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14. 如图，Rt△ABC中，∠C=90°，沿过点B的一条直线BE折叠△ABC，使点C恰好落在AB边的中点D处，则∠A=
第14小题图
第15小题图
第16小题图
30°
。第14小题图
第15小题图
第16小题图
答案
14. 30°
解析
【分析】
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此可得BC=BD，∠BDE=∠C=90°；再结合D是AB中点的条件，可知ED是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BE=AE，推出∠A=∠EBA；再结合折叠可得∠EBA=∠EBC，即∠ABC=2∠A，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可知，△BCE≌△BDE，
∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，即ED⊥AB。
∵D是AB的中点，
∴BD=AD=½AB，且ED是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠A=∠EBA。
又由折叠得∠EBA=∠EBC，
∴∠ABC=∠EBA+∠EBC=2∠A。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
将∠ABC=2∠A代入得：∠A+2∠A=90°，
解得∠A=30°。
【答案】
30°
【知识点】
折叠的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类几何题，解题核心是通过折叠性质、垂直平分线性质推导角的等量关系，再结合直角三角形的角度特征求解，是折叠类几何问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆折叠的性质：折叠前后对应边相等、对应角相等，由此可得BC=BD，∠BDE=∠C=90°；再结合D是AB中点的条件，可知ED是AB的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得BE=AE，推出∠A=∠EBA；再结合折叠可得∠EBA=∠EBC，即∠ABC=2∠A，最后利用直角三角形两锐角互余的性质即可求出∠A的度数。
【解析】
解：由折叠的性质可知，△BCE≌△BDE，
∴BC=BD，∠BDE=∠C=90°，即ED⊥AB。
∵D是AB的中点，
∴BD=AD=½AB，且ED是AB的垂直平分线，
∴BE=AE，
∴∠A=∠EBA。
又由折叠得∠EBA=∠EBC，
∴∠ABC=∠EBA+∠EBC=2∠A。
在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴∠A+∠ABC=90°，
将∠ABC=2∠A代入得：∠A+2∠A=90°，
解得∠A=30°。
【答案】
30°
【知识点】
折叠的性质；线段垂直平分线的性质；直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于基础类几何题，解题核心是通过折叠性质、垂直平分线性质推导角的等量关系，再结合直角三角形的角度特征求解，是折叠类几何问题的典型考法。
【难度系数】
0.7
15.如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$AD$，$CE$是$△ ABC$的两条中线，$AD=5$，$CE=6$，$P$是$AD$上的一个动点，则$BP+EP$的最小值是
6
。答案
15. 6
解析
【分析】
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：首先根据等腰三角形的性质，AD是等腰△ABC底边BC的中线，可得AD垂直平分BC，因此点B和点C关于直线AD对称，AD上任意一点P到B的距离等于到C的距离，即BP=CP；再将所求BP+EP转化为CP+EP，根据两点之间线段最短，当C、P、E三点共线时，CP+EP的和最小，最小值就是CE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点B与点C关于直线AD对称，
∴对AD上的任意动点P，均有BP=CP，
∴BP+EP=CP+EP。
根据两点之间线段最短，当C、P、E三点共线时，CP+EP取得最小值，最小值为CE的长度。
已知CE=6，因此BP+EP的最小值是6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题
【点评】
本题核心是利用轴对称性质将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合等腰三角形的性质即可快速得出结果，是轴对称应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
本题属于轴对称最短路径（将军饮马）问题，解题思路如下：首先根据等腰三角形的性质，AD是等腰△ABC底边BC的中线，可得AD垂直平分BC，因此点B和点C关于直线AD对称，AD上任意一点P到B的距离等于到C的距离，即BP=CP；再将所求BP+EP转化为CP+EP，根据两点之间线段最短，当C、P、E三点共线时，CP+EP的和最小，最小值就是CE的长度。
【解析】
解：
∵AB=AC，AD是△ABC的中线，
∴AD垂直平分BC（等腰三角形三线合一），
∴点B与点C关于直线AD对称，
∴对AD上的任意动点P，均有BP=CP，
∴BP+EP=CP+EP。
根据两点之间线段最短，当C、P、E三点共线时，CP+EP取得最小值，最小值为CE的长度。
已知CE=6，因此BP+EP的最小值是6。
【答案】
6
【知识点】
等腰三角形的性质，垂直平分线的性质，最短路径问题
【点评】
本题核心是利用轴对称性质将折线段的和转化为两点之间的线段长度，结合等腰三角形的性质即可快速得出结果，是轴对称应用的典型题型。
【难度系数】
0.7
三、解答题(共9小题,共75分)
16.(6分)如图,若$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称,$AA'$交$MN$于点$P$.
