登录
7. 如图,在$△ ABC$中,$∠ B=33°,∠ ACB=79°$. 根据尺规的作图痕迹,可知$∠ α$的度数是 （
A.$66°$
B.$68°$
C.$80°$
D.$100°$
C
）A.$66°$
B.$68°$
C.$80°$
D.$100°$
答案
7. C
解析
【分析】
解决本题的步骤如下：第一步，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；第二步，根据尺规作图痕迹判断出所作的是∠BAC的角平分线和BC的垂直平分线，分别得到角的等量关系和等腰三角形；第三步，在△ADC中求出∠ADC的度数，再利用邻补角的性质即可算出∠α的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 33° - 79° = 68°$
由尺规作图痕迹可知：
1. AD是∠BAC的角平分线，因此$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 68° = 34°$；
2. 所作直线是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得$BD=CD$，因此$∠ DCB = ∠ B = 33°$。
所以$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCB = 79° - 33° = 46°$。
在△ADC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ADC = 180° - ∠ CAD - ∠ ACD = 180° - 34° - 46° = 100°$
因为∠α与∠ADC互为邻补角，所以：
$∠ α = 180° - ∠ ADC = 180° - 100° = 80°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；尺规作图识别；等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查了三角形相关性质和尺规作图的识别，解题关键是正确判断作图痕迹对应的几何性质，再结合角度的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.6
解决本题的步骤如下：第一步，先利用三角形内角和定理求出△ABC中∠BAC的度数；第二步，根据尺规作图痕迹判断出所作的是∠BAC的角平分线和BC的垂直平分线，分别得到角的等量关系和等腰三角形；第三步，在△ADC中求出∠ADC的度数，再利用邻补角的性质即可算出∠α的度数。
【解析】
在△ABC中，根据三角形内角和为180°，得：
$∠ BAC = 180° - ∠ B - ∠ ACB = 180° - 33° - 79° = 68°$
由尺规作图痕迹可知：
1. AD是∠BAC的角平分线，因此$∠ CAD = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2} × 68° = 34°$；
2. 所作直线是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质得$BD=CD$，因此$∠ DCB = ∠ B = 33°$。
所以$∠ ACD = ∠ ACB - ∠ DCB = 79° - 33° = 46°$。
在△ADC中，根据三角形内角和定理：
$∠ ADC = 180° - ∠ CAD - ∠ ACD = 180° - 34° - 46° = 100°$
因为∠α与∠ADC互为邻补角，所以：
$∠ α = 180° - ∠ ADC = 180° - 100° = 80°$
【答案】
C
【知识点】
三角形内角和定理；尺规作图识别；等腰三角形性质
【点评】
本题综合考查了三角形相关性质和尺规作图的识别，解题关键是正确判断作图痕迹对应的几何性质，再结合角度的和差关系计算即可。
【难度系数】
0.6
8. 如图是某温室大棚需搭建的三角形侧边支架ABC,已知水平底边AB的长为10米,$∠ A$与$∠ ACB$的度数均为$15°$. 为了增强支架稳定性,在C处立了一根与水平方向垂直的立柱CD,则CD的长为（
A.5米
B.$5\sqrt{2}$米
C.$5\sqrt{3}$米
D.10米
A
）A.5米
B.$5\sqrt{2}$米
C.$5\sqrt{3}$米
D.10米
答案
8. A
解析
【分析】
解题思路如下：首先观察△ABC的角的特征，利用等角对等边的性质求出边BC的长度；再根据三角形外角的性质求出∠CBD的度数；最后在直角三角形CDB中，利用30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠A = ∠ACB = 15°，
∴BC = AB = 10米（等角对等边）。
∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD = ∠A + ∠ACB = 15° + 15° = 30°。
∵CD与水平方向垂直，即CD⊥AB，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB = 90°。
在Rt△CDB中，∠CBD = 30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×10 = 5米。
