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7 一元一次方程的应用(第2课时)
课堂精要·梳理内容
1.“盈不足”问题中,要抓住一个最基本的相等关系:表示同一个量的两个不同的式子相等,可以利用
2.“盈不足”问题的一般解题步骤:
(1)理解题意,明确已知量和
(2)利用表格分析题目中的
(3)设一个未知量为x,其余未知量用含有x的
(4)根据等量关系列出方程。
(5)解方程,求出未知数的值。
课堂精要·梳理内容
1.“盈不足”问题中,要抓住一个最基本的相等关系:表示同一个量的两个不同的式子相等,可以利用
表格
来分析数量关系。2.“盈不足”问题的一般解题步骤:
(1)理解题意,明确已知量和
未知量
。(2)利用表格分析题目中的
等量关系
。(3)设一个未知量为x,其余未知量用含有x的
代数式
表示。(4)根据等量关系列出方程。
(5)解方程,求出未知数的值。
答案
1.表格
2.(1)未知量 (2)等量关系
(3)代数式
2.(1)未知量 (2)等量关系
(3)代数式
解析
【分析】
本题考查一元一次方程应用中“盈不足”问题的基础概念与解题步骤，可结合课堂所学的相关基础内容逐一对应填空：第1题需明确“盈不足”问题分析数量关系的常用工具；第2题按照列一元一次方程解应用题的常规逻辑，依次对应步骤中的核心要素填写即可。
【解析】
1. “盈不足”问题中存在表示同一个量的两个不同式子，为了清晰梳理两类情况的对应数量，通常利用表格来分析数量关系，因此本空填“表格”。
2. 按照“盈不足”问题的一般解题步骤：
(1) 解应用题的第一步首先要理解题意，区分清楚题目给出的已知量和要求的未知量，故本空填“未知量”；
(2) 借助表格的目的是清晰呈现题目中蕴含的等量关系，为列方程提供依据，故本空填“等量关系”；
(3) 选定一个未知量设为x后，剩下的其他未知量需要用含有x的代数式表示，才能建立只含一个未知数的方程，故本空填“代数式”。
【答案】
1.表格
2.(1)未知量 (2)等量关系 (3)代数式
【知识点】
盈不足问题，一元一次方程应用步骤，列代数式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考察“盈不足”问题的分析方法与解题流程，熟练掌握这些基础内容是后续解决复杂“盈不足”类应用题的重要基础。
【难度系数】
0.9
本题考查一元一次方程应用中“盈不足”问题的基础概念与解题步骤，可结合课堂所学的相关基础内容逐一对应填空：第1题需明确“盈不足”问题分析数量关系的常用工具；第2题按照列一元一次方程解应用题的常规逻辑，依次对应步骤中的核心要素填写即可。
【解析】
1. “盈不足”问题中存在表示同一个量的两个不同式子，为了清晰梳理两类情况的对应数量，通常利用表格来分析数量关系，因此本空填“表格”。
2. 按照“盈不足”问题的一般解题步骤：
(1) 解应用题的第一步首先要理解题意，区分清楚题目给出的已知量和要求的未知量，故本空填“未知量”；
(2) 借助表格的目的是清晰呈现题目中蕴含的等量关系，为列方程提供依据，故本空填“等量关系”；
(3) 选定一个未知量设为x后，剩下的其他未知量需要用含有x的代数式表示，才能建立只含一个未知数的方程，故本空填“代数式”。
【答案】
1.表格
2.(1)未知量 (2)等量关系 (3)代数式
【知识点】
盈不足问题，一元一次方程应用步骤，列代数式
【点评】
本题属于基础概念识记类题目，重点考察“盈不足”问题的分析方法与解题流程，熟练掌握这些基础内容是后续解决复杂“盈不足”类应用题的重要基础。
【难度系数】
0.9
1.某班学生购买45套校服,共计3600元,其中每条校裤30元,每件上衣多少元?
