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7. (2023,上海)一个二次函数$y = ax^2 + bx + c的顶点在y$轴的正半轴上,且其对称轴左侧的部分是上升的,那么这个二次函数的解析式可以是
$y=-x^2+1$（答案不唯一）
。答案
【解析】：
根据题目描述，我们知道这个二次函数的顶点在$y$轴的正半轴上，这意味着顶点的$x$坐标为0，$y$坐标大于0。
又因为对称轴左侧的部分是上升的，根据二次函数的性质，我们知道当$a＜0$时，函数开口向下，对称轴左侧函数是上升的。
所以，我们可以确定$a$的符号为负。
由于顶点在$y$轴上，所以对称轴为$x=0$，这意味着$b=0$（因为对称轴的方程是$x=-\frac{b}{2a}$，当$x=0$时，$b=0$）。
又因为顶点在$y$轴的正半轴上，所以$c$必须大于0（因为顶点的$y$坐标是$c-\frac{b^2}{4a}$，当$b=0$，$a＜0$时，$y$坐标就是$c$，且$c＞0$）。
综合以上分析，我们可以得出这个二次函数的解析式应该满足$a＜0$，$b=0$，$c＞0$。
因此一个可能的解析式是$y=-x^2+1$（答案不唯一，只要满足$a＜0$，$b=0$，$c＞0$即可）。
【答案】：
$y=-x^2+1$（答案不唯一）
根据题目描述，我们知道这个二次函数的顶点在$y$轴的正半轴上，这意味着顶点的$x$坐标为0，$y$坐标大于0。
又因为对称轴左侧的部分是上升的，根据二次函数的性质，我们知道当$a＜0$时，函数开口向下，对称轴左侧函数是上升的。
所以，我们可以确定$a$的符号为负。
由于顶点在$y$轴上，所以对称轴为$x=0$，这意味着$b=0$（因为对称轴的方程是$x=-\frac{b}{2a}$，当$x=0$时，$b=0$）。
又因为顶点在$y$轴的正半轴上，所以$c$必须大于0（因为顶点的$y$坐标是$c-\frac{b^2}{4a}$，当$b=0$，$a＜0$时，$y$坐标就是$c$，且$c＞0$）。
综合以上分析，我们可以得出这个二次函数的解析式应该满足$a＜0$，$b=0$，$c＞0$。
因此一个可能的解析式是$y=-x^2+1$（答案不唯一，只要满足$a＜0$，$b=0$，$c＞0$即可）。
【答案】：
$y=-x^2+1$（答案不唯一）
8. (2023,湖南娄底)如图,抛物线$y = ax^2 + bx + c与x轴相交于点A(1, 0)和点B(3, 0)$,与$y轴相交于点C$,点$D$在抛物线上,当$CD // x$轴时,$CD = $
4
。答案
【解析】：本题考查抛物线的对称性。
由抛物线与x轴的交点坐标A(1,0)、B(3,0)可知，
抛物线的对称轴为：$x=\frac{1+3}{2}=2$。
因为$CD// x$轴，
所以点C和点D关于对称轴对称。
点C为抛物线与y轴的交点，即$x=0$，
所以点D的横坐标为$x=2×2-0=4$，
即$CD=4-0=4$。
【答案】：4。
由抛物线与x轴的交点坐标A(1,0)、B(3,0)可知，
抛物线的对称轴为：$x=\frac{1+3}{2}=2$。
因为$CD// x$轴，
所以点C和点D关于对称轴对称。
点C为抛物线与y轴的交点，即$x=0$，
所以点D的横坐标为$x=2×2-0=4$，
即$CD=4-0=4$。
【答案】：4。
9. (2023,浙江宁波)如图,已知二次函数$y = x^2 + bx + c的图象经过点A(1, -2)和点B(0, -5)$。
(1)求该二次函数的解析式及图象的顶点。
(2)当$y \leq -2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围。
(1)求该二次函数的解析式及图象的顶点。
(2)当$y \leq -2$时,请根据图象直接写出$x$的取值范围。
答案
【解析】：
(1) 本题考查二次函数解析式的求解和顶点的确定。
首先，将点$A(1, -2)$和点$B(0, -5)$代入二次函数$y = x^2 + bx + c$，得到两个方程：
$\begin{cases}1 + b + c = -2, \\c = -5.\end{cases}$
解这个方程组，得到$b = 2$，$c = -5$。
所以，该二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x - 5$。
二次函数的顶点横坐标可以通过公式$-\frac{b}{2a}$求得，此处$a = 1$，所以顶点横坐标为$-1$。
将$x = -1$代入解析式，得到顶点纵坐标为$-6$。
所以，顶点坐标为$(-1, -6)$。
(2)本题考查根据二次函数的图像解决取值范围问题。
当$y = -2$时，代入解析式$x^2 + 2x - 5 = -2$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
进一步因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，
解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
结合二次函数的图像，当$y \leq -2$时，$x$的取值范围为$[-3, 1]$。
【答案】：
(1) 该二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x - 5$；顶点坐标为$(-1, -6)$。
(2) $x$的取值范围为$[-3, 1]$。
(1) 本题考查二次函数解析式的求解和顶点的确定。
首先，将点$A(1, -2)$和点$B(0, -5)$代入二次函数$y = x^2 + bx + c$，得到两个方程：
$\begin{cases}1 + b + c = -2, \\c = -5.\end{cases}$
解这个方程组，得到$b = 2$，$c = -5$。
