20.(8分)在等边三角形ABC中，点P在△ABC内，点Q在△ABC外，且∠ABP=∠ACQ，BP=CQ.
(1)求证:△ABP≌△ACQ；
(2)请判断△APQ是什么形状的三角形，试证明你的结论.

20. (1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,在△ABP和△ACQ中,
{ AB = AC , ∠ABP = ∠ACQ , BP = CQ ,
∴△ABP≌△ACQ(SAS).
(2)△APQ是等边三角形.
证明:
∵△ABP≌△ACQ,
∴∠BAP=∠CAQ,AP=AQ,
∵∠BAP+∠CAP=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=60°,
∴△APQ是等边三角形.

【分析】
(1)要证明△ABP≌△ACQ，首先结合等边三角形的性质可得AB=AC，再对照题目给出的∠ABP=∠ACQ、BP=CQ的条件，刚好满足SAS全等判定的要求，即可完成证明。
(2)判断△APQ的形状时，先由第一问的全等结论可推出AP=AQ，即△APQ为等腰三角形，再利用等边三角形∠BAC=60°的性质，结合全等三角形对应角相等做角的等量代换，可证得∠PAQ=60°，根据“有一个角是60°的等腰三角形是等边三角形”即可得出结论。
【解析】
(1)证明:
∵△ABC为等边三角形,
∴AB=AC,
在△ABP和△ACQ中,
$\{\begin{array}{l}AB = AC \\∠ABP = ∠ACQ \\BP = CQ\end{array} $
∴△ABP≌△ACQ(SAS).
(2)△APQ是等边三角形，证明如下:
∵△ABP≌△ACQ,
∴∠BAP=∠CAQ,AP=AQ,
∵△ABC是等边三角形，
∴∠BAC=∠BAP+∠CAP=60°,
∴∠PAQ=∠CAQ+∠CAP=∠BAP+∠CAP=60°,
∴△APQ是等边三角形.
【答案】
(1)△ABP≌△ACQ，证明成立；
(2)△APQ是等边三角形。
【知识点】
1. 全等三角形的判定与性质
2. 等边三角形的判定与性质
【点评】
本题是全等三角形和等边三角形的综合基础题，核心考察SAS全等判定定理、等边三角形的性质和判定方法，解题时要注意角的等量代换的运用，属于几何部分的常考基础题型。
【难度系数】
0.8

21.(8分)在$△ ABC$中，$AB=AC$，$∠ BAC=120°$，$AD⊥ BC$，垂足为$G$，且$AD=AB$，$∠ EDF=60°$，其两边分别交$AB$，$AC$于点$E$，$F$。
(1)求证:$△ ABD$是等边三角形；
(2)求证:$BE=AF$。

21. 证明:(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC= 1/2 ∠BAC,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC= 1/2 ×120°=60°,
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形;
(2)
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD,
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE与△ADF中,
{ ∠DBE = ∠DAF = 60°, BD = AD , ∠BDE = ∠ADF ,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF.

【分析】
(1) 要证△ABD是等边三角形，已知AD=AB，只需证明该等腰三角形有一个内角为60°即可。由AB=AC、AD⊥BC，结合等腰三角形三线合一的性质，可得AD平分∠BAC，结合∠BAC=120°可求出∠BAD=60°，满足等边三角形的判定条件。
(2) 要证BE=AF，可通过证明两条线段所在的三角形全等实现。由(1)的结论可得BD=AD、∠DBE=∠DAF=60°，再结合∠EDF=∠ADB=60°，通过角度相减可推出∠BDE=∠ADF，即可用ASA判定△BDE≌△ADF，进而得到对应边相等。
【解析】
(1) 证明：
∵AB=AC，AD⊥BC，
∴∠BAD=∠DAC=$\frac{1}{2}$∠BAC，
∵∠BAC=120°，
∴∠BAD=$\frac{1}{2}$×120°=60°，
又
∵AD=AB，
∴△ABD是等边三角形。
(2) 证明：
∵△ABD是等边三角形，
∴∠ABD=∠ADB=60°，BD=AD，
∵∠EDF=60°，
∴∠ADB-∠ADE=∠EDF-∠ADE，即∠BDE=∠ADF，
在△BDE与△ADF中：
$\{\begin{array}{l}∠DBE = ∠DAF = 60° \\BD = AD \\∠BDE = ∠ADF\end{array} $
∴△BDE≌△ADF(ASA)，
∴BE=AF。
【答案】
(1) 证明成立，△ABD是等边三角形；
(2) 证明成立，BE=AF。
附完整证明过程：
(1)
∵AB=AC,AD⊥BC,
∴∠BAD=∠DAC= 1/2 ∠BAC,
∵∠BAC=120°,
∴∠BAD=∠DAC= 1/2 ×120°=60°,
∵AD=AB,
∴△ABD是等边三角形;
(2)
∵△ABD是等边三角形,
∴∠ABD=∠ADB=60°,BD=AD,
∵∠EDF=60°,
∴∠BDE=∠ADF,
在△BDE与△ADF中,
$\{\begin{array}{l}∠DBE = ∠DAF = 60° \\BD = AD \\∠BDE = ∠ADF\end{array} $,
∴△BDE≌△ADF(ASA),
∴BE=AF。
【知识点】
等腰三角形的性质，等边三角形的判定，全等三角形的判定与性质
【点评】
本题属于基础几何综合题，核心是利用特殊三角形的性质推导角和边的等量关系，再通过全等证明线段相等，解题时要注意等腰三角形三线合一的应用，以及角度等量代换的推导，书写证明过程要逻辑清晰、步骤完整。
【难度系数】
0.7