(1)点$B'$的对称点是点________,点$C'$的对称点是点________;
(2)若$∠ B=45°$,则$∠ B'=\_\_\_\_\_\_$;
(3)写出两组相等的线段.
16.(6分)如图,若$△ ABC$与$△ A'B'C'$关于直线$MN$对称,$AA'$交$MN$于点$P$.
(1)点$B'$的对称点是点________,点$C'$的对称点是点________;
(2)若$∠ B=45°$,则$∠ B'=\_\_\_\_\_\_$;
(3)写出两组相等的线段.
答案
16. 解:(1)
∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,
∴点B'的对称点是点B,点C'的对称点是点C.
(2)
∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,∠B=45°,则∠B'=45°.
(3)
∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,
∴AB=A'B',
AC=A'C'.(答案不唯一)
∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,
∴点B'的对称点是点B,点C'的对称点是点C.
(2)
∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,∠B=45°,则∠B'=45°.
(3)
∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称,
∴AB=A'B',
AC=A'C'.(答案不唯一)
解析
【分析】
本题考查轴对称的相关性质，解题思路如下：首先回忆轴对称的基本性质：两个图形关于某条直线对称时，对应点互为对称点，对应角相等，对应线段相等。（1）问直接根据对称点的对应关系查找即可；（2）问利用对称图形对应角相等的性质求解；（3）问根据对称图形对应线段相等的性质写出任意两组即可。
【解析】
(1)
∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，两个成轴对称的图形的对应点互为对称点，
∴点B'的对称点是点B，点C'的对称点是点C。
(2)
∵成轴对称的两个图形对应角相等，已知∠B=45°，
∴∠B'=∠B=45°。
(3)
∵成轴对称的两个图形对应线段相等，
∴可写出相等线段：AB=A'B'，AC=A'C'（答案不唯一，BC=B'C'、AP=A'P等均符合要求）。
【答案】
(1) B，C；
(2) 45°；
(3) AB=A'B'，AC=A'C'（答案不唯一）
【知识点】
轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查轴对称基本性质的应用，熟练掌握轴对称的对应点、对应角、对应线段的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
本题考查轴对称的相关性质，解题思路如下：首先回忆轴对称的基本性质：两个图形关于某条直线对称时，对应点互为对称点，对应角相等，对应线段相等。（1）问直接根据对称点的对应关系查找即可；（2）问利用对称图形对应角相等的性质求解；（3）问根据对称图形对应线段相等的性质写出任意两组即可。
【解析】
(1)
∵△ABC与△A'B'C'关于直线MN对称，两个成轴对称的图形的对应点互为对称点，
∴点B'的对称点是点B，点C'的对称点是点C。
(2)
∵成轴对称的两个图形对应角相等，已知∠B=45°，
∴∠B'=∠B=45°。
(3)
∵成轴对称的两个图形对应线段相等，
∴可写出相等线段：AB=A'B'，AC=A'C'（答案不唯一，BC=B'C'、AP=A'P等均符合要求）。
【答案】
(1) B，C；
(2) 45°；
(3) AB=A'B'，AC=A'C'（答案不唯一）
【知识点】
轴对称的性质
【点评】
本题属于基础题，主要考查轴对称基本性质的应用，熟练掌握轴对称的对应点、对应角、对应线段的关系即可快速解题。
【难度系数】
0.9
17.(6分)如图是由16个小正方形组成的正方形网格图，现已将其中的两个涂黑. 请你用四种不同的方法分别在下图中再涂黑三个空白的小正方形，使它成为轴对称图形.