【答案】
A
【知识点】
等角对等边；三角形外角性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，将等腰三角形、三角形外角、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过角度关系推导得到边长关系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
解题思路如下：首先观察△ABC的角的特征，利用等角对等边的性质求出边BC的长度；再根据三角形外角的性质求出∠CBD的度数；最后在直角三角形CDB中，利用30°角所对的直角边等于斜边一半的性质，即可求出CD的长度。
【解析】
解：在△ABC中，
∵∠A = ∠ACB = 15°，
∴BC = AB = 10米（等角对等边）。
∵∠CBD是△ABC的外角，
∴∠CBD = ∠A + ∠ACB = 15° + 15° = 30°。
∵CD与水平方向垂直，即CD⊥AB，
∴△CDB是直角三角形，∠CDB = 90°。
在Rt△CDB中，∠CBD = 30°，
∴CD = $\frac{1}{2}$BC = $\frac{1}{2}$×10 = 5米。
【答案】
A
【知识点】
等角对等边；三角形外角性质；直角三角形30°角的性质
【点评】
本题属于基础几何应用题，将等腰三角形、三角形外角、直角三角形的性质结合考查，解题的关键是通过角度关系推导得到边长关系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.8
9. 如图,在折纸活动中,将一组对边互相平行的纸带进行了两次折叠,折痕分别为AB,CD.若AB//CE,∠CAB=36°,则∠CDB的度数为 (
A.14°
B.16°
C.18°
D.20°
第7小题图
第8小题图
第9小题图
第10小题图
C
)A.14°
B.16°
C.18°
D.20°
第7小题图
第8小题图
第9小题图
第10小题图
答案
9. C
解析
【分析】
求解本题可按以下思路推导：首先回忆折叠的性质：折痕是折叠后对应角的角平分线，折叠前后重叠的角大小相等；再结合已知的AB//CE的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质求出∠ACE的度数；之后根据折痕CD的角平分线属性求出∠DCE的度数；最后结合纸带对边平行的性质，再次利用内错角相等的关系即可求出∠CDB的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可得，折痕CD是折叠形成的夹角的角平分线，即$2∠ DCE=∠ ACE$。
∵ $AB// CE$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ ACE=∠ CAB=36°$。
∴ $∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}×36°=18°$。
又
∵ 纸带的两组对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ CDB=∠ DCE=18°$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查折叠性质与平行线性质的结合应用，解题的关键是准确识别折痕的角平分线属性，以及平行线对应的角度关系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.6
求解本题可按以下思路推导：首先回忆折叠的性质：折痕是折叠后对应角的角平分线，折叠前后重叠的角大小相等；再结合已知的AB//CE的条件，利用平行线“两直线平行，内错角相等”的性质求出∠ACE的度数；之后根据折痕CD的角平分线属性求出∠DCE的度数；最后结合纸带对边平行的性质，再次利用内错角相等的关系即可求出∠CDB的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可得，折痕CD是折叠形成的夹角的角平分线，即$2∠ DCE=∠ ACE$。
∵ $AB// CE$，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ ACE=∠ CAB=36°$。
∴ $∠ DCE=\frac{1}{2}∠ ACE=\frac{1}{2}×36°=18°$。
又
∵ 纸带的两组对边互相平行，根据两直线平行，内错角相等，可得$∠ CDB=∠ DCE=18°$。
【答案】
C
【知识点】
折叠的性质；平行线的性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，重点考查折叠性质与平行线性质的结合应用，解题的关键是准确识别折痕的角平分线属性，以及平行线对应的角度关系，熟练掌握相关性质即可快速解题。
【难度系数】
0.6
10. 如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,点$E,F$分别在$BA,BC$的延长线上,$∠ EAC,∠ ABC,∠ ACF$的平分线相交于点$D$.现有以下结论:①$AD// BC$;②$AD=AC$;③$∠ ADC=∠ ACB$;④$∠ ADB$与$∠ ADC$互余.其中正确结论的个数为（
A.4
B.3
C.2
D.1
B
）A.4
B.3
C.2
D.1
答案
10. B
解析
