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例 1 判断下列由线段 $a$,$b$,$c$ 为三边组成的三角形是否为直角三角形.
(1) $a = 7$,$b = 24$,$c = 25$； (2) $a = 2.5$,$b = 2$,$c = 1.5$；
(3) $a= \frac{5}{4}$,$b = 1$,$c= \frac{5}{3}$； (4) $a= \sqrt{3}$,$b= \sqrt{2}$,$c= \sqrt{5}$.
(1) $a = 7$,$b = 24$,$c = 25$； (2) $a = 2.5$,$b = 2$,$c = 1.5$；
(3) $a= \frac{5}{4}$,$b = 1$,$c= \frac{5}{3}$； (4) $a= \sqrt{3}$,$b= \sqrt{2}$,$c= \sqrt{5}$.
答案
解：(1)∵a=7，b=24，c=25，且c 为最长边
$a^2+b^2=7^2+24^2=49 + 576=625，$$c^2=25^2=625$
∴$a^2+b^2=c^2，$该三角形是直角三角形。
(2)∵a=2.5，b=2，c=1.5，且a为最长边
$b^2+c^2=2^2+1.5^2=4 + 2.25=6.25，$$a^2=2.5^2=6.25$
∴$b^2+c^2=a^2，$该三角形是直角三角形
(3)∵$a=\frac 54，$b=1，$c=\frac 53，$且c 为最长边
$a^2+b^2=(\frac 54)^2+1^2=\frac {25}{16}+1=\frac {41}{16}，$$c^2=(\frac 53)^2=\frac {25}9，$$\frac {41}{16}\neq \frac {25}9$
∴该三角形不是直角三角形
(4)∵$a=\sqrt 3，$$b=\sqrt {^2}，$$c=\sqrt 5，$且c 为最长边
$a^2+b^2=(\sqrt 3)^2+(\sqrt {^2})^2=3 + 2=5，$$c^2=(\sqrt 5)^2=5$
∴$a^2+b^2=c^2，$该三角形是直角三角形
$a^2+b^2=7^2+24^2=49 + 576=625，$$c^2=25^2=625$
∴$a^2+b^2=c^2，$该三角形是直角三角形。
(2)∵a=2.5，b=2，c=1.5，且a为最长边
$b^2+c^2=2^2+1.5^2=4 + 2.25=6.25，$$a^2=2.5^2=6.25$
∴$b^2+c^2=a^2，$该三角形是直角三角形
(3)∵$a=\frac 54，$b=1，$c=\frac 53，$且c 为最长边
$a^2+b^2=(\frac 54)^2+1^2=\frac {25}{16}+1=\frac {41}{16}，$$c^2=(\frac 53)^2=\frac {25}9，$$\frac {41}{16}\neq \frac {25}9$
∴该三角形不是直角三角形
(4)∵$a=\sqrt 3，$$b=\sqrt {^2}，$$c=\sqrt 5，$且c 为最长边
$a^2+b^2=(\sqrt 3)^2+(\sqrt {^2})^2=3 + 2=5，$$c^2=(\sqrt 5)^2=5$
∴$a^2+b^2=c^2，$该三角形是直角三角形
例 2 如图 3.2.1,在 $\triangle ABC$ 中,$AD\perp BC$,垂足为 $D$,$BD = 1$,$AD = 2\sqrt{2}$,$CD = 8$.
(1) 求证：$\angle BAC = 90^{\circ}$；
(2) 点 $P$ 为边 $BC$ 上一点,连接 $AP$,若 $\triangle ABP$ 为等腰三角形,求 $BP$ 的长.
(1) 求证：$\angle BAC = 90^{\circ}$；
(2) 点 $P$ 为边 $BC$ 上一点,连接 $AP$,若 $\triangle ABP$ 为等腰三角形,求 $BP$ 的长.
答案
(1)证明：因为$AD\perp BC，$所以$\triangle ABD$和$\triangle ACD$是直角三角形。在$Rt\triangle ABD$中，BD=1，$AD=2\sqrt{2}，$所以$AB^{2}=BD^{2}+AD^{2}=1^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=1 + 8=9，$则AB=3。在$Rt\triangle ACD$中，CD=8，$AD=2\sqrt{2}，$所以$AC^{2}=CD^{2}+AD^{2}=8^{2}+(2\sqrt{2})^{2}=64 + 8=72。$因为BC=BD + CD=1 + 8=9，所以$BC^{2}=81。$又因为$AB^{2}+AC^{2}=9 + 72=81=BC^{2}，$所以$\angle BAC=90^{\circ}。$
(2)解：因为$\triangle ABP$为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当AB=BP时，AB=3，所以BP=3；
②当AB=AP时，在$Rt\triangle APD$中，AP=AB=3，$AD=2\sqrt{2}，$所以$PD=\sqrt{AP^{2}-AD^{2}}=\sqrt{9 - 8}=1，$则BP=BD + PD=1 + 1=2；
③当AP=BP时，设BP=x，则PD=x - 1，在$Rt\triangle APD$中，$AP^{2}=AD^{2}+PD^{2}，$即$x^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+(x - 1)^{2}，$解得$x=\frac{9}{2}。$
综上，BP的长为2或3或$\frac{9}{2}。$
(2)解：因为$\triangle ABP$为等腰三角形，分三种情况讨论：
①当AB=BP时，AB=3，所以BP=3；
②当AB=AP时，在$Rt\triangle APD$中，AP=AB=3，$AD=2\sqrt{2}，$所以$PD=\sqrt{AP^{2}-AD^{2}}=\sqrt{9 - 8}=1，$则BP=BD + PD=1 + 1=2；
③当AP=BP时，设BP=x，则PD=x - 1，在$Rt\triangle APD$中，$AP^{2}=AD^{2}+PD^{2}，$即$x^{2}=(2\sqrt{2})^{2}+(x - 1)^{2}，$解得$x=\frac{9}{2}。$
综上，BP的长为2或3或$\frac{9}{2}。$
1. 在 $\triangle ABC$ 中,$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$ 的对边分别记为 $a$,$b$,$c$,由下列条件不能判定 $\triangle ABC$ 为直角三角形的是 ( )
A.$\angle A= \angle C+\angle B$
B.$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$ 的度数之比为 $3:4:5$
C.$a^{2}= (b + c)(b - c)$
D.$a:b:c = 5:12:13$
A.$\angle A= \angle C+\angle B$
B.$\angle A$,$\angle B$,$\angle C$ 的度数之比为 $3:4:5$
C.$a^{2}= (b + c)(b - c)$
D.$a:b:c = 5:12:13$
答案
B
2. 观察下列几组数：① $2$,$3$,$4$；② $12$,$15$,$20$；③ $8$,$15$,$17$；④ $7$,$24$,$25$. 其中能作为直角三角形的三边长的有 ( )
A.$1$ 组
B.$2$ 组
C.$3$ 组
D.$4$ 组
A.$1$ 组
B.$2$ 组
C.$3$ 组
D.$4$ 组
答案
B