答案
17. 解：
（答案不唯一，合理即可）
解析
【分析】
要解决这个问题，首先回忆轴对称图形的核心特征：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。解题可按以下思路进行：第一步先确定一条可能的对称轴，可选择网格的竖直中线、水平中线、两条对角线等；第二步对照已有的两个涂黑小正方形，根据轴对称的性质，找到需要补充涂黑的格子，保证所有涂黑的格子沿选定的对称轴折叠后都能重合，且总共补充涂黑3个即可；更换不同的对称轴，就能得到不同的画法。
【解析】
首先明确轴对称图形的定义：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。
我们可分别选择不同的对称轴进行作图：
1. 选择竖直方向过网格中心的直线为对称轴，根据已有涂黑格的位置，补充涂黑3个和其对称的位置，得到第一个轴对称图形；
2. 选择水平方向过网格中心的直线为对称轴，同理补充涂黑3个符合对称要求的格子，得到第二个轴对称图形；
3. 选择从网格左上角到右下角的对角线为对称轴，按轴对称要求补充涂黑3个格子，得到第三个轴对称图形；
4. 选择从网格右上角到左下角的对角线为对称轴，按轴对称要求补充涂黑3个格子，得到第四个轴对称图形。
画法不唯一，只要满足轴对称要求即可。
【答案】
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
轴对称图形的定义；轴对称的性质；网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称图形特征的理解与实际作图能力，解题时只要先确定对称轴，再依据对称性补全图形即可，答案灵活多样，能很好地锻炼学生的发散思维。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，首先回忆轴对称图形的核心特征：沿某条直线折叠后，直线两侧的部分能够完全重合。解题可按以下思路进行：第一步先确定一条可能的对称轴，可选择网格的竖直中线、水平中线、两条对角线等；第二步对照已有的两个涂黑小正方形，根据轴对称的性质，找到需要补充涂黑的格子，保证所有涂黑的格子沿选定的对称轴折叠后都能重合，且总共补充涂黑3个即可；更换不同的对称轴，就能得到不同的画法。
【解析】
首先明确轴对称图形的定义：平面内，沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形为轴对称图形。
我们可分别选择不同的对称轴进行作图：
1. 选择竖直方向过网格中心的直线为对称轴，根据已有涂黑格的位置，补充涂黑3个和其对称的位置，得到第一个轴对称图形；
2. 选择水平方向过网格中心的直线为对称轴，同理补充涂黑3个符合对称要求的格子，得到第二个轴对称图形；
3. 选择从网格左上角到右下角的对角线为对称轴，按轴对称要求补充涂黑3个格子，得到第三个轴对称图形；
4. 选择从网格右上角到左下角的对角线为对称轴，按轴对称要求补充涂黑3个格子，得到第四个轴对称图形。
画法不唯一，只要满足轴对称要求即可。
【答案】
（答案不唯一，合理即可）
【知识点】
轴对称图形的定义；轴对称的性质；网格作图
【点评】
本题属于开放性作图题，重点考查对轴对称图形特征的理解与实际作图能力，解题时只要先确定对称轴，再依据对称性补全图形即可，答案灵活多样，能很好地锻炼学生的发散思维。
【难度系数】
0.7
18. (6分)如图,在$△ ABC$中,$AB=AC$,$AD\bot BC$于点$D$. (1)若$∠ C=42°$,求$∠ BAD$的度数；(2)若点$E$在边$AB$上,$EF// AC$交$AD$的延长线于点$F$.求证:$AE=FE$. 
答案
18. (1)解:
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,
又
∵∠C=42°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°;
(2)证明:
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,
∵EF//AC,
∴∠F=∠CAD,
∴∠BAD=∠F,
∴AE=FE.
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,∠ADC=90°,
又
∵∠C=42°,
∴∠BAD=∠CAD=90°-42°=48°;
(2)证明:
∵AB=AC,AD⊥BC于点D,
∴∠BAD=∠CAD,
∵EF//AC,
∴∠F=∠CAD,
∴∠BAD=∠F,
∴AE=FE.