【分析】
首先利用等腰三角形AB=AC的性质得到两底角相等，再结合角平分线的定义、平行线的判定定理分析结论①；接着利用平行线的性质和角平分线定义推出等角对等边，判断结论②；通过设参数表示角度，计算∠ADC和∠ACB的度数关系判断结论③；最后计算∠ADB与∠ADC的和，判断是否互余确定结论④的正误，最终统计正确结论的个数。
【解析】
设∠ABC=∠ACB=α，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=α。
1. 验证①：∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB=2α，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=α，
∴∠EAD=∠ABC，同位角相等，故AD//BC，①正确。
2. 验证②：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}α$，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
又
∵AB=AC，
∴AD=AC，②正确。
3. 验证③：∠ACF=180°-∠ACB=180°-α，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$，
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCF=$90°-\frac{1}{2}α$，
仅当$α=60°$时$90°-\frac{1}{2}α=α$，该结论不是恒成立，③错误。
4. 验证④：由前面推导得∠ADB=$\frac{1}{2}α$，∠ADC=$90°-\frac{1}{2}α$，
∴∠ADB+∠ADC=$\frac{1}{2}α+90°-\frac{1}{2}α=90°$，即∠ADB与∠ADC互余，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，通过设参数表示角度的方法可以更清晰地推导角度关系，解题时要注意区分结论是普遍成立还是仅特殊情况成立，不要以偏概全。
【难度系数】
0.6
首先利用等腰三角形AB=AC的性质得到两底角相等，再结合角平分线的定义、平行线的判定定理分析结论①；接着利用平行线的性质和角平分线定义推出等角对等边，判断结论②；通过设参数表示角度，计算∠ADC和∠ACB的度数关系判断结论③；最后计算∠ADB与∠ADC的和，判断是否互余确定结论④的正误，最终统计正确结论的个数。
【解析】
设∠ABC=∠ACB=α，
∵AB=AC，
∴△ABC是等腰三角形，∠ABC=∠ACB=α。
1. 验证①：∠EAC是△ABC的外角，
∴∠EAC=∠ABC+∠ACB=2α，
∵AD平分∠EAC，
∴∠EAD=∠DAC=α，
∴∠EAD=∠ABC，同位角相等，故AD//BC，①正确。
2. 验证②：
∵AD//BC，
∴∠ADB=∠DBC，
∵BD平分∠ABC，
∴∠ABD=∠DBC=$\frac{1}{2}α$，
∴∠ABD=∠ADB，
∴AB=AD，
又
∵AB=AC，
∴AD=AC，②正确。
3. 验证③：∠ACF=180°-∠ACB=180°-α，
∵CD平分∠ACF，
∴∠DCF=$\frac{1}{2}(180°-α)=90°-\frac{1}{2}α$，
∵AD//BC，
∴∠ADC=∠DCF=$90°-\frac{1}{2}α$，
仅当$α=60°$时$90°-\frac{1}{2}α=α$，该结论不是恒成立，③错误。
4. 验证④：由前面推导得∠ADB=$\frac{1}{2}α$，∠ADC=$90°-\frac{1}{2}α$，
∴∠ADB+∠ADC=$\frac{1}{2}α+90°-\frac{1}{2}α=90°$，即∠ADB与∠ADC互余，④正确。
综上，正确的结论有①②④，共3个。
【答案】
B
【知识点】
等腰三角形的性质，角平分线的定义，平行线的判定与性质
【点评】
本题是三角形性质的综合应用题，通过设参数表示角度的方法可以更清晰地推导角度关系，解题时要注意区分结论是普遍成立还是仅特殊情况成立，不要以偏概全。
【难度系数】
0.6
二、填空题(共5小题,每小题3分,共15分)
11.一个等边三角形的对称轴有
11.一个等边三角形的对称轴有
3
条.答案
11. 3
解析
【分析】
首先回忆对称轴的定义：沿某条直线将图形对折，直线两侧的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。再结合等边三角形的性质思考：等边三角形三条边长度相等，三个内角大小相等，且每条边上的中线、高和对应角的角平分线互相重合（三线合一），我们只需判断有几条符合要求的直线即可。
【解析】
根据对称轴的定义，等边三角形是轴对称图形，它的对称轴分别是三条边上的高（或三条边的中线、三个内角的角平分线）所在的直线，因此共有3条对称轴。
【答案】
3
【知识点】
1. 等边三角形的性质 2. 对称轴的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握轴对称图形的相关概念和等边三角形的性质，就能快速作答。
【难度系数】
0.9
首先回忆对称轴的定义：沿某条直线将图形对折，直线两侧的部分能够完全重合，这条直线就是该图形的对称轴。再结合等边三角形的性质思考：等边三角形三条边长度相等，三个内角大小相等，且每条边上的中线、高和对应角的角平分线互相重合（三线合一），我们只需判断有几条符合要求的直线即可。
