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1. 已知$△ ABC$的一个外角为$50°$，则$△ ABC$一定是 （
A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形或锐角三角形
B
）A.锐角三角形
B.钝角三角形
C.直角三角形
D.钝角三角形或锐角三角形
答案
1. B
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形外角和相邻内角的关系：二者互为邻补角，和为180°。我们可以先根据已知的外角度数，求出与之相邻的内角度数，再结合三角形按角分类的标准，判断三角形的类型即可。
【解析】
∵ 三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，和为180°，
∴ 与50°外角相邻的内角度数为：$180° - 50° = 130°$，
∵ $130°$是钝角，且有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，
∴ $△ ABC$一定是钝角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角与相邻内角的关系；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形外角相关基础性质的掌握，以及对三角形分类标准的理解，只要熟练掌握相关概念就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.9
解题时首先回忆三角形外角和相邻内角的关系：二者互为邻补角，和为180°。我们可以先根据已知的外角度数，求出与之相邻的内角度数，再结合三角形按角分类的标准，判断三角形的类型即可。
【解析】
∵ 三角形的一个外角与它相邻的内角互为邻补角，和为180°，
∴ 与50°外角相邻的内角度数为：$180° - 50° = 130°$，
∵ $130°$是钝角，且有一个角是钝角的三角形是钝角三角形，
∴ $△ ABC$一定是钝角三角形。
故选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形外角与相邻内角的关系；三角形按角分类
【点评】
本题属于基础题，重点考查对三角形外角相关基础性质的掌握，以及对三角形分类标准的理解，只要熟练掌握相关概念就能快速得出正确结论。
【难度系数】
0.9
2. 如图，根据图中的数据，可得$∠ B$的度数为 （
A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
B
）A.$40°$
B.$50°$
C.$60°$
D.$70°$
答案
2. B
解析
【分析】
解题时首先观察图形，确定120°是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。已知外角的度数和其中一个不相邻内角∠A的度数，用外角度数减去∠A的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
由图可知，120°是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$120° = ∠ A + ∠ B$
已知$∠ A=70°$，代入得：
$∠ B = 120° - 70° = 50°$
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对三角形外角性质的理解和运用，解题时需注意区分外角对应的不相邻内角，避免混淆相邻内角导致计算错误。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形，确定120°是△ABC的外角，回忆三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角之和。已知外角的度数和其中一个不相邻内角∠A的度数，用外角度数减去∠A的度数即可求出∠B的度数。
【解析】
由图可知，120°是△ABC的外角，根据三角形外角的性质可得：
$120° = ∠ A + ∠ B$
已知$∠ A=70°$，代入得：
$∠ B = 120° - 70° = 50°$
【答案】
B
【知识点】
三角形外角的性质、角的和差计算
【点评】
本题是基础概念应用题，重点考查对三角形外角性质的理解和运用，解题时需注意区分外角对应的不相邻内角，避免混淆相邻内角导致计算错误。
【难度系数】
0.8
3. 如图，在$△ ABC$中，$CE$是外角$∠ ACD$的平分线. 若$∠ B = 28°$，$∠ ACE = 62°$，则$∠ BAC$的度数为 （
A.$90°$
B.$96°$
C.$106°$
D.$124°$
B
）A.$90°$
B.$96°$
C.$106°$
D.$124°$
答案
3. B
解析
【分析】
解题时首先结合角平分线的定义，先求出外角∠ACD的总度数；再根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，代入已知角度即可计算出∠BAC的度数。
【解析】
∵ CE是∠ACD的平分线，∠ACE=62°，
∴ ∠ACD=2∠ACE=2×62°=124°，
又
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD=∠B+∠BAC，
已知∠B=28°，代入得：
∠BAC=∠ACD - ∠B=124° - 28°=96°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的定义和三角形外角的性质，先求出外角的度数是解题的突破口。
【难度系数】
0.8
解题时首先结合角平分线的定义，先求出外角∠ACD的总度数；再根据三角形外角的性质：三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和，代入已知角度即可计算出∠BAC的度数。
【解析】
∵ CE是∠ACD的平分线，∠ACE=62°，
∴ ∠ACD=2∠ACE=2×62°=124°，
又
∵ ∠ACD是△ABC的外角，
∴ ∠ACD=∠B+∠BAC，
已知∠B=28°，代入得：
∠BAC=∠ACD - ∠B=124° - 28°=96°。
【答案】
B
【知识点】
