体积：
初始时三杯水位均为10cm，总水体积为：
$V_{总}=S_{甲}h_{原}+S_{乙}h_{原}+S_{丙}h_{原}=60×10+80×10+100×10=2400\ \mathrm{cm}^3$
2. 设未知数并列方程：
设最终甲、乙、丙三杯的水位高度分别为$3x\ \mathrm{cm}$、$4x\ \mathrm{cm}$、$5x\ \mathrm{cm}$，根据总水量不变得：
$60×3x + 80×4x + 100×5x = 2400$
3. 解方程：
化简方程得：$180x+320x+500x=2400$，即$1000x=2400$，解得$x=2.4$。
4. 求甲杯高度并验证合理性：
甲杯最终高度为$3x=3×2.4=7.2\ \mathrm{cm}$；此时丙杯高度为$5x=12\ \mathrm{cm}＜15\ \mathrm{cm}$，符合水未溢出的条件。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 圆柱体积计算
【点评】
本题属于等积变形类的方程应用题，关键是找到体积不变的隐含条件，结合比例设未知数可以简化计算，解题时要注意结合“水不溢出”的实际限制验证解的合理性。
【难度系数】
0.7
11.【综合与实践】某实验中学七年级“项目学习小组”的同学，利用课余时间用19 m长的篱笆在墙边围成一个长方形菜地(长方形的一条长边是墙,墙足够长),使宽比长少5 m,但在宽的一边有一扇1 m宽的门,则同学们围成的菜地的面积是多少？
答案
11. 解:设长方形菜地的宽为 x m,则长为(x+5)m。根据题意,得 x+(x+5)+(x-1)=19,解得 x=5,所以 5×(5+5)=50(m²),所以同学们围成的菜地的面积是 50 m²。
解析
【分析】
解题时首先明确篱笆的构成：长方形长边靠墙，因此篱笆只需要围1条长和2条宽，又因为宽的一侧有1m宽的门，该部分不需要使用篱笆，计算篱笆总长度时要减去门的宽度。我们可以先设宽为未知数，根据“宽比长少5m”的数量关系表示出长，再结合篱笆总长度为19m的等量关系列方程求解，最后用长方形面积公式计算菜地面积即可。
【解析】
解：设长方形菜地的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ (x+5) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$ x + (x+5) + (x - 1) = 19 $
合并同类项得：$ 3x + 4 = 19 $
移项得：$ 3x = 15 $
系数化为1得：$ x = 5 $
则长方形的长为$ x + 5 = 5 + 5 = 10 \, \mathrm{m} $
菜地面积为：$ 5 × 10 = 50 \, (\mathrm{m}^2) $
【答案】
$ 50 \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的典型题型，解题关键是准确梳理篱笆实际覆盖的边长，注意门的部分不消耗篱笆，避免列方程时遗漏该条件出现错误，同时要熟练运用长方形面积公式求解最终结果。
【难度系数】
0.7
解题时首先明确篱笆的构成：长方形长边靠墙，因此篱笆只需要围1条长和2条宽，又因为宽的一侧有1m宽的门，该部分不需要使用篱笆，计算篱笆总长度时要减去门的宽度。我们可以先设宽为未知数，根据“宽比长少5m”的数量关系表示出长，再结合篱笆总长度为19m的等量关系列方程求解，最后用长方形面积公式计算菜地面积即可。
【解析】
解：设长方形菜地的宽为$ x \, \mathrm{m} $，则长为$ (x+5) \, \mathrm{m} $。
根据题意列方程：
$ x + (x+5) + (x - 1) = 19 $
合并同类项得：$ 3x + 4 = 19 $
移项得：$ 3x = 15 $
系数化为1得：$ x = 5 $
则长方形的长为$ x + 5 = 5 + 5 = 10 \, \mathrm{m} $
菜地面积为：$ 5 × 10 = 50 \, (\mathrm{m}^2) $
【答案】
$ 50 \, \mathrm{m}^2 $
【知识点】
一元一次方程的应用；长方形面积计算
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的典型题型，解题关键是准确梳理篱笆实际覆盖的边长，注意门的部分不消耗篱笆，避免列方程时遗漏该条件出现错误，同时要熟练运用长方形面积公式求解最终结果。
【难度系数】
0.7
12.【综合与实践】李师傅购买了一套新房，新房的平面图如图所示。李师傅准备将地面铺上同样的地砖，根据图中的数据(单位:m)，试回答下列问题:
(1)求此房的总面积(用含x的代数式表示)；
(2)已知厨房面积比卫生间面积大6 m²，且铺1 m²地砖的平均费用为120元，那么铺地砖的总费用为多少元？
(1)求此房的总面积(用含x的代数式表示)；
(2)已知厨房面积比卫生间面积大6 m²，且铺1 m²地砖的平均费用为120元，那么铺地砖的总费用为多少元？
答案
