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10 已知在平面直角坐标系$xOy$内有一点$A(2,3)$，那么$OA$与$x$轴正半轴的夹角$α$的正切值是
$\dfrac{3}{2}$
。答案
10.$\dfrac{3}{2}$
解析
【分析】
要计算OA与x轴正半轴夹角α的正切值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。我们可以过点A向x轴作垂线，构造出包含角α的直角三角形，再利用点A的坐标得到直角三角形两条直角边的长度，代入正切定义计算即可。
【解析】
过点A作$AB⊥ x$轴，垂足为点B。
∵点A的坐标为$(2,3)$，
∴点B的坐标为$(2,0)$，可得$OB=2$，$AB=3$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO=90°$，$α$是$Rt△ AOB$的锐角，
根据正切的定义：$\tanα = \frac{\mathrm{α的对边}}{\mathrm{α的邻边}} = \frac{AB}{OB} = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 点坐标的几何意义
【点评】
本题属于基础考查题，将锐角三角函数和平面直角坐标系结合，只要掌握正切的基本定义，理解平面直角坐标系内点的横、纵坐标对应的线段长度，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
要计算OA与x轴正半轴夹角α的正切值，首先回忆锐角正切的定义：在直角三角形中，一个锐角的正切值等于该角的对边长度与邻边长度的比值。我们可以过点A向x轴作垂线，构造出包含角α的直角三角形，再利用点A的坐标得到直角三角形两条直角边的长度，代入正切定义计算即可。
【解析】
过点A作$AB⊥ x$轴，垂足为点B。
∵点A的坐标为$(2,3)$，
∴点B的坐标为$(2,0)$，可得$OB=2$，$AB=3$。
在$Rt△ AOB$中，$∠ ABO=90°$，$α$是$Rt△ AOB$的锐角，
根据正切的定义：$\tanα = \frac{\mathrm{α的对边}}{\mathrm{α的邻边}} = \frac{AB}{OB} = \frac{3}{2}$。
【答案】
$\dfrac{3}{2}$
【知识点】
1. 正切的定义
2. 点坐标的几何意义
【点评】
本题属于基础考查题，将锐角三角函数和平面直角坐标系结合，只要掌握正切的基本定义，理解平面直角坐标系内点的横、纵坐标对应的线段长度，就能快速解答。
【难度系数】
0.9
11 已知△ABC中，∠C=90°，∠A=60°，AC=2，那么△ABC的周长为
$6+2\sqrt{3}$
。答案
11.$6+2\sqrt{3}$
解析
【分析】
本题是直角三角形边长计算类题目，解题思路如下：①首先利用直角三角形两锐角互余，求出未知锐角∠B的度数为30°；②结合30°角所对直角边等于斜边一半的性质，可直接求出斜边AB的长度；③再通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度；④最后将三条边长度相加即可得到三角形周长，也可通过锐角三角函数计算边长，方法不唯一。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°
∵∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°
∵AC=2，且AC是∠B的对边，
∴斜边AB=2AC=2×2=4
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∴△ABC的周长$=AC+BC+AB=2+2\sqrt{3}+4=6+2\sqrt{3}$
【答案】
$6+2\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形的性质、30°直角三角形边长性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考察直角三角形的相关性质应用，解题时可以灵活选择30°直角三角形性质或者锐角三角函数来求边长，计算时要注意二次根式的化简不要出错。
【难度系数】
0.85
本题是直角三角形边长计算类题目，解题思路如下：①首先利用直角三角形两锐角互余，求出未知锐角∠B的度数为30°；②结合30°角所对直角边等于斜边一半的性质，可直接求出斜边AB的长度；③再通过勾股定理求出另一条直角边BC的长度；④最后将三条边长度相加即可得到三角形周长，也可通过锐角三角函数计算边长，方法不唯一。
【解析】
解：在Rt△ABC中，∠C=90°
∵∠A=60°，
∴∠B=90°-∠A=30°
∵AC=2，且AC是∠B的对边，
∴斜边AB=2AC=2×2=4
由勾股定理得：
$BC=\sqrt{AB^2-AC^2}=\sqrt{4^2-2^2}=\sqrt{16-4}=\sqrt{12}=2\sqrt{3}$
∴△ABC的周长$=AC+BC+AB=2+2\sqrt{3}+4=6+2\sqrt{3}$
【答案】
$6+2\sqrt{3}$
【知识点】
直角三角形的性质、30°直角三角形边长性质、勾股定理
【点评】
本题属于基础计算类题目，核心考察直角三角形的相关性质应用，解题时可以灵活选择30°直角三角形性质或者锐角三角函数来求边长，计算时要注意二次根式的化简不要出错。
【难度系数】