设每件上衣x元,可列方程为(
A.$45x + 30 = 3600$
B.$45x + 45×30 = 3600$
C.$45x + 30×(45 - x) = 3600$
D.$45(x - 30) = 3600$
设每件上衣x元,可列方程为(
B
)。A.$45x + 30 = 3600$
B.$45x + 45×30 = 3600$
C.$45x + 30×(45 - x) = 3600$
D.$45(x - 30) = 3600$
答案
1.B
解析
【分析】
要解决这个问题，首先需要找准总费用的等量关系：45套校服的总花费=45件上衣的总费用+45条校裤的总费用。首先明确每套校服包含1件上衣和1条校裤，因此45套对应45件上衣、45条校裤；再根据“总价=单价×数量”分别表示出上衣和校裤的总费用，结合总花费3600元即可列出方程，对应正确选项。
【解析】
1. 梳理等量关系：45件上衣的总费用 + 45条校裤的总费用 = 购买校服的总费用3600元。
2. 代入量计算：设每件上衣x元，45件上衣总费用为$45x$元；每条校裤30元，45条校裤总费用为$45×30$元。
3. 列方程得：$45x + 45×30 = 3600$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 总价数量关系
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题核心是理清购买物品的数量和总费用的构成，只要明确上衣、校裤的购买数量均为45，就能避免选错。
【难度系数】
0.8
要解决这个问题，首先需要找准总费用的等量关系：45套校服的总花费=45件上衣的总费用+45条校裤的总费用。首先明确每套校服包含1件上衣和1条校裤，因此45套对应45件上衣、45条校裤；再根据“总价=单价×数量”分别表示出上衣和校裤的总费用，结合总花费3600元即可列出方程，对应正确选项。
【解析】
1. 梳理等量关系：45件上衣的总费用 + 45条校裤的总费用 = 购买校服的总费用3600元。
2. 代入量计算：设每件上衣x元，45件上衣总费用为$45x$元；每条校裤30元，45条校裤总费用为$45×30$元。
3. 列方程得：$45x + 45×30 = 3600$，对应选项B。
【答案】
B
【知识点】
1. 一元一次方程的应用 2. 总价数量关系
【点评】
本题是方程应用的基础题型，解题核心是理清购买物品的数量和总费用的构成，只要明确上衣、校裤的购买数量均为45，就能避免选错。
【难度系数】
0.8
2.把一些图书分给某班学生阅读。若每人分3本，则剩余20本；若每人分4本，则还缺25本。这个班有学生（
A.35人
B.40人
C.45人
D.50人
C
）。A.35人
B.40人
C.45人
D.50人
答案
2.C
解析
【分析】
这是一道分配类的一元一次方程应用题，解题核心是找到题目中不变的量作为等量关系。本题中无论采用哪种分书方式，图书的总数量是固定不变的，因此可以设学生人数为未知数，分别用两种分书方案表示图书总数量，令两者相等即可列出方程求解。
【解析】
解：设这个班有学生$ x $人。
根据图书总数量不变，可列方程：
$ 3x + 20 = 4x - 25 $
移项得：$ 3x - 4x = -25 - 20 $
合并同类项得：$ -x = -45 $
系数化为1得：$ x = 45 $
因此这个班有学生45人。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系建立
【点评】
本题属于基础的分配型应用题，解题的关键是抓住分配过程中恒定不变的量构建等量关系，掌握该类题型的通法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
这是一道分配类的一元一次方程应用题，解题核心是找到题目中不变的量作为等量关系。本题中无论采用哪种分书方式，图书的总数量是固定不变的，因此可以设学生人数为未知数，分别用两种分书方案表示图书总数量，令两者相等即可列出方程求解。
【解析】
解：设这个班有学生$ x $人。
根据图书总数量不变，可列方程：
$ 3x + 20 = 4x - 25 $
移项得：$ 3x - 4x = -25 - 20 $
合并同类项得：$ -x = -45 $
系数化为1得：$ x = 45 $
因此这个班有学生45人。
【答案】
C
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 等量关系建立
【点评】
本题属于基础的分配型应用题，解题的关键是抓住分配过程中恒定不变的量构建等量关系，掌握该类题型的通法后很容易得分。
【难度系数】
0.8
3.练习本的单价比水性笔的少2元，小刚买了5本练习本和3支水性笔正好用去14元。如果设水性笔的单价为x元，那么下列所列方程正确的是（
A.$5(x-2)+3x=14$
B.$5(x+2)+3x=14$
C.$5x+3(x+2)=14$
D.$5x+3(x-2)=14$
A
）。A.$5(x-2)+3x=14$
B.$5(x+2)+3x=14$
C.$5x+3(x+2)=14$
D.$5x+3(x-2)=14$
答案
3.A
解析