12. 解:(1)由题意,得(11.5-1.5)(x+2x+3)-3(11.5-1.5-4-x)+1.5×2x=(36x+12)(m²)。
(2)根据题意,得(11.5-1.5-4)x-3x=6,解得 x=2,120×(36×2+12)=10 080(元),所以铺地砖的总费用为 10 080 元。
(2)根据题意,得(11.5-1.5-4)x-3x=6,解得 x=2,120×(36×2+12)=10 080(元),所以铺地砖的总费用为 10 080 元。
解析
【分析】
（1）求房屋总面积可采用“补减结合”的思路：先将阳台除外的右侧区域补为完整大长方形，算出该大长方形面积后，减去多算的空缺部分面积，再加上阳台的面积即可得到总房屋面积，解题时需结合图中标注准确推导各边的长度。
（2）先分别写出厨房、卫生间的面积表达式，根据“厨房面积比卫生间面积大6$\mathrm{m}^2$”的等量关系列一元一次方程求出$x$的值，再将$x$代入第一问得到的总面积代数式求出总面积，最后乘每平方米地砖的费用即可得到总费用。
【解析】
(1) 分步计算各部分面积：
阳台除外的右侧区域总长度为$11.5-1.5=10\ \mathrm{m}$，该区域总高度为$3+x+2x=(3x+3)\ \mathrm{m}$，补全后大长方形的面积为$10×(3x+3)=30x+30\ \mathrm{m}^2$；
多算的空缺部分宽度为$10-4-x=(6-x)\ \mathrm{m}$，空缺部分面积为$3×(6-x)=18-3x\ \mathrm{m}^2$；
阳台的面积为$1.5×2x=3x\ \mathrm{m}^2$；
因此房屋总面积为：
$\begin{aligned}&10(3x+3)-3(6-x)+3x\\=&30x+30-18+3x+3x\\=&(36x+12)\ \mathrm{m}^2\end{aligned}$
(2) 首先计算厨房和卫生间的面积：
厨房的长为$11.5-1.5-4=6\ \mathrm{m}$，宽为$x\ \mathrm{m}$，面积为$6x\ \mathrm{m}^2$；卫生间的面积为$3x\ \mathrm{m}^2$。
根据题意列方程：$6x-3x=6$，
解得$x=2$。
将$x=2$代入总面积表达式，得房屋总面积为$36×2+12=84\ \mathrm{m}^2$，
则铺地砖的总费用为$84×120=10080\ \mathrm{元}$。
【答案】
(1) $\boxed{(36x + 12)\ \mathrm{m}^2}$
(2) $\boxed{10080}$元
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；面积计算
【点评】
本题结合房屋装修的生活场景，考查了图形面积计算和一元一次方程的实际应用，解题核心是准确从平面图中提取各区域的边长数据，正确列出代数式和等量关系方程。
【难度系数】
0.7
（1）求房屋总面积可采用“补减结合”的思路：先将阳台除外的右侧区域补为完整大长方形，算出该大长方形面积后，减去多算的空缺部分面积，再加上阳台的面积即可得到总房屋面积，解题时需结合图中标注准确推导各边的长度。
（2）先分别写出厨房、卫生间的面积表达式，根据“厨房面积比卫生间面积大6$\mathrm{m}^2$”的等量关系列一元一次方程求出$x$的值，再将$x$代入第一问得到的总面积代数式求出总面积，最后乘每平方米地砖的费用即可得到总费用。
【解析】
(1) 分步计算各部分面积：
阳台除外的右侧区域总长度为$11.5-1.5=10\ \mathrm{m}$，该区域总高度为$3+x+2x=(3x+3)\ \mathrm{m}$，补全后大长方形的面积为$10×(3x+3)=30x+30\ \mathrm{m}^2$；
多算的空缺部分宽度为$10-4-x=(6-x)\ \mathrm{m}$，空缺部分面积为$3×(6-x)=18-3x\ \mathrm{m}^2$；
阳台的面积为$1.5×2x=3x\ \mathrm{m}^2$；
因此房屋总面积为：
$\begin{aligned}&10(3x+3)-3(6-x)+3x\\=&30x+30-18+3x+3x\\=&(36x+12)\ \mathrm{m}^2\end{aligned}$
(2) 首先计算厨房和卫生间的面积：
厨房的长为$11.5-1.5-4=6\ \mathrm{m}$，宽为$x\ \mathrm{m}$，面积为$6x\ \mathrm{m}^2$；卫生间的面积为$3x\ \mathrm{m}^2$。
根据题意列方程：$6x-3x=6$，
解得$x=2$。
将$x=2$代入总面积表达式，得房屋总面积为$36×2+12=84\ \mathrm{m}^2$，
则铺地砖的总费用为$84×120=10080\ \mathrm{元}$。
【答案】
(1) $\boxed{(36x + 12)\ \mathrm{m}^2}$
(2) $\boxed{10080}$元
【知识点】
列代数式；一元一次方程的应用；面积计算
【点评】
本题结合房屋装修的生活场景，考查了图形面积计算和一元一次方程的实际应用，解题核心是准确从平面图中提取各区域的边长数据，正确列出代数式和等量关系方程。
【难度系数】
0.7