0.85
12 在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，若$CD=5$，$BC=6$，则$\sin∠ ACD$的值是
$\dfrac{3}{5}$
。答案
12.$\dfrac{3}{5}$
解析
【分析】
解题时首先回忆直角三角形斜边中线的性质，先由CD的长度求出斜边AB的长度；再根据等腰三角形等边对等角的性质，可推出∠ACD=∠A，将求sin∠ACD的问题转化为求Rt△ABC中锐角∠A的正弦值，最后根据正弦的定义计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$AB=2CD=2×5=10$，且$CD=AD$，
∴ $∠A=∠ACD$（等边对等角），
∴ $\sin∠ACD=\sin∠A$，
在$Rt△ABC$中，根据正弦的定义：锐角的正弦等于对边与斜边的比，
$\sin∠A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
即$\sin∠ACD=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；锐角正弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数与特殊三角形性质的综合基础题，解题核心是通过角的转化，将待求三角函数值的角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数定义求解，思路比较直接，是锐角三角函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆直角三角形斜边中线的性质，先由CD的长度求出斜边AB的长度；再根据等腰三角形等边对等角的性质，可推出∠ACD=∠A，将求sin∠ACD的问题转化为求Rt△ABC中锐角∠A的正弦值，最后根据正弦的定义计算即可。
【解析】
解：
∵ 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$CD$是$AB$边上的中线，
∴ 根据直角三角形斜边中线等于斜边的一半，可得$AB=2CD=2×5=10$，且$CD=AD$，
∴ $∠A=∠ACD$（等边对等角），
∴ $\sin∠ACD=\sin∠A$，
在$Rt△ABC$中，根据正弦的定义：锐角的正弦等于对边与斜边的比，
$\sin∠A=\frac{BC}{AB}=\frac{6}{10}=\frac{3}{5}$，
即$\sin∠ACD=\frac{3}{5}$。
【答案】
$\dfrac{3}{5}$
【知识点】
直角三角形斜边中线性质；等腰三角形的性质；锐角正弦的定义
【点评】
本题是锐角三角函数与特殊三角形性质的综合基础题，解题核心是通过角的转化，将待求三角函数值的角转化为直角三角形的内角，再结合三角函数定义求解，思路比较直接，是锐角三角函数部分的常考题型。
【难度系数】
0.7
13 在$△ ABC$中，$AC=6\sqrt{5}$，点$D$为边$AB$上一点，且$AB=3BD$，$CD$与$BC$所夹锐角的正切值为$\frac{1}{2}$，且$CD ⊥ AC$，则$BC$的长为$\underline{\hspace{5cm}}$。
答案
13.$15$
解析
【分析】
本题可通过构造辅助线结合相似三角形性质、锐角三角函数和勾股定理求解。思路如下：首先已知CD⊥AC，过点B作BH⊥CD交CD延长线于H，可证△ACD与△BHD相似；再利用AB=3BD的线段比例得到相似比，求出BH的长度；接着根据∠BCD的正切值得到CH与BH的关系，结合相似比得到的CD与DH的比例求出CH的长；最后用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
过点B作$BH ⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$H$。
1. 证明相似：
$\because CD ⊥ AC$，$BH ⊥ CD$，$\therefore ∠ ACD = ∠ BHD = 90°$，
又$\because ∠ ADC = ∠ BDH$（对顶角相等），$\therefore △ ACD ∽ △ BHD$。
2. 利用相似比求$BH$：
$\because AB=3BD$，$\therefore AD = AB - BD = 2BD$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{1}$，
$\therefore$ 相似比 $\frac{AC}{BH}=\frac{CD}{DH}=\frac{AD}{BD}=\frac{2}{1}$，
已知$AC=6\sqrt{5}$，代入得 $BH = \frac{AC}{2} = \frac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}$。
3. 结合三角函数求$CH$：
由题意，$CD$与$BC$所夹锐角为$∠ BCD$，$\tan ∠ BCD = \frac{1}{2}$，
在$Rt△ BCH$中，$\tan ∠ BCD = \frac{BH}{CH} = \frac{1}{2}$，
$\therefore CH = 2BH = 2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$。
4. 求边长计算$BC$：
