11. (2023,陕西)某校想将新建图书楼的正门设计为一个抛物线形拱门,并要求所设计的拱门的跨度与拱高之积为48$m^2$,还要兼顾美观、大方、和谐、通畅等要素,设计部门按要求给出了两个设计方案。现把这两个方案中的拱门图形放入平面直角坐标系中,如图。
方案一,抛物线形拱门的跨度$ON = 12m$,拱高$PE = 4m$。其中,点$N在x$轴上,$PE \perp ON$,$OE = EN$。
方案二,抛物线形拱门的跨度$ON' = 8m$,拱高$P'E' = 6m$。其中,点$N'在x$轴上,$P'E' \perp ON'$,$OE' = E'N'$。
要在拱门中设置高为3m的矩形框架,其面积越大越好(框架的粗细忽略不计)。
方案一中,矩形框架$ABCD的面积记为S_1$,点$A$,$D$在抛物线上,边$BC在ON$上；方案二中,矩形框架$A'B'C'D'的面积记为S_2$,点$A'$,$D'$在抛物线上,边$B'C'在ON'$上。现知,小华已正确求出方案二中,当$A'B' = 3m$时,$S_2 = 12\sqrt{2}m^2$。请你根据以上提供的相关信息,解答下列问题：


(1)求方案一中抛物线的函数解析式。
(2)在方案一中,当$AB = 3m$时,求矩形框架$ABCD的面积S_1$,并比较$S_1$,$S_2$的大小。

【解析】：
（1）根据题意，方案一中抛物线的顶点为$P(6,4)$，
因此设抛物线的解析式为：$y = a(x-6)^{2} + 4$，
因为点$N(12,0)$在抛物线上，
将$N(12,0)$代入解析式得：$0 = a(12-6)^{2} + 4$，
即：$0 = 36a + 4$，
解得：$a = -\frac{1}{9}$，
所以，抛物线的解析式为：$y = -\frac{1}{9}(x-6)^{2} + 4$，
进一步化简得：$y = -\frac{1}{9}x^{2} + \frac{4}{3}x$。
（2）设$A$点的坐标为$(x, 3)$，
因为$AB = 3$，且$AB$垂直于$x$轴，
所以将$y=3$代入抛物线的解析式得：$3 = -\frac{1}{9}(x-6)^{2} + 4$，
解此方程得：$x_{1} = 3$，$x_{2} = 9$，
所以，$A$点的坐标为$(3, 3)$，$D$点的坐标为$(9, 3)$，
因此，$BC = 9 - 3 = 6$，
矩形框架$ABCD$的面积$S_{1} = AB × BC = 3 × 6 = 18$（$m^{2}$），
比较$S_{1}$和$S_{2}$，得$S_{1} = 18 ＞ S_{2} = 12\sqrt{2}$，
所以$S_{1} ＞ S_{2}$。
【答案】：
(1)$y = -\frac{1}{9}x^{2} + \frac{4}{3}x$；
(2)$S_{1} = 18m^{2}$，$S_{1} ＞ S_{2}$。

12. (2022,河南)小红看到一处喷水池景观,喷出的水柱呈抛物线形状,她对此展开研究：测得喷水头$P与地面的距离OP$为0.7m,水柱在距喷水头$P$水平距离5m处达到最高,最高点与地面的距离为3.2m。建立如图所示的平面直角坐标系,并设抛物线为$y = a(x - h)^2 + k$,其中$x$(单位：m)是水柱距喷水头的水平距离,$y$(单位：m)是水柱距地面的高度。

(1)求此抛物线。
(2)爸爸站在水柱正下方,且距喷水头$P$水平距离3m,身高1.6m的小红在水柱下方走动,当她的头顶恰好接触到水柱时,求她与爸爸的水平距离。

【解析】：
本题主要考查二次函数在实际问题中的应用，需要根据已知条件求出抛物线的表达式，再通过抛物线表达式求解相关问题。
（1）求抛物线的表达式
已知抛物线的顶点式为$y = a(x - h)^2 + k$，其中$(h,k)$为顶点坐标。
由题意可知，水柱在距喷水头$P$水平距离$5m$处达到最高，最高点与地面的距离为$3.2m$，喷水头$P$与地面的距离$OP$为$0.7m$，所以抛物线的顶点坐标为$(5,3.2)$，则$h = 5$，$k = 3.2$，那么抛物线表达式可写为$y = a(x - 5)^2 + 3.2$。
又因为抛物线过点$P(0,0.7)$，将$x = 0$，$y = 0.7$代入$y = a(x - 5)^2 + 3.2$中，可得：
$0.7 = a(0 - 5)^2 + 3.2$
$0.7 = 25a + 3.2$
$25a = 0.7 - 3.2$
$25a = -2.5$
解得$a = -0.1$。
所以，抛物线的表达式为$y = -0.1(x - 5)^2 + 3.2$，展开可得$y = -0.1x^2 + x + 0.7$。
（2）求小红与爸爸的水平距离
已知爸爸站在水柱正下方，且距喷水头$P$水平距离$3m$，小红身高$1.6m$，当她的头顶恰好接触到水柱时，即$y = 1.6$，代入抛物线表达式$y = -0.1x^2 + x + 0.7$中，可得：
$1.6 = -0.1x^2 + x + 0.7$
移项化为一元二次方程的一般形式：$0.1x^2 - x + 0.9 = 0$，两边同时乘以$10$得到$x^2 - 10x + 9 = 0$。
因式分解为$(x - 1)(x - 9) = 0$，则$x - 1 = 0$或$x - 9 = 0$，解得$x_1 = 1$，$x_2 = 9$。
因为爸爸距喷水头$P$水平距离$3m$，所以小红与爸爸的水平距离为$3 - 1 = 2m$或$9 - 3 = 6m$。
【答案】：
(1)$y = -0.1x^2 + x + 0.7$；
(2)$2m$或$6m$。