3. “赵爽弦图”巧妙利用面积关系证明了勾股定理.如图,“赵爽弦图”是由四个全等直角三角形和中间的小正方形拼成的一个大正方形.设直角三角形的两条直角边长分别为 $ m $,$ n(m ＞ n) $.若小正方形面积为 5,$ (m + n)^{2} = 21 $,则大正方形面积为______.

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4. 如图,阴影部分是由 4 个三边分别为 $ a $,$ b $,$ c $($ c $ 为斜边)的直角三角形拼出中间的小正方形.利用等面积法,通过两种方法计算小正方形的面积可以验证勾股定理.小正方形的面积除可以表示为 $ (a - b)^{2} $外,还可以表示为______.

$c^2 - 2ab$

5. 如图,在$ \triangle ABC $ 中,$ CD \perp AB $,垂足为 $ D $,$ AC = 20 $,$ BC = 15 $,$ DB = 9 $.
(1)求 $ CD $ 的长；
(2)求 $ AB $ 的长.

解：​(1)​在​Rt∆CDB​中，$​CD^2 + DB^2 = BC^2，$​​DB=9，​​BC=15​
∴$​CD^2=15^2 - 9^2=225 - 81=144​$
∴​CD=12​
​(2)​在​Rt∆CDA​中，$​AD^2 + CD^2 = AC^2，$​​AC=20，​​CD=12​
则$​AD^2=20^2 - 12^2=400 - 144=256​$
∴​AD=16，​∴​AB=AD + DB=16 + 9=25​

6. 如图,在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle B = 90^{\circ} $,$ AB = 6 $,$ BC = 8 $,将$ \triangle ABC $ 折叠,使点 $ B $ 恰好落在斜边 $ AC $ 上,与点 $ B' $ 重合,$ AE $ 为折痕,求 $ AC $ 和 $ EB' $ 的长.

解：$​AC=\sqrt {AB^2 + BC^2}=\sqrt {6^2 + 8^2}=10​$
设​EB=EB'=x，​​EC=8 - x​
由折叠知​∠AB'E=∠B=90°，​​AB'=AC - B'C=10 - B'C​
在​Rt∆AB'E​中，$​(10 - B'C)^2 + x^2=6^2 + x^2​$
得​10 - B'C=6，​​B'C=4​
在​Rt∆EB'C​中，$​x^2 + 4^2=(8 - x)^2，$​解得​x=3​
∴​EB'=3​

7. 如图,$ \angle ACB = \angle ADB = 90^{\circ} $,$ M $,$ N $ 分别是 $ AB $,$ CD $ 的中点.
(1)求证：$ \angle MCN = \angle MDN $.
(2)若 $ AB = 50 $,$ CD = 48 $,求 $ MN $ 的长.

​(1)​证明：∵​∠ACB = ∠ADB = 90°，​​M ​是​ AB ​的中点
∴​Rt∆ABC ​中，$​CM = \frac 12\ \mathrm {A}B，$​​Rt∆ABD ​中，$​DM = \frac 12\ \mathrm {A}B​$
∴​MC = MD​
又∵​N ​是​ CD ​的中点，∴​MN⊥CD​
​(2)​解：∵​AB = 50，​∴$​MD = \frac 12×50 = 25​$
∵​CD = 48，​∴$​ND = \frac 12×48 = 24​$
又∵​MN⊥CD​
∴$​MN = \sqrt {MD^2-ND^2} = \sqrt {25^2-24^2} = 7​$