设$DH=x$，由$\frac{CD}{DH}=\frac{2}{1}$得$CD=2x$，
$\because CH = CD + DH = 2x + x = 3x$，代入$CH=6\sqrt{5}$得$3x=6\sqrt{5}$，解得$x=2\sqrt{5}$，
在$Rt△ BCH$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BH^2 + CH^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + (6\sqrt{5})^2} = \sqrt{45 + 180} = \sqrt{225} = 15$。
【答案】
$15$
【知识点】
相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角比相关的典型综合题，解题关键是合理构造辅助线得到相似三角形，将已知的线段比例、三角函数值转化为边的数量关系，结合勾股定理即可求解，能够很好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
本题可通过构造辅助线结合相似三角形性质、锐角三角函数和勾股定理求解。思路如下：首先已知CD⊥AC，过点B作BH⊥CD交CD延长线于H，可证△ACD与△BHD相似；再利用AB=3BD的线段比例得到相似比，求出BH的长度；接着根据∠BCD的正切值得到CH与BH的关系，结合相似比得到的CD与DH的比例求出CH的长；最后用勾股定理计算BC的长度即可。
【解析】
过点B作$BH ⊥ CD$，交$CD$的延长线于点$H$。
1. 证明相似：
$\because CD ⊥ AC$，$BH ⊥ CD$，$\therefore ∠ ACD = ∠ BHD = 90°$，
又$\because ∠ ADC = ∠ BDH$（对顶角相等），$\therefore △ ACD ∽ △ BHD$。
2. 利用相似比求$BH$：
$\because AB=3BD$，$\therefore AD = AB - BD = 2BD$，即$\frac{AD}{BD}=\frac{2}{1}$，
$\therefore$ 相似比 $\frac{AC}{BH}=\frac{CD}{DH}=\frac{AD}{BD}=\frac{2}{1}$，
已知$AC=6\sqrt{5}$，代入得 $BH = \frac{AC}{2} = \frac{6\sqrt{5}}{2}=3\sqrt{5}$。
3. 结合三角函数求$CH$：
由题意，$CD$与$BC$所夹锐角为$∠ BCD$，$\tan ∠ BCD = \frac{1}{2}$，
在$Rt△ BCH$中，$\tan ∠ BCD = \frac{BH}{CH} = \frac{1}{2}$，
$\therefore CH = 2BH = 2×3\sqrt{5}=6\sqrt{5}$。
4. 求边长计算$BC$：
设$DH=x$，由$\frac{CD}{DH}=\frac{2}{1}$得$CD=2x$，
$\because CH = CD + DH = 2x + x = 3x$，代入$CH=6\sqrt{5}$得$3x=6\sqrt{5}$，解得$x=2\sqrt{5}$，
在$Rt△ BCH$中，由勾股定理得：
$BC = \sqrt{BH^2 + CH^2} = \sqrt{(3\sqrt{5})^2 + (6\sqrt{5})^2} = \sqrt{45 + 180} = \sqrt{225} = 15$。
【答案】
$15$
【知识点】
相似三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题是锐角三角比相关的典型综合题，解题关键是合理构造辅助线得到相似三角形，将已知的线段比例、三角函数值转化为边的数量关系，结合勾股定理即可求解，能够很好地考查几何综合分析能力。
【难度系数】
0.6
14 我们将等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值称为该三角形的“边长正度值”，若等腰三角形腰长为5，“边长正度值”为3，那么这个等腰三角形底角的余弦值等于
$\dfrac{1}{5}或\dfrac{4}{5}$
。答案
14.$\dfrac{1}{5}或\dfrac{4}{5}$
解析
【分析】
首先理解新定义“边长正度值”的含义：等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值。已知腰长为5、正度值为3，先通过绝对值方程求出底边长的两种可能值，再验证两种情况是否满足三角形三边关系，最后利用等腰三角形三线合一的性质，结合锐角余弦的定义（邻边与斜边的比值）计算底角的余弦值。
【解析】
设该等腰三角形的底边长为$x$，
根据“边长正度值”的定义可得：$\left|5 - x\right| = 3$，
分两种情况求解：
1. 当$5 - x = 3$时，解得$x = 2$，此时三角形三边长为5、5、2，满足$2+5＞5$，可构成三角形。
过等腰三角形的顶点作底边的高，由等腰三角形三线合一可知，高平分底边，底边长的一半为$2÷2=1$。
底角的余弦值为邻边（底边一半）比斜边（腰长），即$\cosα=\frac{1}{5}$。
2. 当$x - 5 = 3$时，解得$x = 8$，此时三角形三边长为5、5、8，满足$5+5＞8$，可构成三角形。
同理，底边长的一半为$8÷2=4$，底角的余弦值为$\cosα=\frac{4}{5}$。