【分析】
解题时首先要根据题目设的未知数推导练习本的单价，再分别计算购买练习本和水性笔的总费用，最后根据“5本练习本费用+3支水性笔费用=14元”的等量关系列出方程，再对应选项判断即可。首先已知水性笔单价设为x元，练习本单价比水性笔少2元，因此练习本单价为(x-2)元；再根据总价=单价×数量，分别算出两种商品的总花费，相加等于总支出14元即可得到正确方程。
【解析】
解：设水性笔的单价为x元，
∵练习本的单价比水性笔少2元，
∴练习本的单价为(x-2)元，
购买5本练习本的总费用为：$5(x-2)$元，
购买3支水性笔的总费用为：$3x$元，
已知两种商品总花费为14元，因此可列方程：
$5(x-2)+3x=14$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；总价=单价×数量
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，核心是准确梳理题目中的数量关系，解题关键是先正确表示出练习本的单价，再抓住总花费的等量关系列式，注意不要混淆两种商品的单价差值关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先要根据题目设的未知数推导练习本的单价，再分别计算购买练习本和水性笔的总费用，最后根据“5本练习本费用+3支水性笔费用=14元”的等量关系列出方程，再对应选项判断即可。首先已知水性笔单价设为x元，练习本单价比水性笔少2元，因此练习本单价为(x-2)元；再根据总价=单价×数量，分别算出两种商品的总花费，相加等于总支出14元即可得到正确方程。
【解析】
解：设水性笔的单价为x元，
∵练习本的单价比水性笔少2元，
∴练习本的单价为(x-2)元，
购买5本练习本的总费用为：$5(x-2)$元，
购买3支水性笔的总费用为：$3x$元，
已知两种商品总花费为14元，因此可列方程：
$5(x-2)+3x=14$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
列一元一次方程；总价=单价×数量
【点评】
本题是方程实际应用的基础题型，核心是准确梳理题目中的数量关系，解题关键是先正确表示出练习本的单价，再抓住总花费的等量关系列式，注意不要混淆两种商品的单价差值关系。
【难度系数】
0.8
4.小悦买书需用48元钱，付款时恰好用了1元和5元的纸币共12张。设所用的1元纸币为x张，根据题意，下面所列方程正确的是（
A.$x + 5(12 - x) = 48$
B.$x + 5(x - 12) = 48$
C.$x + 12(x - 5) = 48$
D.$5x + (12 - x) = 48$
A
）。A.$x + 5(12 - x) = 48$
B.$x + 5(x - 12) = 48$
C.$x + 12(x - 5) = 48$
D.$5x + (12 - x) = 48$
答案
4.A
解析
【分析】
解题时先梳理题目中的等量关系：首先已知两种纸币总张数为12张，设1元纸币为x张，可先推出5元纸币的张数；再根据“1元纸币总金额+5元纸币总金额=总花费48元”的核心等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
1. 求5元纸币的张数：因为1元和5元纸币共12张，1元纸币有x张，所以5元纸币有$(12-x)$张。
2. 计算两类纸币的总金额：1元纸币总金额为$1× x=x$元，5元纸币总金额为$5×(12-x)$元。
3. 结合总花费列方程：两类纸币总金额之和为48元，因此可列方程$x + 5(12 - x) = 48$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题，解题关键是找准题目中的等量关系，准确表示出不同面值纸币的总金额，结合总花费列方程即可。
【难度系数】
0.9
解题时先梳理题目中的等量关系：首先已知两种纸币总张数为12张，设1元纸币为x张，可先推出5元纸币的张数；再根据“1元纸币总金额+5元纸币总金额=总花费48元”的核心等量关系，就能列出对应方程。
【解析】
1. 求5元纸币的张数：因为1元和5元纸币共12张，1元纸币有x张，所以5元纸币有$(12-x)$张。
2. 计算两类纸币的总金额：1元纸币总金额为$1× x=x$元，5元纸币总金额为$5×(12-x)$元。
3. 结合总花费列方程：两类纸币总金额之和为48元，因此可列方程$x + 5(12 - x) = 48$，对应选项A。
【答案】
A
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 列一元一次方程
【点评】
本题是一元一次方程实际应用的基础题，解题关键是找准题目中的等量关系，准确表示出不同面值纸币的总金额，结合总花费列方程即可。
【难度系数】
0.9
5.星期日,小兵来到了湿地公园,看到门口的停车场只有小汽车和自行车,它们共有45辆,并且有120个车轮,那么自行车有多少辆?设自行车有x辆,根据题意,可列方程为
$2x+4(45-x)=120$
。答案
5.$2x+4(45-x)=120$
解析
【分析】
