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1 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=3$，$BC=4$，那么$\cos A$的值是(
A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
B
)。A.$\dfrac{4}{5}$
B.$\dfrac{3}{5}$
C.$\dfrac{3}{4}$
D.$\dfrac{4}{3}$
答案
1.B
解析
【分析】
要计算$\cos A$的值，首先需要回忆锐角余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。我们已知直角三角形两条直角边的长度，所以第一步先通过勾股定理求出斜边$AB$的长度，第二步确定$∠ A$的邻边，再代入余弦定义计算即可，计算时注意不要混淆邻边和对边。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理可得斜边长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
根据余弦的定义，$\cos A$等于$∠ A$的邻边与斜边的比值，$∠ A$的邻边为$AC$，因此：
$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{5}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；余弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，主要考查对余弦概念的掌握和勾股定理的简单应用，解题的关键是准确区分锐角对应的邻边和对边，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
要计算$\cos A$的值，首先需要回忆锐角余弦的定义：直角三角形中一个锐角的余弦等于它的邻边与斜边的比值。我们已知直角三角形两条直角边的长度，所以第一步先通过勾股定理求出斜边$AB$的长度，第二步确定$∠ A$的邻边，再代入余弦定义计算即可，计算时注意不要混淆邻边和对边。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，
根据勾股定理可得斜边长度：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=\sqrt{25}=5$
根据余弦的定义，$\cos A$等于$∠ A$的邻边与斜边的比值，$∠ A$的邻边为$AC$，因此：
$\cos A=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{3}{5}$
故选B。
【答案】
B
【知识点】
勾股定理；余弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数的基础题，主要考查对余弦概念的掌握和勾股定理的简单应用，解题的关键是准确区分锐角对应的邻边和对边，避免概念混淆。
【难度系数】
0.8
2 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，若$∠ ACB=90°$，$\tan A=\dfrac{1}{2}$，则$\sin B=(\quad)$。
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
A.$\dfrac{1}{2}$
B.$\dfrac{\sqrt{3}}{2}$
C.$\dfrac{\sqrt{5}}{5}$
D.$\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
答案
2.D
解析
【分析】
本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据正切的定义，结合已知tanA的比值，通过设参数的方法表示出直角三角形的两条直角边的长度；再利用勾股定理求出斜边的长度；最后根据正弦的定义，找到∠B的对边和斜边，计算比值即可得到结果。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{2}$
∴ 可设$BC=k$（$k＞0$），则$AC=2k$
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{k^2+(2k)^2}=\sqrt{5}k$
根据正弦的定义，$\sin B=\dfrac{∠B的对边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2k}{\sqrt{5}k}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，利用设参数表示边长的方法处理三角函数比值问题是常用技巧，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
本题是直角三角形中锐角三角函数的计算问题，解题思路如下：首先根据正切的定义，结合已知tanA的比值，通过设参数的方法表示出直角三角形的两条直角边的长度；再利用勾股定理求出斜边的长度；最后根据正弦的定义，找到∠B的对边和斜边，计算比值即可得到结果。
【解析】
∵ 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$\tan A=\dfrac{BC}{AC}=\dfrac{1}{2}$
∴ 可设$BC=k$（$k＞0$），则$AC=2k$
由勾股定理得斜边$AB=\sqrt{BC^2+AC^2}=\sqrt{k^2+(2k)^2}=\sqrt{5}k$
根据正弦的定义，$\sin B=\dfrac{∠B的对边}{斜边}=\dfrac{AC}{AB}=\dfrac{2k}{\sqrt{5}k}=\dfrac{2\sqrt{5}}{5}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；正弦的定义；勾股定理
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础应用题，利用设参数表示边长的方法处理三角函数比值问题是常用技巧，熟练掌握锐角三角函数的定义和勾股定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
3 在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=1$，$AC=\sqrt{3}$，那么$∠ B$的度数是(