综上，底角的余弦值为$\frac{1}{5}$或$\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}或\dfrac{4}{5}$
【知识点】
新定义理解、等腰三角形性质、锐角余弦定义
【点评】
本题结合新定义考查几何基础知识点的应用，解题时需注意绝对值方程存在两个解，要先验证解是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
首先理解新定义“边长正度值”的含义：等腰三角形腰长与底边长的差的绝对值。已知腰长为5、正度值为3，先通过绝对值方程求出底边长的两种可能值，再验证两种情况是否满足三角形三边关系，最后利用等腰三角形三线合一的性质，结合锐角余弦的定义（邻边与斜边的比值）计算底角的余弦值。
【解析】
设该等腰三角形的底边长为$x$，
根据“边长正度值”的定义可得：$\left|5 - x\right| = 3$，
分两种情况求解：
1. 当$5 - x = 3$时，解得$x = 2$，此时三角形三边长为5、5、2，满足$2+5＞5$，可构成三角形。
过等腰三角形的顶点作底边的高，由等腰三角形三线合一可知，高平分底边，底边长的一半为$2÷2=1$。
底角的余弦值为邻边（底边一半）比斜边（腰长），即$\cosα=\frac{1}{5}$。
2. 当$x - 5 = 3$时，解得$x = 8$，此时三角形三边长为5、5、8，满足$5+5＞8$，可构成三角形。
同理，底边长的一半为$8÷2=4$，底角的余弦值为$\cosα=\frac{4}{5}$。
综上，底角的余弦值为$\frac{1}{5}$或$\frac{4}{5}$。
【答案】
$\dfrac{1}{5}或\dfrac{4}{5}$
【知识点】
新定义理解、等腰三角形性质、锐角余弦定义
【点评】
本题结合新定义考查几何基础知识点的应用，解题时需注意绝对值方程存在两个解，要先验证解是否满足三角形三边关系，避免漏解或错解。
【难度系数】
0.7
15 如图，在等腰$\mathrm{Rt}△ ABC$中，$∠ C=90°$，$AC=6$，$D$是$AC$上一点，若$\tan∠ DBA=\frac{1}{5}$，则$AD=$
$2$
。答案
15.$2$
解析
【分析】
解题思路：首先利用等腰直角三角形的性质得到∠A=45°，AC=BC=6，先求出斜边AB的长度。为了利用$\tan∠ DBA=\frac{1}{5}$的条件，过点D作DE⊥AB于点E，构造包含$∠ DBA$的直角三角形BDE。此时$△ ADE$也为等腰直角三角形，设$DE=x$，结合正切定义可得$BE=5x$，再根据$AB=AE+BE$建立方程求出$x$，最终计算AD的长度即可。
【解析】
解：过点D作$DE⊥ AB$于点E。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ C=90°$，$AC=6$，
$\therefore AC=BC=6$，$∠ A=45°$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
$\because DE⊥ AB$，$∠ A=45°$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，设$DE=AE=x$，则$AD=\sqrt{2}x$。
在$Rt△ BDE$中，$\tan∠ DBA=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{5}$，
$\therefore BE=5DE=5x$。
$\because AB=AE+BE$，
$\therefore x+5x=6\sqrt{2}$，
解得$x=\sqrt{2}$，
$\therefore AD=\sqrt{2}x=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，通过作垂线构造直角三角形，将已知角的正切值转化为线段比例关系是解题核心，结合等腰直角三角形的性质建立方程求解，对构造辅助线的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
解题思路：首先利用等腰直角三角形的性质得到∠A=45°，AC=BC=6，先求出斜边AB的长度。为了利用$\tan∠ DBA=\frac{1}{5}$的条件，过点D作DE⊥AB于点E，构造包含$∠ DBA$的直角三角形BDE。此时$△ ADE$也为等腰直角三角形，设$DE=x$，结合正切定义可得$BE=5x$，再根据$AB=AE+BE$建立方程求出$x$，最终计算AD的长度即可。
【解析】
解：过点D作$DE⊥ AB$于点E。
$\because △ ABC$是等腰直角三角形，$∠ C=90°$，$AC=6$，
$\therefore AC=BC=6$，$∠ A=45°$，
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
$\because DE⊥ AB$，$∠ A=45°$，
$\therefore △ ADE$是等腰直角三角形，设$DE=AE=x$，则$AD=\sqrt{2}x$。
在$Rt△ BDE$中，$\tan∠ DBA=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{5}$，
$\therefore BE=5DE=5x$。
$\because AB=AE+BE$，
$\therefore x+5x=6\sqrt{2}$，
