例 1 历史上对勾股定理的一种证法利用了如图 3.1.2 所示的图形；其中两个全等的直角三角形边 $ AE $,$ EB $ 在一条直线上.证明中用到的面积相等关系是( )


A.$ S_{\triangle EDA}= S_{\triangle CEB} $
B.$ S_{\triangle EDA}+S_{\triangle CEB}= S_{\triangle CDE} $
C.$ S_{四边形CDAE}= S_{四边形CDEB} $
D.$ S_{\triangle EDA}+S_{\triangle CDE}+S_{\triangle CEB}= S_{四边形ABCD} $

D

例 2 如图 3.1.3,在$ \triangle ABD $中,$ AC \perp BD $,垂足为 $ C $,点 $ E $ 为 $ AC $ 上一点,连接 $ BE $,$ DE $,$ DE $ 的延长线交 $ AB $ 于 $ F $,已知 $ DE = AB $,$ \angle CAD = 45^{\circ} $.
(1)求证：$ \triangle ABC \cong \triangle DEC $.
(2)求证：$ DF \perp AB $.
(3)利用图中阴影部分面积完成勾股定理的证明：如图,在$ \triangle ABC $ 中,$ \angle ACB = 90^{\circ} $,$ BC = a $,$ AC = b $,$ AB = c $,求证：$ a^{2}+b^{2}= c^{2} $.

​(1)​证明：∵​AC⊥BD，​且​∠CAD=45°​
∴​AC=CD​
在​Rt△ABC​和​Rt△DEC​中
$​\begin {cases}{AC=DC}\\{AB=DE}\end {cases}​$
∴$​Rt△ABC≌Rt△DEC(\mathrm {HL})​$
​(2)​∵​△ ABC≌△DEC，​∴​∠BAC=∠EDC​
∵​∠EDC+∠CED=90°，​​∠CED=∠AEF​
∴​∠AEF+∠BAC=90°，​∴​∠AFE=90°，​∴​DF⊥AB​
​(3)​∵$​S_{△BCE}+S_{△ACD}=S_{△ABD}-S_{△ABE}​$
∴$​\frac 12a^2+\frac 12b^2=\frac 12·c·DF-\frac 12·c·EF​$
$​=\frac 12·c·(DF-EF)=\frac 12·c·DE=\frac 12c^2​$
∴$​a^2+b^2=c^2​$

1. 在 $ Rt \triangle ABC $ 中,$ \angle C = 90^{\circ} $,周长为 60,斜边与一条直角边之比为 $ 13:5 $,则这个三角形的三边分别为( )

A.$ 10 $,$ 8 $,$ 6 $
B.$ 13 $,$ 12 $,$ 5 $
C.$ 5 $,$ 4 $,$ 3 $
D.$ 26 $,$ 24 $,$ 10 $

D

2. 若等腰三角形的腰长为 10,底边长为 16,则此三角形的面积是( )

A.$ 160 $
B.$ 80 $
C.$ 96 $
D.$ 48 $

D