3. 如图10,在正方形ABCD中,P是BC上的点,且BP=3PC,Q是CD的中点.
求证:$△ ADQ ∽ △ QCP$.

$\because Q$是$CD$的中点且$BP=3PC \quad \therefore \frac{QC}{AD}=\frac{PC}{DQ}=\frac{1}{2} \quad 又\because ∠D=∠C=90° \quad \therefore △ADQ∽△QCP$

【分析】
要证明△ADQ∽△QCP，首先观察到两个三角形都有直角（正方形的内角为90°），已有一组角相等，可优先选用“两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似”的判定定理证明。接下来结合正方形边长相等的性质，以及题目给出的BP=3PC、Q是CD中点的条件，计算两个三角形夹直角的两组边的比值，验证比值相等即可完成证明。
【解析】
证明：设正方形ABCD的边长为4k（k＞0）。
∵ BP=3PC，且BP+PC=BC=4k，
∴ PC = k。
∵ Q是CD的中点，CD=4k，
∴ DQ=QC=2k。
∴ $\frac{QC}{AD}=\frac{2k}{4k}=\frac{1}{2}$，$\frac{PC}{DQ}=\frac{k}{2k}=\frac{1}{2}$，即$\frac{QC}{AD}=\frac{PC}{DQ}$。
又
∵ 四边形ABCD是正方形，
∴ ∠D=∠C=90°。
根据两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似，可得△ADQ∽△QCP。
【答案】
$\because Q$是$CD$的中点且$BP=3PC \quad \therefore \frac{QC}{AD}=\frac{PC}{DQ}=\frac{1}{2} \quad 又\because ∠D=∠C=90° \quad \therefore △ADQ∽△QCP$
【知识点】
正方形的性质、相似三角形的判定、比例线段计算
【点评】
本题是相似三角形判定的基础题型，解题核心是利用正方形边长相等的性质，结合已知线段的数量关系推导出对应边成比例，结合等角条件即可证明相似，是几何证明中较为典型的基础考法。
【难度系数】
0.7

如图11,已知△ABC和△ADE,AC=BC,AD=DE,且B,E,D三点共线,∠BAC=∠DAE,BD与AC交于点F,连接CD,CE.
(1)求证:△ACD∽△ABE;
(2)若$FB=FC,CB=2,AB=\sqrt{5}-1,\frac{AF}{CF}$的值为.

1. 证明: $\because ∠ BAC=∠ DAE$ $\therefore ∠ BAE+∠ EAF=∠ CAD+∠ EAF$ $\therefore ∠ BAE=∠ CAD$ $\because AC=BC,AD=DE$ $\therefore ∠ CAB=∠ CBA, ∠ DAE=∠ DEA$ $\therefore ∠ DEA=∠ CBA$ $\therefore △ DAE∽ △ CAB$ $\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$ 即 $\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$ $\therefore △ ACD∽ △ ABE$
2. $\frac{\sqrt{5}-1}{2}$

【分析】
(1) 要证明△ACD∽△ABE，首先需找到对应角相等和对应边成比例：第一步由∠BAC=∠DAE推导公共角之外的夹角∠BAE=∠CAD；第二步利用AC=BC、AD=DE可知△ABC和△ADE均为等腰三角形，顶角相等则底角相等，可先证△DAE∽△CAB，得到边的比例关系，调整比例式后结合相等的夹角即可证明目标三角形相似。
(2) 求$\frac{AF}{CF}$的值时，已知FB=FC、AC=BC=2，可先根据角的关系证明△ABF∽△ACB，利用相似三角形对应边成比例的性质得到AB²=AC·AF，代入已知AB、AC的长度求出AF，再计算CF的长度，最后化简比值即可。
【解析】
(1) 证明：
∵ $∠ BAC=∠ DAE$，
∴ $∠ BAC - ∠ EAC = ∠ DAE - ∠ EAC$，即$∠ BAE=∠ CAD$，
∵ $AC=BC$，$AD=DE$，
∴ $∠ BAC=∠ CBA$，$∠ DAE=∠ DEA$，
又
∵ $∠ BAC=∠ DAE$，
∴ $∠ DEA=∠ CBA$，
∴ $△ DAE ∽ △ CAB$，
∴ $\frac{AD}{AC}=\frac{AE}{AB}$，变形得$\frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB}$，
在$△ ACD$和$△ ABE$中：
$\begin{cases} \frac{AD}{AE}=\frac{AC}{AB} \\ ∠ CAD=∠ BAE \end{cases}$，
∴ $△ ACD ∽ △ ABE$。
(2) 解：
∵ $AC=BC=2$，$FB=FC$，
∴ $∠ BAC=∠ ABC$，$∠ FBC=∠ FCB$，
又
∵ $∠ BAF=∠ CAB$（公共角），$∠ ABF=∠ ACB$，
∴ $△ ABF ∽ △ ACB$，
∴ $\frac{AB}{AC}=\frac{AF}{AB}$，即$AB^2=AC· AF$，
将$AB=\sqrt{5}-1$，$AC=2$代入得：
$(\sqrt{5}-1)^2=2AF$，
计算得$6-2\sqrt{5}=2AF$，解得$AF=3-\sqrt{5}$，
∴ $CF=AC-AF=2-(3-\sqrt{5})=\sqrt{5}-1$，
∴ $\frac{AF}{CF}=\frac{3-\sqrt{5}}{\sqrt{5}-1}=\frac{(3-\sqrt{5})(\sqrt{5}+1)}{(\sqrt{5}-1)(\sqrt{5}+1)}=\frac{2\sqrt{5}-2}{4}=\frac{\sqrt{5}-1}{2}$。
【答案】
(1) 证明见解析；(2) $\boldsymbol{\frac{\sqrt{5}-1}{2}}$
【知识点】
等腰三角形的性质，相似三角形的判定，相似三角形的性质
【点评】
本题综合考查等腰三角形和相似三角形的相关知识，第一问需要通过两次相似的证明得到结论，重点是找到中间的相似关系推导边的比例；第二问需要结合等腰三角形角的性质找到相似三角形，再利用相似性质计算线段比值，对逻辑推理能力有一定要求。
【难度系数】
0.65