解得$x=\sqrt{2}$，
$\therefore AD=\sqrt{2}x=\sqrt{2}×\sqrt{2}=2$。
【答案】
$2$
【知识点】
等腰直角三角形的性质，锐角三角函数的定义，勾股定理
【点评】
本题考查解直角三角形的应用，通过作垂线构造直角三角形，将已知角的正切值转化为线段比例关系是解题核心，结合等腰直角三角形的性质建立方程求解，对构造辅助线的能力有一定要求。
【难度系数】
0.65
16 如图，在$△ ABC$中，$∠ C=90°$，$BC=4$，$AB$的垂直平分线$EF$交$AC$于点$D$，连接$BD$，若$\sin∠ BDC=\frac{4}{5}$，则$AC=$
第16题图
$8$
。 第16题图答案
16.$8$
解析
【分析】
解题思路分三步：①先在Rt△BCD中，根据正弦的定义，已知∠BDC的正弦值和BC的长度，可求出斜边BD的长度；②再用勾股定理求出直角边CD的长度；③根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD=BD，最后AC=CD+AD，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△BCD中，∠C=90°，
根据正弦的定义：$\sin∠ BDC=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{BD}$，
已知$\sin∠ BDC=\frac{4}{5}$，$BC=4$，代入得：
$\frac{4}{BD}=\frac{4}{5}$，解得$BD=5$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴根据垂直平分线的性质，$AD=BD=5$，
∴$AC=CD+AD=3+5=8$。
【答案】
8
【知识点】
锐角正弦的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，将锐角三角函数、线段垂直平分线性质与勾股定理结合考察，解题的关键是先在Rt△BCD中利用正弦值求出BD的长度，再结合垂直平分线的性质得到AD的长度，进而求出AC的长，只要熟练掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
解题思路分三步：①先在Rt△BCD中，根据正弦的定义，已知∠BDC的正弦值和BC的长度，可求出斜边BD的长度；②再用勾股定理求出直角边CD的长度；③根据线段垂直平分线的性质，垂直平分线上的点到线段两端的距离相等，可得AD=BD，最后AC=CD+AD，代入数值计算即可得到结果。
【解析】
解：在Rt△BCD中，∠C=90°，
根据正弦的定义：$\sin∠ BDC=\frac{\mathrm{对边}}{\mathrm{斜边}}=\frac{BC}{BD}$，
已知$\sin∠ BDC=\frac{4}{5}$，$BC=4$，代入得：
$\frac{4}{BD}=\frac{4}{5}$，解得$BD=5$。
由勾股定理得：$CD=\sqrt{BD^2-BC^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{25-16}=3$。
∵EF是AB的垂直平分线，点D在EF上，
∴根据垂直平分线的性质，$AD=BD=5$，
∴$AC=CD+AD=3+5=8$。
【答案】
8
【知识点】
锐角正弦的定义，线段垂直平分线的性质，勾股定理
【点评】
本题是基础综合题，将锐角三角函数、线段垂直平分线性质与勾股定理结合考察，解题的关键是先在Rt△BCD中利用正弦值求出BD的长度，再结合垂直平分线的性质得到AD的长度，进而求出AC的长，只要熟练掌握基础知识点就能顺利解答。
【难度系数】
0.7
17 如图，在$△ ABC$中，$∠ ACB=120°$，$AC=4$，$BC=6$，则$\tan B$的值为
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
。答案
17.$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
解析
【分析】
要求$\tan B$，根据正切的定义，需要在包含$∠ B$的直角三角形中，求出$∠ B$的对边与邻边的比值。当前$△ ABC$为钝角三角形，没有直接可用的直角，因此需要作辅助线构造直角三角形：过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$。先利用$∠ ACB$的邻补角为$60°$，结合$AC$的长度求出$Rt△ ACD$中$AD$、$CD$的长，再得到$Rt△ ABD$中$∠ B$的对边$AD$和邻边$BD$的长度，最后计算比值即可得到$\tan B$。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$。
$\because ∠ ACB=120°$，
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ ACB=60°$。
在$Rt△ ACD$中，$AC=4$，$∠ ACD=60°$：
$CD=AC·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AD=AC·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
$\because BC=6$，