这是一元一次方程解决实际问题的典型题型，解题核心是找准题目中的等量关系。首先根据总车辆数，用含x的式子表示出小汽车的数量：已知两种车共45辆，自行车有x辆，那么小汽车数量为(45-x)辆；再明确车轮数量规则：1辆自行车有2个车轮，1辆小汽车有4个车轮；最后根据“自行车总车轮数+小汽车总车轮数=120”的等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
已知设自行车有x辆，
由两种车总共有45辆，可得小汽车的数量为$(45-x)$辆。
1辆自行车有2个车轮，因此自行车的总车轮数为$2x$个；
1辆小汽车有4个车轮，因此小汽车的总车轮数为$4(45-x)$个。
根据两类车总车轮数为120个的等量关系，可列方程：
$2x+4(45-x)=120$
【答案】
$2x+4(45-x)=120$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 鸡兔同笼问题
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是先准确表示出两类车辆的数量，再结合总车轮数的等量关系列方程，掌握列一元一次方程的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
这是一元一次方程解决实际问题的典型题型，解题核心是找准题目中的等量关系。首先根据总车辆数，用含x的式子表示出小汽车的数量：已知两种车共45辆，自行车有x辆，那么小汽车数量为(45-x)辆；再明确车轮数量规则：1辆自行车有2个车轮，1辆小汽车有4个车轮；最后根据“自行车总车轮数+小汽车总车轮数=120”的等量关系，即可列出对应方程。
【解析】
已知设自行车有x辆，
由两种车总共有45辆，可得小汽车的数量为$(45-x)$辆。
1辆自行车有2个车轮，因此自行车的总车轮数为$2x$个；
1辆小汽车有4个车轮，因此小汽车的总车轮数为$4(45-x)$个。
根据两类车总车轮数为120个的等量关系，可列方程：
$2x+4(45-x)=120$
【答案】
$2x+4(45-x)=120$
【知识点】
1. 一元一次方程的应用
2. 鸡兔同笼问题
【点评】
本题属于基础的方程应用类题目，解题关键是先准确表示出两类车辆的数量，再结合总车轮数的等量关系列方程，掌握列一元一次方程的基本步骤即可快速解答。
【难度系数】
0.8
6.某小组计划做一批手工艺品，如果每人做5个，那么比计划多了6个；如果每人做4个，那么比计划少了1个。该小组有多少名成员？他们计划做多少个手工艺品？
答案
6.解:设该小组有x名成员。
依题意,得$5x-6=4x+1$,
解得$x=7$,
所以$5×7-6=29$(个),
所以该小组有7名成员,他们计划做29个手工艺品。
依题意,得$5x-6=4x+1$,
解得$x=7$,
所以$5×7-6=29$(个),
所以该小组有7名成员,他们计划做29个手工艺品。
解析
【分析】
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系列方程。首先明确：不管成员每人做5个还是4个，小组计划做的手工艺品总数量是固定不变的。我们可以先设小组的成员人数为未知数x，再用含x的式子分别表示出两种情况下的计划总数量，让两个式子相等即可列出一元一次方程，解出x后代入任意一个表示计划数量的式子，就能算出计划做的手工艺品总数。
【解析】
解：设该小组有x名成员。
根据计划做的手工艺品总数不变，列方程得：
$5x-6=4x+1$
移项计算得：$5x-4x=1+6$
解得$x=7$
将$x=7$代入$5x-6$，可得计划做的手工艺品数量为：$5×7-6=29$（个）
答：该小组有7名成员，他们计划做29个手工艺品。
【答案】
该小组有7名成员，他们计划做29个手工艺品。
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.列方程解应用题
【点评】
本题属于典型的盈亏类实际应用题，解题的关键是抓住“计划做的手工艺品总数”这一不变量建立等量关系，得出结果后可代入题干两种场景验证，确保答案正确。
【难度系数】
0.8
这是一道一元一次方程的实际应用题，解题核心是找到题目中的不变量作为等量关系列方程。首先明确：不管成员每人做5个还是4个，小组计划做的手工艺品总数量是固定不变的。我们可以先设小组的成员人数为未知数x，再用含x的式子分别表示出两种情况下的计划总数量，让两个式子相等即可列出一元一次方程，解出x后代入任意一个表示计划数量的式子，就能算出计划做的手工艺品总数。
【解析】
解：设该小组有x名成员。
根据计划做的手工艺品总数不变，列方程得：
$5x-6=4x+1$
移项计算得：$5x-4x=1+6$
解得$x=7$
将$x=7$代入$5x-6$，可得计划做的手工艺品数量为：$5×7-6=29$（个）
答：该小组有7名成员，他们计划做29个手工艺品。
【答案】
该小组有7名成员，他们计划做29个手工艺品。
【知识点】
1.一元一次方程的应用
2.列方程解应用题
【点评】
本题属于典型的盈亏类实际应用题，解题的关键是抓住“计划做的手工艺品总数”这一不变量建立等量关系，得出结果后可代入题干两种场景验证，确保答案正确。
【难度系数】
0.8