所以，该二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x - 5$。
二次函数的顶点横坐标可以通过公式$-\frac{b}{2a}$求得，此处$a = 1$，所以顶点横坐标为$-1$。
将$x = -1$代入解析式，得到顶点纵坐标为$-6$。
所以，顶点坐标为$(-1, -6)$。
(2)本题考查根据二次函数的图像解决取值范围问题。
当$y = -2$时，代入解析式$x^2 + 2x - 5 = -2$，
整理得$x^2 + 2x - 3 = 0$，
进一步因式分解得$(x + 3)(x - 1) = 0$，
解得$x_1 = -3$，$x_2 = 1$。
结合二次函数的图像，当$y \leq -2$时，$x$的取值范围为$[-3, 1]$。
【答案】：
(1) 该二次函数的解析式为$y = x^2 + 2x - 5$；顶点坐标为$(-1, -6)$。
(2) $x$的取值范围为$[-3, 1]$。
10. (2023,辽宁)商店出售某品牌护眼灯,每台进价为40元,在销售过程中发现,月销量$y$(单位：台)与销售单价$x$(单位：元/台)之间满足一次函数关系,规定销售单价不低于进价,且不高于进价的2倍,其部分对应数据如下表所示。
(1)求$y与x$之间的函数解析式。
(2)当护眼灯的销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
(1)求$y与x$之间的函数解析式。
(2)当护眼灯的销售单价定为多少元时,商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大？最大月利润为多少元？
答案
【解析】：
（1）首先，我们设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$。
根据题目给出的数据，可以选择两组数据代入解析式，即$(50, 90)$和$(60, 80)$，得到以下方程组：
$\begin{cases}50k + b = 90, \\60k + b = 80.\end{cases}$
解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 140.\end{cases}$
所以，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = -x + 140$。
另外，由题目条件“销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍”可知，$x$的取值范围为$40 \leq x \leq 80$。
综上，$y$与$x$之间的函数解析式为：$y = -x + 140(40 \leq x \leq 80)$。
（2）然后，我们来求每月出售这种护眼灯所获的最大利润。
设每月的利润为$w$元，根据利润的计算公式，我们有：
$w = (x - 40) × y = (x - 40) × (-x + 140) = -x^2 + 180x - 5600= -(x - 90)^2 + 2500$。
由于$a = -1 ＜ 0$，所以这是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在对称轴上，即$x = 90$。
然而，由于$x$的取值范围为$40 \leq x \leq 80$，所以最大值出现在区间的右端点$x = 80$处。
将$x = 80$代入利润公式，我们得到最大利润为：
$w_{max} = -(80 - 90)^2 + 2500 = 2400$。
综上，当护眼灯的销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元。
【答案】：
(1) $y = -x + 140(40 \leq x \leq 80)$；
(2) 当护眼灯的销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元。
（1）首先，我们设$y$与$x$之间的函数解析式为$y = kx + b$。
根据题目给出的数据，可以选择两组数据代入解析式，即$(50, 90)$和$(60, 80)$，得到以下方程组：
$\begin{cases}50k + b = 90, \\60k + b = 80.\end{cases}$
解这个方程组，我们得到：
$\begin{cases}k = -1, \\b = 140.\end{cases}$
所以，$y$与$x$之间的函数解析式为$y = -x + 140$。
另外，由题目条件“销售单价不低于进价，且不高于进价的2倍”可知，$x$的取值范围为$40 \leq x \leq 80$。
综上，$y$与$x$之间的函数解析式为：$y = -x + 140(40 \leq x \leq 80)$。
（2）然后，我们来求每月出售这种护眼灯所获的最大利润。
设每月的利润为$w$元，根据利润的计算公式，我们有：
$w = (x - 40) × y = (x - 40) × (-x + 140) = -x^2 + 180x - 5600= -(x - 90)^2 + 2500$。
由于$a = -1 ＜ 0$，所以这是一个开口向下的抛物线，其最大值出现在对称轴上，即$x = 90$。
然而，由于$x$的取值范围为$40 \leq x \leq 80$，所以最大值出现在区间的右端点$x = 80$处。
将$x = 80$代入利润公式，我们得到最大利润为：
$w_{max} = -(80 - 90)^2 + 2500 = 2400$。
综上，当护眼灯的销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元。
【答案】：
(1) $y = -x + 140(40 \leq x \leq 80)$；
(2) 当护眼灯的销售单价定为80元时，商店每月出售这种护眼灯所获的利润最大，最大月利润为2400元。