$\therefore BD=BC+CD=6+2=8$。
在$Rt△ ABD$中：
$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
正切的定义，解直角三角形，邻补角性质
【点评】
解题的核心是通过作高将钝角三角形问题转化为解直角三角形的问题，需注意辅助线的位置，避免搞错线段的和差关系，同时要熟记特殊角的三角函数值，保证计算准确。
【难度系数】
0.7
要求$\tan B$，根据正切的定义，需要在包含$∠ B$的直角三角形中，求出$∠ B$的对边与邻边的比值。当前$△ ABC$为钝角三角形，没有直接可用的直角，因此需要作辅助线构造直角三角形：过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$。先利用$∠ ACB$的邻补角为$60°$，结合$AC$的长度求出$Rt△ ACD$中$AD$、$CD$的长，再得到$Rt△ ABD$中$∠ B$的对边$AD$和邻边$BD$的长度，最后计算比值即可得到$\tan B$。
【解析】
解：过点$A$作$AD⊥ BC$，交$BC$的延长线于点$D$。
$\because ∠ ACB=120°$，
$\therefore ∠ ACD=180°-∠ ACB=60°$。
在$Rt△ ACD$中，$AC=4$，$∠ ACD=60°$：
$CD=AC·\cos60°=4×\frac{1}{2}=2$，
$AD=AC·\sin60°=4×\frac{\sqrt{3}}{2}=2\sqrt{3}$。
$\because BC=6$，
$\therefore BD=BC+CD=6+2=8$。
在$Rt△ ABD$中：
$\tan B=\frac{AD}{BD}=\frac{2\sqrt{3}}{8}=\frac{\sqrt{3}}{4}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{3}}{4}$
【知识点】
正切的定义，解直角三角形，邻补角性质
【点评】
解题的核心是通过作高将钝角三角形问题转化为解直角三角形的问题，需注意辅助线的位置，避免搞错线段的和差关系，同时要熟记特殊角的三角函数值，保证计算准确。
【难度系数】
0.7
18 如图，已知一个矩形纸片$ABCD$，$AB=12$，$BC=6$，点$E$在$BC$边上，将$△ CDE$沿$DE$折叠，点$C$落在$C'$处，$DC'$、$EC'$分别交$AB$于点$F$、$G$，若$GE=GF$，则$\sin∠ CDE$的值为________。
答案
18.$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
[提示:设$CE=x$,则$EB=6-x$。由翻折可知$DC=DC'=12$，$CE=C'E=x$，$∠C=∠C'=90°$。由$FG=GE$,易证$△GC'F ≌ △GBE(AAS)$,所以$FC'=BE=6-x$，$BF=BG+FG=GC'+GE=EC'=x$,则$AF=12-x$，$DF=6+x$。在$\mathrm{Rt}△ADF$中,因为$AD^2+AF^2=DF^2$,所以$6^2+(12-x)^2=(6+x)^2$,解得$x=4$,所以$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=4\sqrt{10}$，$\sin∠CDE=\dfrac{CE}{DE}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。]
[提示:设$CE=x$,则$EB=6-x$。由翻折可知$DC=DC'=12$，$CE=C'E=x$，$∠C=∠C'=90°$。由$FG=GE$,易证$△GC'F ≌ △GBE(AAS)$,所以$FC'=BE=6-x$，$BF=BG+FG=GC'+GE=EC'=x$,则$AF=12-x$，$DF=6+x$。在$\mathrm{Rt}△ADF$中,因为$AD^2+AF^2=DF^2$,所以$6^2+(12-x)^2=(6+x)^2$,解得$x=4$,所以$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=4\sqrt{10}$，$\sin∠CDE=\dfrac{CE}{DE}=\dfrac{\sqrt{10}}{10}$。]
解析
【分析】
这是一道矩形折叠结合锐角三角函数的综合题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到相等的边和角；其次结合已知$GE=GF$，通过角和边的关系证明$△ GC'F$与$△ GBE$全等，得到对应边相等的关系；再设$CE$的长度为$x$，用含$x$的式子表示出$\mathrm{Rt}△ ADF$的各边长度，根据勾股定理列方程求解$x$的值；最后在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，根据正弦的定义计算$\sin∠ CDE$的值即可。
【解析】
设$CE=x$，
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$DC=AB=12$，$AD=BC=6$，$∠ A=∠ B=∠ C=90°$，
由折叠的性质可得：$DC'=DC=12$，$C'E=CE=x$，$∠ C'=∠ C=90°$，
∴$∠ C'=∠ B=90°$，
在$△ GC'F$和$△ GBE$中：