22.(10分)如图,已知在△ABC中,∠ABC=3∠C,∠1=∠2,BE⊥AE.求证:AC−AB=2BE.

22. 证明:延长 BE 交 AC 于点 M,
∵BE⊥AE,
∴∠AEB=∠AEM=90°.
在△ABE 中,
∵∠1+∠3+∠AEB=180°,
∴∠3=90°-∠1,同理,∠4=90°-∠2,
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∴AB=AM.
∵BE⊥AE,
∴BM=2BE,
∴AC-AB=AC-AM=CM,
∵∠4 是△BCM 的外角,
∴∠4=∠5+∠C,
∵∠ABC=3∠C,
又
∵∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5,
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C,
∴∠5=∠C,
∴CM=BM,
∴AC-AB=BM=2BE.

【分析】
要证明AC-AB=2BE，可结合已知条件推导：首先已知∠1=∠2即AE是角平分线，且BE⊥AE，根据“角平分线+垂线”的常用辅助线思路，延长BE交AC于点M，可构造出等腰△ABM，得到AB=AM、BM=2BE，此时AC-AB可转化为AC-AM=CM，接下来只需证明CM=BM即可；再结合已知∠ABC=3∠C，利用三角形外角性质和角的等量代换推导∠5=∠C，即可得到CM=BM，完成证明。
【解析】
证明：延长BE交AC于点M，
∵BE⊥AE，
∴∠AEB=∠AEM=90°。
在△ABE中，
∵∠1+∠3+∠AEB=180°，
∴∠3=90°-∠1，同理，∠4=90°-∠2，
∵∠1=∠2，
∴∠3=∠4，
∴AB=AM。
∵BE⊥AE，
∴BM=2BE，
∴AC-AB=AC-AM=CM，
∵∠4是△BCM的外角，
∴∠4=∠5+∠C，
∵∠ABC=3∠C，
又
∵∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5，
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C，
∴∠5=∠C，
∴CM=BM，
∴AC-AB=BM=2BE。
【答案】
证明:延长 BE 交 AC 于点 M,
∵BE⊥AE,
∴∠AEB=∠AEM=90°.
在△ABE 中,
∵∠1+∠3+∠AEB=180°,
∴∠3=90°-∠1,同理,∠4=90°-∠2,
∵∠1=∠2,
∴∠3=∠4,
∴AB=AM.
∵BE⊥AE,
∴BM=2BE,
∴AC-AB=AC-AM=CM,
∵∠4 是△BCM 的外角,
∴∠4=∠5+∠C,
∵∠ABC=3∠C,
又
∵∠ABC=∠3+∠5=∠4+∠5,
∴3∠C=∠4+∠5=2∠5+∠C,
∴∠5=∠C,
∴CM=BM,
∴AC-AB=BM=2BE.
【知识点】
等腰三角形的判定与性质；三角形外角的性质；三角形内角和定理
【点评】
本题是线段关系证明的典型题型，解题核心是通过构造辅助线得到等腰三角形，将待证的线段差、倍分关系转化为易证的相等线段关系，结合角的数量关系推导即可，考查了学生辅助线构造能力和几何性质的综合运用能力。
【难度系数】
0.6

23.(11分)如图,直线m是△ABC中BC的垂直平分线,点P是直线m上一动点,AB=6,AC=4,BC=7.
(1)求PA+PB的最小值,并说明理由；
(2)求△APC周长的最小值.

23. 解:(1)PA+PB的最小值为6,理由如下:
∵两点之间,线段最短,
∴PA+PB=AB=6;
(2)
∵m是BC的垂直平分线,点P在m上,
∴点C关于直线m的对称点是点B,
则PB=PC,
∵C△APC =AP+PC+AC,
又
∵AC=4,
要使△APC周长最小,
即AP+PC最小,
当点P是m与AB的交点时,PA+PB最小,即AP+PC最小,
∴PA+PB=AB,此时C△APC =AB+AC=6+4=10.