A.$15°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$60°$
D
)。A.$15°$
B.$45°$
C.$30°$
D.$60°$
答案
3.D
解析
【分析】
本题是直角三角形中已知两边求锐角的基础题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数中正切的定义，即锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；接着确定∠B的对边和邻边，代入数值计算出∠B的正切值；最后结合特殊角的三角函数值，匹配得到∠B的度数即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan B = \frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边} = \frac{AC}{BC}$
已知$BC=1$，$AC=\sqrt{3}$，代入得：
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
根据特殊角的三角函数值，$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$∠ B=60°$。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的应用和特殊角三角函数值的记忆，解题时只要准确区分所求角对应的对边和邻边，熟练掌握特殊角的三角函数值即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
本题是直角三角形中已知两边求锐角的基础题，解题思路如下：首先明确直角三角形中锐角三角函数中正切的定义，即锐角的正切值等于该角的对边与邻边的比值；接着确定∠B的对边和邻边，代入数值计算出∠B的正切值；最后结合特殊角的三角函数值，匹配得到∠B的度数即可。
【解析】
在$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，根据正切的定义：
$\tan B = \frac{∠ B的对边}{∠ B的邻边} = \frac{AC}{BC}$
已知$BC=1$，$AC=\sqrt{3}$，代入得：
$\tan B = \frac{\sqrt{3}}{1} = \sqrt{3}$
根据特殊角的三角函数值，$\tan60°=\sqrt{3}$，因此$∠ B=60°$。
【答案】
D
【知识点】
正切的定义；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于基础题，核心考查锐角三角函数的应用和特殊角三角函数值的记忆，解题时只要准确区分所求角对应的对边和邻边，熟练掌握特殊角的三角函数值即可快速得出答案。
【难度系数】
0.9
④ $3\tan60°$的值为(
A.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$3\sqrt{3}$
D
)。A.$\frac{\sqrt{3}}{6}$
B.$\sqrt{3}$
C.$\frac{3\sqrt{3}}{2}$
D.$3\sqrt{3}$
答案
4.D
解析
【分析】
本题考查特殊角三角函数值的相关运算，解题思路如下：首先要准确记忆60°这一特殊锐角的正切值，再将其代入原式做乘法计算，最后把计算结果和选项对照，即可选出正确答案。
【解析】
根据特殊锐角的三角函数值，可得$\tan60°=\sqrt{3}$，
将其代入原式计算：
$3\tan60°=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
对比选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的乘法运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆，是锐角三角函数部分的常考基础题型，只要熟练掌握常见特殊角的三角函数值就能快速得分。
【难度系数】
0.9
本题考查特殊角三角函数值的相关运算，解题思路如下：首先要准确记忆60°这一特殊锐角的正切值，再将其代入原式做乘法计算，最后把计算结果和选项对照，即可选出正确答案。
【解析】
根据特殊锐角的三角函数值，可得$\tan60°=\sqrt{3}$，
将其代入原式计算：
$3\tan60°=3×\sqrt{3}=3\sqrt{3}$，
对比选项，D选项符合计算结果。
【答案】
D
【知识点】
特殊角的三角函数值；实数的乘法运算
【点评】
本题属于基础题，主要考查对特殊角三角函数值的记忆，是锐角三角函数部分的常考基础题型，只要熟练掌握常见特殊角的三角函数值就能快速得分。
【难度系数】
0.9
5 如图,在△ABC中,AC=5,cos B=$\frac{\sqrt{2}}{2}$,sin C=$\frac{3}{5}$,则△ABC的面积为(
A.$\frac{21}{2}$
B.12
C.14
D.21
A
)。A.$\frac{21}{2}$
B.12
C.14
D.21
答案
5.A
解析
【分析】
要求△ABC的面积，需先求出BC的长度和BC边上的高。遇到斜三角形的计算问题，通常通过作高将其转化为直角三角形求解：首先由cosB=√2/2可得∠B=45°，过点A作AD⊥BC于D，将△ABC分为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形。先在Rt△ACD中利用sinC的值和AC的长度求出高AD和DC的长度，再在Rt△ABD中利用∠B=45°的性质求出BD的长度，相加得到BC的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ACD中，
∵sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，AC=5，
∴AD=$AC×\frac{3}{5}=5×\frac{3}{5}=3$，
由勾股定理得：$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
在Rt△ABD中，
∵cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠B=45°，
∴Rt△ABD为等腰直角三角形，即BD=AD=3，
∴BC=BD+DC=3+4=7，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是锐角三角函数应用的典型基础题，核心解题思路是作高将斜三角形转化为直角三角形，结合特殊角的三角函数值和勾股定理计算边长，难度不大，掌握构造直角三角形的辅助线方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
