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21 如图，在△ABC中，$\tan B=\frac{3}{4}$，$∠ C=45°$，点D在边BC上，且AB=BD=10。求AD、AC的长。
答案
21.$AD=2\sqrt{10}$，$AC=6\sqrt{2}$。
解析
【分析】
解题核心是通过作高构造直角三角形，将已知条件转化为直角三角形的边角关系求解：首先过点A作AE⊥BC于E，把原三角形拆分为两个直角三角形；再在Rt△ABE中结合tanB的取值和AB的长度，用设参数的方法结合勾股定理求出AE、BE的长；接着结合BD的长度求出DE的长，在Rt△ADE中用勾股定理求出AD的长；最后在Rt△AEC中利用∠C=45°的等腰直角三角形性质求出AC的长。
【解析】
过点A作AE⊥BC，垂足为E，则∠AEB=∠AED=∠AEC=90°。
1. 求AE、BE的长度：
在Rt△ABE中，$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{3}{4}$，设$AE=3k$，$BE=4k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$。
已知$AB=10$，则$5k=10$，解得$k=2$，因此$AE=3×2=6$，$BE=4×2=8$。
2. 求AD的长度：
已知$BD=10$，则$DE=BD-BE=10-8=2$。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
3. 求AC的长度：
在Rt△AEC中，$∠ C=45°$，因此△AEC为等腰直角三角形，$EC=AE=6$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AE^2+EC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
【答案】
$AD=2\sqrt{10}$，$AC=6\sqrt{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，通过作高线将斜三角形转化为直角三角形是解题的关键，解题过程中用到的参数法、特殊角的性质都是解直角三角形的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
解题核心是通过作高构造直角三角形，将已知条件转化为直角三角形的边角关系求解：首先过点A作AE⊥BC于E，把原三角形拆分为两个直角三角形；再在Rt△ABE中结合tanB的取值和AB的长度，用设参数的方法结合勾股定理求出AE、BE的长；接着结合BD的长度求出DE的长，在Rt△ADE中用勾股定理求出AD的长；最后在Rt△AEC中利用∠C=45°的等腰直角三角形性质求出AC的长。
【解析】
过点A作AE⊥BC，垂足为E，则∠AEB=∠AED=∠AEC=90°。
1. 求AE、BE的长度：
在Rt△ABE中，$\tan B=\frac{AE}{BE}=\frac{3}{4}$，设$AE=3k$，$BE=4k$（$k＞0$）。
由勾股定理得：$AB=\sqrt{AE^2+BE^2}=\sqrt{(3k)^2+(4k)^2}=5k$。
已知$AB=10$，则$5k=10$，解得$k=2$，因此$AE=3×2=6$，$BE=4×2=8$。
2. 求AD的长度：
已知$BD=10$，则$DE=BD-BE=10-8=2$。
在Rt△ADE中，由勾股定理得：$AD=\sqrt{AE^2+DE^2}=\sqrt{6^2+2^2}=\sqrt{40}=2\sqrt{10}$。
3. 求AC的长度：
在Rt△AEC中，$∠ C=45°$，因此△AEC为等腰直角三角形，$EC=AE=6$。
由勾股定理得：$AC=\sqrt{AE^2+EC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=\sqrt{72}=6\sqrt{2}$。
【答案】
$AD=2\sqrt{10}$，$AC=6\sqrt{2}$
【知识点】
锐角三角函数定义，勾股定理，等腰直角三角形性质
【点评】
本题是解直角三角形的典型题型，通过作高线将斜三角形转化为直角三角形是解题的关键，解题过程中用到的参数法、特殊角的性质都是解直角三角形的常用方法，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7
22 如图,在Rt△ABC中,∠ACB=90°,AB=5,$\sin∠CAB=\frac{4}{5}$,D是斜边AB上一点,过点A作AE⊥CD,垂足为点E,AE的延长线交边BC于点F。
(1)当$\tan∠BCD=\frac{1}{2}$时,求线段BF的长。
(2)当$BF=\frac{5}{4}$时,求线段AD的长。
(1)当$\tan∠BCD=\frac{1}{2}$时,求线段BF的长。
(2)当$BF=\frac{5}{4}$时,求线段AD的长。
答案
22. (1) 在$△ ABC$中，$∠ ACB = 90°$，$AB=5$，$\sin∠ CAB=\dfrac{4}{5}$，所以$BC=4$，$AC=3$。因为$AE ⊥ CD$，$∠ ACB = 90°$，所以$∠ BCD + ∠ AFC = 90°$，$∠ AFC + ∠ CAF = 90°$，从而有$∠ CAF = ∠ BCD$，所以$\tan∠ CAF = \tan∠ BCD = \dfrac{1}{2}$。又因为$∠ ACB = 90°$，$AC=3$，所以$CF=\dfrac{3}{2}$，所以$BF=4-\dfrac{3}{2}=\dfrac{5}{2}$。
(2) 过点$B$作$BG // AC$，交$CD$延长线于点$G$。由$\tan∠ CAF = \tan∠ BCD$，得$\dfrac{CF}{AC}=\dfrac{BG}{BC}$，即$\dfrac{4-BF}{AC}=\dfrac{BG}{BC}$，所以$BG=\dfrac{11}{3}$。因为$BG // AC$，所以$∠ ACD = ∠ G$，$∠ CAD = ∠ DBG$，所以$△ BGD ∽ △ ACD$，从而有$\dfrac{BG}{AC}=\dfrac{BD}{AD}$，即$\dfrac{\dfrac{11}{3}}{3}=\dfrac{5-AD}{AD}$，所以$AD=\dfrac{9}{4}$。