【分析】
(1) 求PA+PB的最小值时，可依据两点之间线段最短的原理思考：当动点P落在AB线段上时，PA+PB的长度就等于AB的长度，此时取得最小值，且直线m与AB存在交点，因此可直接得到最小值。
(2) 求△APC周长的最小值时，先写出周长表达式：$C_{△ APC}=AP+PC+AC$，已知AC为定值4，因此只需让AP+PC取得最小值即可；结合直线m是BC的垂直平分线，根据垂直平分线的性质可得PC=PB，因此将AP+PC转化为AP+PB，就可以沿用(1)的结论计算最小值。
【解析】
(1) PA+PB的最小值为6，理由如下：
根据两点之间线段最短，当点P是直线m与AB的交点时，点P在线段AB上，此时$PA+PB=AB=6$，即PA+PB的最小值为6。
(2)
∵直线m是BC的垂直平分线，点P在直线m上，
∴根据线段垂直平分线的性质，点P到B、C的距离相等，即$PB=PC$。
△APC的周长为：$C_{△ APC}=AP+PC+AC$，
已知$AC=4$为定值，因此要使△APC周长最小，只需$AP+PC$最小即可。
将PC替换为PB，可得$AP+PC=AP+PB$，由(1)可知$AP+PB$的最小值为$AB=6$，
因此△APC周长的最小值为$6+4=10$。
【答案】
(1) PA+PB的最小值为$\boldsymbol{6}$；
(2) △APC周长的最小值为$\boldsymbol{10}$。
【知识点】
1. 线段垂直平分线的性质
2. 两点之间线段最短
3. 最短路径问题
【点评】
本题是典型的几何最值类基础题，解题核心是利用线段垂直平分线的性质完成线段的等量转化，将未知的最值问题转化为“两点之间线段最短”的基础模型，熟练掌握转化思想对解决这类问题帮助很大。
【难度系数】
0.7

24. (12分)已知$A(-10,0)$,以$OA$为边在第二象限作等边$△ AOB$.
(1)点$B$的横坐标是;
(2)如图,点$M,N$分别为$OB,OA$上的动点,以$MN$为边在$x$轴上方作等边$△ MNE$,连接$OE$,当$∠ EMO=45°$时,求$∠ MEO$的度数.

24. 解:(1)-5;
(2)如图,过点 M 作MF//AB 交OA 于点F,
∵MF//AB,
∴∠MFO=∠BAO=∠AOB=60°,
∴△MOF 为等边三角形,
∴∠FMO=60°,MF=MO,
∵△MNE 是等边三角形,
∴∠NME=60°,MN=ME,
∴∠FMN+∠NMO=∠NMO+∠OME=60°,
∴∠FMN=∠OME,
在△MFN 和△MOE 中,
{ MF=MO,
∠FMN=∠OME,
MN=ME,
∴△MFN≌△MOE(SAS),
∴∠MFN=∠MOE=60°,
∵∠EMO=45°,
∴∠MEO=180°-∠MOE-∠EMO
=180°-60°-45°
=75°.

【分析】
(1) 已知△AOB是等边三角形，OA在x轴上且A点坐标为(-10,0)，可得OA长度为10。根据等边三角形三线合一的性质，点B在OA的垂直平分线上，计算OA中点的横坐标即可得到B点的横坐标。
(2) 要求∠MEO的度数，已知∠EMO=45°，可先求出△MEO中第三个角∠MOE的度数，再利用三角形内角和计算。题中有两个等边三角形，存在等角、等边的条件，可通过构造全等三角形转化角度：过M作MF平行于AB交OA于F，先证明△MOF为等边三角形，得到等边、等角条件，再结合等边△MNE的性质推导角相等，证明△MFN与△MOE全等，即可得到∠MOE的度数，最后代入内角和公式计算即可。
【解析】
(1)
∵△AOB为等边三角形，A(-10,0)，OA在x轴上，
∴OA=10，点B在OA的垂直平分线上，
OA中点的横坐标为$\frac{-10+0}{2}=-5$，即点B的横坐标为-5。
(2) 如图，过点M作MF//AB 交OA 于点F,
∵MF//AB，
∴∠MFO=∠BAO=60°，
又
∵∠AOB=60°，
∴△MOF为等边三角形，
∴∠FMO=60°，MF=MO，
∵△MNE是等边三角形，
∴∠NME=60°，MN=ME，
∴∠FMN+∠NMO=∠NMO+∠OME=60°，
∴∠FMN=∠OME，
在△MFN和△MOE中，
$\{\begin{array}{l}MF=MO\\∠FMN=∠OME\\MN=ME\end{array} $
∴△MFN≌△MOE(SAS)，
∴∠MFN=∠MOE=60°，
在△MEO中，∠EMO=45°，
∴∠MEO=180°-∠MOE-∠EMO=180°-60°-45°=75°。
【答案】
(1) $\boldsymbol{-5}$；
(2) $\boldsymbol{75°}$
【知识点】
等边三角形的性质、全等三角形的判定与性质、三角形内角和定理
【点评】
本题是几何综合类题目，核心考察等边三角形性质和全等三角形的应用，通过作平行线构造等边三角形是解题的关键，能有效锻炼学生辅助线构造能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.6