要求△ABC的面积，需先求出BC的长度和BC边上的高。遇到斜三角形的计算问题，通常通过作高将其转化为直角三角形求解：首先由cosB=√2/2可得∠B=45°，过点A作AD⊥BC于D，将△ABC分为Rt△ABD和Rt△ACD两个直角三角形。先在Rt△ACD中利用sinC的值和AC的长度求出高AD和DC的长度，再在Rt△ABD中利用∠B=45°的性质求出BD的长度，相加得到BC的长度，最后代入三角形面积公式计算即可。
【解析】
过点A作AD⊥BC于点D。
在Rt△ACD中，
∵sinC=$\frac{AD}{AC}$=$\frac{3}{5}$，AC=5，
∴AD=$AC×\frac{3}{5}=5×\frac{3}{5}=3$，
由勾股定理得：$DC=\sqrt{AC^2-AD^2}=\sqrt{5^2-3^2}=\sqrt{16}=4$。
在Rt△ABD中，
∵cosB=$\frac{\sqrt{2}}{2}$，
∴∠B=45°，
∴Rt△ABD为等腰直角三角形，即BD=AD=3，
∴BC=BD+DC=3+4=7，
∴$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}× BC× AD=\frac{1}{2}×7×3=\frac{21}{2}$。
【答案】
A
【知识点】
锐角三角函数的定义，等腰直角三角形的性质，三角形面积计算
【点评】
本题是锐角三角函数应用的典型基础题，核心解题思路是作高将斜三角形转化为直角三角形，结合特殊角的三角函数值和勾股定理计算边长，难度不大，掌握构造直角三角形的辅助线方法是解题关键。
【难度系数】
0.7
6 如图，A、B、C是正方形网格的格点，连接AC、BC，则$\tan∠ BAC$的值是（
A.$\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$
B.$\dfrac{\sqrt{26}}{26}$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{13}}{13}$
C
）。A.$\dfrac{5\sqrt{26}}{26}$
B.$\dfrac{\sqrt{26}}{26}$
C.$\dfrac{1}{5}$
D.$\dfrac{\sqrt{13}}{13}$
答案
6.C
解析
【分析】
要求tan∠BAC的值，根据锐角正切的定义，正切是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，因此首先需要将∠BAC放置在直角三角形中求解。我们可以利用网格格点的特点，构造包含∠BAC的直角三角形，结合勾股定理求出对应边的长度，进而计算正切值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
我们通过格点构造包含∠BAC的直角三角形：取合适的格点D，连接BD，使∠ADB=90°，此时∠BAD即为∠BAC。
观察网格可得，直角边BD的长度为1，直角边AD的长度为5。
根据正切的定义，$\tan∠ BAC=\frac{\mathrm{∠BAC的对边}}{\mathrm{∠BAC的邻边}}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，勾股定理，网格图形构造
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的核心是灵活利用网格特点构造直角三角形，将所求锐角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数定义计算，锻炼了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
要求tan∠BAC的值，根据锐角正切的定义，正切是直角三角形中锐角的对边与邻边的比值，因此首先需要将∠BAC放置在直角三角形中求解。我们可以利用网格格点的特点，构造包含∠BAC的直角三角形，结合勾股定理求出对应边的长度，进而计算正切值。
【解析】
设每个小正方形的边长为1。
我们通过格点构造包含∠BAC的直角三角形：取合适的格点D，连接BD，使∠ADB=90°，此时∠BAD即为∠BAC。
观察网格可得，直角边BD的长度为1，直角边AD的长度为5。
根据正切的定义，$\tan∠ BAC=\frac{\mathrm{∠BAC的对边}}{\mathrm{∠BAC的邻边}}=\frac{BD}{AD}=\frac{1}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
正切的定义，勾股定理，网格图形构造
【点评】
本题结合网格考查锐角三角函数的计算，解题的核心是灵活利用网格特点构造直角三角形，将所求锐角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数定义计算，锻炼了数形结合的应用能力。
【难度系数】
0.6
7 已知α是锐角，若$2\sinα - \sqrt{2} = 0$，则α=
$45°$
。答案
7.$45°$
解析
【分析】
遇到这类已知含锐角三角函数的方程求角度的问题，解题思路分两步走：第一步先通过解方程求出该锐角的三角函数值，第二步结合α是锐角的限定条件，对应特殊锐角的三角函数值，即可确定α的度数。
【解析】
对给定方程变形求解：
已知$2\sinα - \sqrt{2} = 0$，
移项得：$2\sinα = \sqrt{2}$，
两边同时除以2，得：$\sinα = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为α是锐角，且特殊锐角的正弦值中$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$α=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
特殊角的三角函数值、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，只要熟练记忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，结合简单的方程运算就能快速解答。
【难度系数】
0.9
遇到这类已知含锐角三角函数的方程求角度的问题，解题思路分两步走：第一步先通过解方程求出该锐角的三角函数值，第二步结合α是锐角的限定条件，对应特殊锐角的三角函数值，即可确定α的度数。
【解析】
对给定方程变形求解：
已知$2\sinα - \sqrt{2} = 0$，