$\begin{cases}∠ C'=∠ B\\∠ FGC'=∠ EGB\\GF=GE\end{cases}$
∴$△ GC'F≌△ GBE(\mathrm{AAS})$，
∴$FC'=BE=6-x$，$GC'=GB$，
∴$DF=DC'-FC'=12-(6-x)=6+x$，$BF=BG+GF=GC'+GE=C'E=x$，
∴$AF=AB-BF=12-x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，由勾股定理得$AD^2+AF^2=DF^2$，
代入得：$6^2+(12-x)^2=(6+x)^2$，
展开化简：$36+144-24x+x^2=36+12x+x^2$，
解得$x=4$，即$CE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}$，
∴$\sin∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{4}{4\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
翻折的性质；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查了折叠变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的计算，解题的核心是通过全等转化线段关系，利用方程思想求解未知线段长度，能有效考查对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
这是一道矩形折叠结合锐角三角函数的综合题，解题思路如下：首先利用折叠的性质得到相等的边和角；其次结合已知$GE=GF$，通过角和边的关系证明$△ GC'F$与$△ GBE$全等，得到对应边相等的关系；再设$CE$的长度为$x$，用含$x$的式子表示出$\mathrm{Rt}△ ADF$的各边长度，根据勾股定理列方程求解$x$的值；最后在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，根据正弦的定义计算$\sin∠ CDE$的值即可。
【解析】
设$CE=x$，
∵四边形$ABCD$是矩形，
∴$DC=AB=12$，$AD=BC=6$，$∠ A=∠ B=∠ C=90°$，
由折叠的性质可得：$DC'=DC=12$，$C'E=CE=x$，$∠ C'=∠ C=90°$，
∴$∠ C'=∠ B=90°$，
在$△ GC'F$和$△ GBE$中：
$\begin{cases}∠ C'=∠ B\\∠ FGC'=∠ EGB\\GF=GE\end{cases}$
∴$△ GC'F≌△ GBE(\mathrm{AAS})$，
∴$FC'=BE=6-x$，$GC'=GB$，
∴$DF=DC'-FC'=12-(6-x)=6+x$，$BF=BG+GF=GC'+GE=C'E=x$，
∴$AF=AB-BF=12-x$，
在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，由勾股定理得$AD^2+AF^2=DF^2$，
代入得：$6^2+(12-x)^2=(6+x)^2$，
展开化简：$36+144-24x+x^2=36+12x+x^2$，
解得$x=4$，即$CE=4$，
在$\mathrm{Rt}△ CDE$中，$DE=\sqrt{DC^2+CE^2}=\sqrt{12^2+4^2}=4\sqrt{10}$，
∴$\sin∠ CDE=\frac{CE}{DE}=\frac{4}{4\sqrt{10}}=\frac{\sqrt{10}}{10}$。
【答案】
$\dfrac{\sqrt{10}}{10}$
【知识点】
翻折的性质；勾股定理；锐角三角函数定义
【点评】
本题综合考查了折叠变换的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理以及锐角三角函数的计算，解题的核心是通过全等转化线段关系，利用方程思想求解未知线段长度，能有效考查对几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
19 计算：$\dfrac{\tan^2 60° - 2\sin 30°}{4\cos^2 45° + 2\cos 30°}$°
答案
19.$4-2\sqrt{3}$
解析
【分析】
解题时首先要准确回忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，先将原式中所有三角函数替换为对应的数值，再按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序分别计算分子和分母的结果，最后对得到的分式进行分母有理化，化简得到最终结果即可。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
将上述值代入原式：
分子：$\tan^2 60° - 2\sin 30°=(\sqrt{3})^2 - 2×\frac{1}{2}=3 - 1=2$
分母：$4\cos^2 45° + 2\cos 30°=4×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2×\frac{\sqrt{3}}{2}=4×\frac{1}{2}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$