角平分线的定义；三角形外角的性质
【点评】
本题属于基础题型，解题的核心是熟练掌握角平分线的定义和三角形外角的性质，先求出外角的度数是解题的突破口。
【难度系数】
0.8
4. 如图，AE与BD的交点为C，且∠CAB，∠CBA，∠D的大小保持不变. 若调整∠E的大小，使∠EFD=110°，则图中∠E应（
A.增加10°
B.减少10°
C.增加20°
D.减少20°
B
）A.增加10°
B.减少10°
C.增加20°
D.减少20°
答案
4. B
解析
【分析】
解题时首先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠ACB的度数，再根据对顶角相等得到∠DCE的度数；接着结合三角形外角的性质，找到∠EFD和∠E的等量关系，对比原来∠E为30°的情况和目标∠EFD=110°的要求，即可求出∠E的调整幅度。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ CBA = 180° - 50° - 60° = 70°$
2. $∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ DCE = ∠ ACB = 70°$
3. 根据三角形外角的性质可得：$∠ D + (180°-∠ DCE) = ∠ E + ∠ EFD$，当$∠ EFD=110°$时，代入已知角度：
$20° + (180° - 70°) = ∠ E + 110°$
计算得$130° = ∠ E + 110°$，解得$∠ E=20°$
4. 原来的$∠ E$为$30°$，因此$∠ E$需要减少$30° - 20° = 10°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型基础题，需要灵活运用三角形内角和、对顶角以及外角的相关性质，找到已知角和未知角的等量关系即可顺利求解，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
解题时首先利用三角形内角和定理计算出△ABC中∠ACB的度数，再根据对顶角相等得到∠DCE的度数；接着结合三角形外角的性质，找到∠EFD和∠E的等量关系，对比原来∠E为30°的情况和目标∠EFD=110°的要求，即可求出∠E的调整幅度。
【解析】
1. 在△ABC中，根据三角形内角和为180°，可得：
$∠ ACB = 180° - ∠ CAB - ∠ CBA = 180° - 50° - 60° = 70°$
2. $∠ ACB$与$∠ DCE$是对顶角，根据对顶角相等，得$∠ DCE = ∠ ACB = 70°$
3. 根据三角形外角的性质可得：$∠ D + (180°-∠ DCE) = ∠ E + ∠ EFD$，当$∠ EFD=110°$时，代入已知角度：
$20° + (180° - 70°) = ∠ E + 110°$
计算得$130° = ∠ E + 110°$，解得$∠ E=20°$
4. 原来的$∠ E$为$30°$，因此$∠ E$需要减少$30° - 20° = 10°$
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理；对顶角的性质；三角形外角的性质
【点评】
本题是三角形角度计算的典型基础题，需要灵活运用三角形内角和、对顶角以及外角的相关性质，找到已知角和未知角的等量关系即可顺利求解，侧重考查基础知识点的综合应用能力。
【难度系数】
0.7
5. 如图所示，$x°=$
60°
，$y°=$50°
。答案
5. 60° 50°
解析
【分析】
解题时首先观察点A处的两个角，y°和(y+80)°组成平角，根据邻补角之和为180°可先列方程求出y的值；再结合三角形内角和为180°，将△ABC的三个内角x°、(x+10)°、y°相加等于180°，代入已求出的y的值，即可计算得到x的值。
【解析】
1. 求y的值：
点A处y°与(y+80)°互为邻补角，两角之和为180°，列方程得：
$y + (y + 80) = 180$
合并同类项得：$2y + 80 = 180$
移项计算得：$2y = 100$，解得$y=50$。
2. 求x的值：
根据三角形内角和定理，△ABC的三个内角和为180°，列方程得：
$x + (x + 10) + y = 180$
将$y=50$代入得：$x + x + 10 + 50 = 180$
合并同类项得：$2x + 60 = 180$
移项计算得：$2x = 120$，解得$x=60$。
【答案】
$60°$；$50°$
【知识点】
1. 邻补角的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是先找到平角关系求出y，再利用三角形内角和公式求解x，掌握基本几何性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察点A处的两个角，y°和(y+80)°组成平角，根据邻补角之和为180°可先列方程求出y的值；再结合三角形内角和为180°，将△ABC的三个内角x°、(x+10)°、y°相加等于180°，代入已求出的y的值，即可计算得到x的值。
【解析】
1. 求y的值：
点A处y°与(y+80)°互为邻补角，两角之和为180°，列方程得：
$y + (y + 80) = 180$
合并同类项得：$2y + 80 = 180$
移项计算得：$2y = 100$，解得$y=50$。
2. 求x的值：
根据三角形内角和定理，△ABC的三个内角和为180°，列方程得：
$x + (x + 10) + y = 180$
将$y=50$代入得：$x + x + 10 + 50 = 180$
合并同类项得：$2x + 60 = 180$
移项计算得：$2x = 120$，解得$x=60$。
【答案】
$60°$；$50°$
【知识点】
1. 邻补角的性质
2. 三角形内角和定理
【点评】
本题是基础几何计算题，解题的关键是先找到平角关系求出y，再利用三角形内角和公式求解x，掌握基本几何性质就能顺利解答。
【难度系数】
0.8
6. 如图，已知四边形ABCD是长方形，F是DA延长线上一点，G是CF上一点，且∠ACG=∠AGC，∠GAF=∠F。探索∠ECB和∠ACB的数量关系，并证明你的结论。
答案
6. 解 $∠ACB=3∠ECB$. 证明如下：
因为四边形ABCD是长方形，
所以$AD// BC$. 所以$∠ECB=∠F$.