【解析】
根据对称轴的定义，等边三角形是轴对称图形，它的对称轴分别是三条边上的高（或三条边的中线、三个内角的角平分线）所在的直线，因此共有3条对称轴。
【答案】
3
【知识点】
1. 等边三角形的性质 2. 对称轴的定义
【点评】
本题是基础概念考查题，只要熟练掌握轴对称图形的相关概念和等边三角形的性质，就能快速作答。
【难度系数】
0.9
12. 如图，已知$OA=3$，$P$是射线$ON$上一动点，$∠ AON=60°$，当$OP=$
3
时，$△ AOP$为等边三角形。答案
12. 3
解析
【分析】
要使△AOP为等边三角形，首先观察已知条件：∠AOP=∠AON=60°，根据等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，只需让夹60°角的两条边OA和OP相等，即可满足△AOP是等边三角形，结合已知OA的长度就能求出OP的长度。
【解析】
解：
∵∠AON=60°，即△AOP中∠AOP=60°
若△AOP为等边三角形，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，需满足OA=OP
又
∵OA=3
∴OP=OA=3
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查等边三角形的判定规则的应用，解题时结合已知的60°角，匹配对应的判定条件即可快速求解，是等边三角形相关考点的典型基础题。
【难度系数】
0.9
要使△AOP为等边三角形，首先观察已知条件：∠AOP=∠AON=60°，根据等边三角形的判定定理“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”，只需让夹60°角的两条边OA和OP相等，即可满足△AOP是等边三角形，结合已知OA的长度就能求出OP的长度。
【解析】
解：
∵∠AON=60°，即△AOP中∠AOP=60°
若△AOP为等边三角形，根据“有一个角为60°的等腰三角形是等边三角形”，需满足OA=OP
又
∵OA=3
∴OP=OA=3
【答案】
3
【知识点】
等边三角形的判定；等边三角形的性质
【点评】
本题是基础题型，核心考查等边三角形的判定规则的应用，解题时结合已知的60°角，匹配对应的判定条件即可快速求解，是等边三角形相关考点的典型基础题。
【难度系数】
0.9
13. 如图，△ABC的两边AC和BC的垂直平分线分别交AB于D，E两点，若AB边的长为10 cm，则△CDE的周长为
10
cm. 答案
13. 10
解析
【分析】
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，AC的垂直平分线交AB于D，因此可得AD=CD；BC的垂直平分线交AB于E，可得BE=CE。接下来分析△CDE的周长组成：CD+DE+CE，将其中的CD替换为AD、CE替换为BE，即可将周长转化为AD+DE+BE，也就是线段AB的长度，结合AB的已知长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵DM是AC的垂直平分线，点D在DM上
∴AD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵EN是BC的垂直平分线，点E在EN上
∴BE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△CDE的周长 = CD + DE + CE
将CD=AD、CE=BE代入得：
周长 = AD + DE + BE = AB
∵AB = 10cm
∴△CDE的周长为10cm
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量转换，将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，就能快速求出结果，解题时要注意观察图形中线段的和差关系。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆线段垂直平分线的性质：线段垂直平分线上的点到线段两个端点的距离相等。观察图形可知，AC的垂直平分线交AB于D，因此可得AD=CD；BC的垂直平分线交AB于E，可得BE=CE。接下来分析△CDE的周长组成：CD+DE+CE，将其中的CD替换为AD、CE替换为BE，即可将周长转化为AD+DE+BE，也就是线段AB的长度，结合AB的已知长度即可求出结果。
【解析】
解：
∵DM是AC的垂直平分线，点D在DM上
∴AD = CD（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
∵EN是BC的垂直平分线，点E在EN上
∴BE = CE（线段垂直平分线上的点到线段两端点的距离相等）
△CDE的周长 = CD + DE + CE
将CD=AD、CE=BE代入得：
周长 = AD + DE + BE = AB
∵AB = 10cm
∴△CDE的周长为10cm
【答案】
10
【知识点】
线段垂直平分线的性质；三角形周长计算；等量代换
【点评】
本题是基础几何应用题，核心是利用线段垂直平分线的性质做线段的等量转换，将未知三角形的周长转化为已知长度的线段，就能快速求出结果，解题时要注意观察图形中线段的和差关系。
【难度系数】
0.8