则原式$=\frac{2}{2+\sqrt{3}}$
进行分母有理化，分子分母同乘$2-\sqrt{3}$：
$\frac{2×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4-3}=4-2\sqrt{3}$
【答案】
$4-2\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式运算，分式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记，以及二次根式的化简计算能力，解题时要注意运算顺序，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.7
解题时首先要准确回忆30°、45°、60°这几个特殊锐角的三角函数值，先将原式中所有三角函数替换为对应的数值，再按照先乘方、再乘除、最后加减的顺序分别计算分子和分母的结果，最后对得到的分式进行分母有理化，化简得到最终结果即可。
【解析】
首先写出各特殊角的三角函数值：
$\tan60°=\sqrt{3}$，$\sin30°=\frac{1}{2}$，$\cos45°=\frac{\sqrt{2}}{2}$，$\cos30°=\frac{\sqrt{3}}{2}$
将上述值代入原式：
分子：$\tan^2 60° - 2\sin 30°=(\sqrt{3})^2 - 2×\frac{1}{2}=3 - 1=2$
分母：$4\cos^2 45° + 2\cos 30°=4×(\frac{\sqrt{2}}{2})^2 + 2×\frac{\sqrt{3}}{2}=4×\frac{1}{2}+\sqrt{3}=2+\sqrt{3}$
则原式$=\frac{2}{2+\sqrt{3}}$
进行分母有理化，分子分母同乘$2-\sqrt{3}$：
$\frac{2×(2-\sqrt{3})}{(2+\sqrt{3})(2-\sqrt{3})}=\frac{4-2\sqrt{3}}{4-3}=4-2\sqrt{3}$
【答案】
$4-2\sqrt{3}$
【知识点】
特殊角的三角函数值，二次根式运算，分式化简
【点评】
本题属于基础运算题，核心考查对特殊锐角三角函数值的识记，以及二次根式的化简计算能力，解题时要注意运算顺序，最终结果需化为最简形式。
【难度系数】
0.7
20 当$\tanα=2$时，求$\dfrac{3\sinα + \cosα}{4\cosα -5\sinα}$。
答案
20.$-\dfrac{7}{6}$
解析
【分析】
已知$\tanα=2$，根据正切的定义$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$，观察所求代数式可知，分子、分母都是$\sinα$和$\cosα$的一次齐次式。我们可以利用分式的基本性质，将分子分母同时除以$\cosα$（由$\tanα$存在可知$\cosα≠0$，作除数有意义），就能把原式转化为仅含$\tanα$的代数式，再代入$\tanα=2$即可算出结果。
【解析】
解：$\because\tanα=2$，$\therefore\cosα≠0$
将所求式子的分子、分母同时除以$\cosα$，得：
原式=$\dfrac{\dfrac{3\sinα}{\cosα}+\dfrac{\cosα}{\cosα}}{\dfrac{4\cosα}{\cosα}-\dfrac{5\sinα}{\cosα}}=\dfrac{3\tanα+1}{4-5\tanα}$
把$\tanα=2$代入上式：
原式=$\dfrac{3×2+1}{4-5×2}=\dfrac{7}{-6}=-\dfrac{7}{6}$
【答案】
$-\dfrac{7}{6}$
【知识点】
1. 同角三角函数的基本关系
2. 分式的基本性质
【点评】
本题是三角函数求值的常见基础题型，解题核心是利用正切与正弦、余弦的关系，将含正弦、余弦的齐次分式转化为仅含正切的表达式，代入已知条件即可求解，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
已知$\tanα=2$，根据正切的定义$\tanα=\frac{\sinα}{\cosα}$，观察所求代数式可知，分子、分母都是$\sinα$和$\cosα$的一次齐次式。我们可以利用分式的基本性质，将分子分母同时除以$\cosα$（由$\tanα$存在可知$\cosα≠0$，作除数有意义），就能把原式转化为仅含$\tanα$的代数式，再代入$\tanα=2$即可算出结果。
【解析】
解：$\because\tanα=2$，$\therefore\cosα≠0$
将所求式子的分子、分母同时除以$\cosα$，得：
原式=$\dfrac{\dfrac{3\sinα}{\cosα}+\dfrac{\cosα}{\cosα}}{\dfrac{4\cosα}{\cosα}-\dfrac{5\sinα}{\cosα}}=\dfrac{3\tanα+1}{4-5\tanα}$
把$\tanα=2$代入上式：
原式=$\dfrac{3×2+1}{4-5×2}=\dfrac{7}{-6}=-\dfrac{7}{6}$
【答案】
$-\dfrac{7}{6}$
【知识点】
1. 同角三角函数的基本关系
2. 分式的基本性质
【点评】
本题是三角函数求值的常见基础题型，解题核心是利用正切与正弦、余弦的关系，将含正弦、余弦的齐次分式转化为仅含正切的表达式，代入已知条件即可求解，熟练掌握同角三角函数的关系是解题的关键。
【难度系数】
0.8