因为$∠GAF=∠F$,
所以$∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F$.
因为$∠ACG=∠AGC$,
所以$∠ACG=2∠F=2∠ECB$.
所以$∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB$.
因为四边形ABCD是长方形，
所以$AD// BC$. 所以$∠ECB=∠F$.
因为$∠GAF=∠F$,
所以$∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F$.
因为$∠ACG=∠AGC$,
所以$∠ACG=2∠F=2∠ECB$.
所以$∠ACB=∠ACG+∠ECB=3∠ECB$.
解析
【分析】
要探索∠ECB和∠ACB的数量关系，可按以下思路推导：首先利用长方形对边平行的性质，得到∠ECB与∠F相等，建立第一个角的等量关系；再结合已知∠GAF=∠F，利用三角形外角的性质，推出∠AGC=2∠F，也就是2∠ECB；接着根据∠ACG=∠AGC，得到∠ACG=2∠ECB；最后观察∠ACB由∠ACG和∠ECB两部分组成，通过等量代换即可得到两个角的数量关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠ACB=3∠ECB}$，证明如下：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ECB=∠F$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠GAF=∠F$，
又
∵ $∠AGC$是$△ AGF$的外角，
∴ $∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F=2∠ECB$。
∵ $∠ACG=∠AGC$，
∴ $∠ACG=2∠ECB$，
∴ $∠ACB=∠ACG+∠ECB=2∠ECB+∠ECB=3∠ECB$。
【答案】
$\boldsymbol{∠ACB=3∠ECB}$
【知识点】
长方形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心是通过已知的平行关系、角相等条件，结合三角形外角的性质实现角的等量代换，解题时要注意观察图形中角的组成关系，即可顺利推导出结论。
【难度系数】
0.8
要探索∠ECB和∠ACB的数量关系，可按以下思路推导：首先利用长方形对边平行的性质，得到∠ECB与∠F相等，建立第一个角的等量关系；再结合已知∠GAF=∠F，利用三角形外角的性质，推出∠AGC=2∠F，也就是2∠ECB；接着根据∠ACG=∠AGC，得到∠ACG=2∠ECB；最后观察∠ACB由∠ACG和∠ECB两部分组成，通过等量代换即可得到两个角的数量关系。
【解析】
解：$\boldsymbol{∠ACB=3∠ECB}$，证明如下：
∵ 四边形ABCD是长方形，
∴ $AD// BC$，
∴ $∠ECB=∠F$（两直线平行，内错角相等）。
∵ $∠GAF=∠F$，
又
∵ $∠AGC$是$△ AGF$的外角，
∴ $∠AGC=∠GAF+∠F=2∠F=2∠ECB$。
∵ $∠ACG=∠AGC$，
∴ $∠ACG=2∠ECB$，
∴ $∠ACB=∠ACG+∠ECB=2∠ECB+∠ECB=3∠ECB$。
【答案】
$\boldsymbol{∠ACB=3∠ECB}$
【知识点】
长方形的性质、平行线的性质、三角形外角的性质
【点评】
本题是基础类几何证明题，核心是通过已知的平行关系、角相等条件，结合三角形外角的性质实现角的等量代换，解题时要注意观察图形中角的组成关系，即可顺利推导出结论。
【难度系数】
0.8