移项得：$2\sinα = \sqrt{2}$，
两边同时除以2，得：$\sinα = \frac{\sqrt{2}}{2}$。
因为α是锐角，且特殊锐角的正弦值中$\sin45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，因此$α=45°$。
【答案】
$45°$
【知识点】
特殊角的三角函数值、解一元一次方程
【点评】
本题属于基础题，重点考查对特殊角三角函数值的掌握，只要熟练记忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，结合简单的方程运算就能快速解答。
【难度系数】
0.9
在△ABC中，已知AC=3，BC=4，AB=5，则tanA=
$\dfrac{4}{3}$
。答案
8.$\dfrac{4}{3}$
解析
【分析】
首先观察△ABC的三边长度，3、4、5是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定直角的位置；再根据锐角正切的定义，明确角A的对边和邻边，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知AC=3，BC=4，AB=5，
先计算三边平方的关系：
$AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
$AB^2 = 5^2 = 25$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ C = 90°$。
根据正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，
对于$∠ A$来说，对边是BC=4，邻边是AC=3，
因此$\tan A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
勾股定理逆定理；正切的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先通过三边关系判断三角形为直角三角形，再准确找到对应锐角的对边和邻边，熟练掌握基础定义和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
首先观察△ABC的三边长度，3、4、5是常见的勾股数，可先通过勾股定理的逆定理判断三角形的形状，确定直角的位置；再根据锐角正切的定义，明确角A的对边和邻边，代入计算即可得到结果。
【解析】
解：已知AC=3，BC=4，AB=5，
先计算三边平方的关系：
$AC^2 + BC^2 = 3^2 + 4^2 = 9 + 16 = 25$，
$AB^2 = 5^2 = 25$，
因此$AC^2 + BC^2 = AB^2$，
根据勾股定理的逆定理可得，△ABC是直角三角形，且$∠ C = 90°$。
根据正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于它的对边与邻边的比值，
对于$∠ A$来说，对边是BC=4，邻边是AC=3，
因此$\tan A = \frac{\mathrm{∠A的对边}}{\mathrm{∠A的邻边}} = \frac{BC}{AC} = \frac{4}{3}$。
【答案】
$\dfrac{4}{3}$
【知识点】
勾股定理逆定理；正切的定义
【点评】
本题属于基础题，解题的核心是先通过三边关系判断三角形为直角三角形，再准确找到对应锐角的对边和邻边，熟练掌握基础定义和定理即可快速求解。
【难度系数】
0.9
9 在Rt△ABC中，∠C=90°，sinA=$\frac{2}{5}$，则sinB的值是
$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
。答案
9.$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
解析
【分析】
这是直角三角形中求锐角正弦值的基础题，解题思路清晰：首先利用已知的sinA的值，结合正弦的定义设出对应边的参数；再用勾股定理求出第三条边的长度；最后根据正弦的定义，计算∠B的对边和斜边的比值，就能得到sinB的值，也可结合互余角的三角函数关系求解，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5}$，
设$BC=2k(k＞0)$，则$AB=5k$，
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(2k)^2}=\sqrt{25k^2-4k^2}=\sqrt{21}k$，
又
∵ $\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
∴ $\sin B=\frac{\sqrt{21}k}{5k}=\frac{\sqrt{21}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 勾股定理 3. 直角三角形性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，核心是对正弦函数定义的掌握，结合勾股定理就能快速求解，侧重检验基础概念的运用能力。
【难度系数】
0.8
这是直角三角形中求锐角正弦值的基础题，解题思路清晰：首先利用已知的sinA的值，结合正弦的定义设出对应边的参数；再用勾股定理求出第三条边的长度；最后根据正弦的定义，计算∠B的对边和斜边的比值，就能得到sinB的值，也可结合互余角的三角函数关系求解，两种方法均符合学段知识要求。
【解析】
解：
∵ 在Rt△ABC中，∠C=90°，
∴ $\sin A=\frac{∠A的对边}{斜边}=\frac{BC}{AB}=\frac{2}{5}$，
设$BC=2k(k＞0)$，则$AB=5k$，
由勾股定理可得：
$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{(5k)^2-(2k)^2}=\sqrt{25k^2-4k^2}=\sqrt{21}k$，
又
∵ $\sin B=\frac{∠B的对边}{斜边}=\frac{AC}{AB}$，
∴ $\sin B=\frac{\sqrt{21}k}{5k}=\frac{\sqrt{21}}{5}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{21}}{5}$
【知识点】
1. 正弦的定义 2. 勾股定理 3. 直角三角形性质
【点评】
本题属于锐角三角函数的基础考查题，核心是对正弦函数定义的掌握，结合勾股定理就能快速求解，侧重检验基础概念的运用能力。
【难度系数】
0.8