解析
【分析】
(1) 首先观察题目条件，△ABC是AB=AC的等腰三角形，且AD⊥BC，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD是∠BAC的角平分线，同时AD是BC边上的高，即∠ADC=90°；接下来在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠C=42°求出∠CAD的度数，最后根据角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，即可求出∠BAD的度数。
(2) 要证明AE=FE，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明这两条边对应的底角∠EAF=∠F即可。首先依然利用等腰三角形三线合一得到∠BAD=∠CAD，再结合EF//AC的条件，由平行线的内错角相等可得∠F=∠CAD，通过等量代换即可得到∠BAD=∠F，进而推出AE=FE。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
∵∠C=42°，
∴∠BAD=∠CAD=90°-∠C=90°-42°=48°。
(2) 证明：
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF//AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE。
【答案】
(1) ∠BAD的度数为48°；(2) 证明成立，AE=FE。
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心考查等腰三角形三线合一性质的运用，解题的关键是通过该性质建立角的等量关系，再结合平行线的性质完成角的代换，整体逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
(1) 首先观察题目条件，△ABC是AB=AC的等腰三角形，且AD⊥BC，可联想到等腰三角形“三线合一”的性质，得到AD是∠BAC的角平分线，同时AD是BC边上的高，即∠ADC=90°；接下来在Rt△ADC中，利用直角三角形两锐角互余，结合已知∠C=42°求出∠CAD的度数，最后根据角平分线的性质得到∠BAD=∠CAD，即可求出∠BAD的度数。
(2) 要证明AE=FE，根据等腰三角形“等角对等边”的判定，只需证明这两条边对应的底角∠EAF=∠F即可。首先依然利用等腰三角形三线合一得到∠BAD=∠CAD，再结合EF//AC的条件，由平行线的内错角相等可得∠F=∠CAD，通过等量代换即可得到∠BAD=∠F，进而推出AE=FE。
【解析】
(1) 解：
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，∠ADC=90°，
∵∠C=42°，
∴∠BAD=∠CAD=90°-∠C=90°-42°=48°。
(2) 证明：
∵AB=AC，AD⊥BC于点D，
∴∠BAD=∠CAD，
∵EF//AC，
∴∠F=∠CAD，
∴∠BAD=∠F，
∴AE=FE。
【答案】
(1) ∠BAD的度数为48°；(2) 证明成立，AE=FE。
【知识点】
等腰三角形的性质；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题属于几何基础应用题，核心考查等腰三角形三线合一性质的运用，解题的关键是通过该性质建立角的等量关系，再结合平行线的性质完成角的代换，整体逻辑清晰，运算量小。
【难度系数】
0.8
19.(8分)如图,在$Rt△ ABC$中,$AB=AC$,P为斜边BC上一点($PB＜CP$),分别过点B,C作$BE⊥ AP$于点E,$CD⊥ AP$于点D.求证:$AD=BE$. 
答案
19. 证明:
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠CAD=90°,
∵CD⊥AD,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BAE=∠ACD,
又BA=AC,∠AEB=∠CDA=90°,
∴△ACD≌△BAE(AAS),
∴AD=BE.
∵∠BAC=90°,
∴∠BAE+∠CAD=90°,
∵CD⊥AD,
∴∠CAD+∠ACD=90°,
∴∠BAE=∠ACD,
又BA=AC,∠AEB=∠CDA=90°,
∴△ACD≌△BAE(AAS),
∴AD=BE.
解析
【分析】
要证明AD=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察图形，AD在Rt△CDA中，BE在Rt△AEB中，已知AB=AC，两个三角形都是直角三角形，接下来只需证明一组锐角相等即可。结合∠BAC=90°、CD⊥AP的条件，利用同角的余角相等可推出∠BAE=∠ACD，满足AAS全等的条件，证明三角形全等后即可得到对应边AD=BE。
【解析】
证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°，
∵CD⊥AD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAE=∠ACD，
又
∵BA=AC，∠AEB=∠CDA=90°，
∴△ACD≌△BAE（AAS），
∴AD=BE。
【答案】
AD=BE
【知识点】
同角的余角相等；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题关键是结合直角条件推导相等的角，进而利用全等三角形的判定定理证明三角形全等，再由全等性质得到对应边相等，是几何中证明线段相等的典型方法。
【难度系数】
0.8
要证明AD=BE，可通过证明两条线段所在的三角形全等来推导。首先观察图形，AD在Rt△CDA中，BE在Rt△AEB中，已知AB=AC，两个三角形都是直角三角形，接下来只需证明一组锐角相等即可。结合∠BAC=90°、CD⊥AP的条件，利用同角的余角相等可推出∠BAE=∠ACD，满足AAS全等的条件，证明三角形全等后即可得到对应边AD=BE。
【解析】
证明：
∵∠BAC=90°，
∴∠BAE+∠CAD=90°，
∵CD⊥AD，
∴∠CAD+∠ACD=90°，
∴∠BAE=∠ACD，
又
∵BA=AC，∠AEB=∠CDA=90°，
∴△ACD≌△BAE（AAS），
∴AD=BE。
【答案】
AD=BE
【知识点】
同角的余角相等；AAS判定全等；全等三角形的性质
【点评】
本题属于全等三角形证明的基础题型，解题关键是结合直角条件推导相等的角，进而利用全等三角形的判定定理证明三角形全等，再由全等性质得到对应边相等，是几何中证明线段相等的典型方法。
【难度系数】
0.8