(2) 过点$B$作$BG // AC$，交$CD$延长线于点$G$。由$\tan∠ CAF = \tan∠ BCD$，得$\dfrac{CF}{AC}=\dfrac{BG}{BC}$，即$\dfrac{4-BF}{AC}=\dfrac{BG}{BC}$，所以$BG=\dfrac{11}{3}$。因为$BG // AC$，所以$∠ ACD = ∠ G$，$∠ CAD = ∠ DBG$，所以$△ BGD ∽ △ ACD$，从而有$\dfrac{BG}{AC}=\dfrac{BD}{AD}$，即$\dfrac{\dfrac{11}{3}}{3}=\dfrac{5-AD}{AD}$，所以$AD=\dfrac{9}{4}$。
解析
【分析】
解题先从已知的直角三角形条件入手，先利用锐角三角函数和勾股定理求出Rt△ABC的两条直角边长度。(1)问中，根据AE⊥CD和∠ACB=90°，利用同角的余角相等推出∠CAF=∠BCD，二者正切值相等，结合AC长度求出CF，再用BC减CF即可得BF的长。(2)问中，先同理得到∠CAF=∠BCD，构造辅助线BG//AC交CD延长线于G，先利用正切定义求出BG的长度，再由平行线得到△BGD与△ACD相似，根据相似三角形对应边成比例列方程即可求解AD的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，$\sin∠CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，因此$BC=5×\frac{4}{5}=4$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25-16}=3$。
因为AE⊥CD，所以∠AEC=90°，可得∠CAF + ∠ACD = 90°，又因为∠ACB=90°，即∠BCD + ∠ACD = 90°，所以∠CAF=∠BCD，因此$\tan∠CAF=\tan∠BCD=\frac{1}{2}$。
在Rt△ACF中，∠ACF=90°，$\tan∠CAF=\frac{CF}{AC}=\frac{1}{2}$，所以$CF=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，则$BF=BC-CF=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
(2) 过点B作BG//AC，交CD的延长线于点G。
同(1)可推出∠CAF=∠BCD，因此$\tan∠CAF=\tan∠BCD$，即$\frac{CF}{AC}=\frac{BG}{BC}$。
已知$BF=\frac{5}{4}$，所以$CF=4-\frac{5}{4}=\frac{11}{4}$，代入得$\frac{\frac{11}{4}}{3}=\frac{BG}{4}$，解得$BG=\frac{11}{3}$。
因为BG//AC，所以∠ACD=∠G，∠CAD=∠GBD，因此△BGD∽△ACD，可得$\frac{BG}{AC}=\frac{BD}{AD}$。
设AD=x，则BD=5-x，代入得$\frac{\frac{11}{3}}{3}=\frac{5-x}{x}$，化简得$\frac{11}{9}=\frac{5-x}{x}$，交叉相乘得$11x=45-9x$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$AD=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{2}$；(2) $\frac{9}{4}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，同角的余角相等，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、锐角三角函数和相似三角形的应用，第一问利用等角的三角函数值相等即可快速求解，第二问构造平行线得到相似三角形是解题突破口，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
解题先从已知的直角三角形条件入手，先利用锐角三角函数和勾股定理求出Rt△ABC的两条直角边长度。(1)问中，根据AE⊥CD和∠ACB=90°，利用同角的余角相等推出∠CAF=∠BCD，二者正切值相等，结合AC长度求出CF，再用BC减CF即可得BF的长。(2)问中，先同理得到∠CAF=∠BCD，构造辅助线BG//AC交CD延长线于G，先利用正切定义求出BG的长度，再由平行线得到△BGD与△ACD相似，根据相似三角形对应边成比例列方程即可求解AD的长度。
【解析】
(1) 在Rt△ABC中，∠ACB=90°，AB=5，$\sin∠CAB=\frac{BC}{AB}=\frac{4}{5}$，因此$BC=5×\frac{4}{5}=4$，由勾股定理得$AC=\sqrt{AB^2-BC^2}=\sqrt{25-16}=3$。
因为AE⊥CD，所以∠AEC=90°，可得∠CAF + ∠ACD = 90°，又因为∠ACB=90°，即∠BCD + ∠ACD = 90°，所以∠CAF=∠BCD，因此$\tan∠CAF=\tan∠BCD=\frac{1}{2}$。
在Rt△ACF中，∠ACF=90°，$\tan∠CAF=\frac{CF}{AC}=\frac{1}{2}$，所以$CF=\frac{1}{2}×3=\frac{3}{2}$，则$BF=BC-CF=4-\frac{3}{2}=\frac{5}{2}$。
(2) 过点B作BG//AC，交CD的延长线于点G。
同(1)可推出∠CAF=∠BCD，因此$\tan∠CAF=\tan∠BCD$，即$\frac{CF}{AC}=\frac{BG}{BC}$。
已知$BF=\frac{5}{4}$，所以$CF=4-\frac{5}{4}=\frac{11}{4}$，代入得$\frac{\frac{11}{4}}{3}=\frac{BG}{4}$，解得$BG=\frac{11}{3}$。
因为BG//AC，所以∠ACD=∠G，∠CAD=∠GBD，因此△BGD∽△ACD，可得$\frac{BG}{AC}=\frac{BD}{AD}$。
设AD=x，则BD=5-x，代入得$\frac{\frac{11}{3}}{3}=\frac{5-x}{x}$，化简得$\frac{11}{9}=\frac{5-x}{x}$，交叉相乘得$11x=45-9x$，解得$x=\frac{9}{4}$，即$AD=\frac{9}{4}$。
【答案】
(1) $\frac{5}{2}$；(2) $\frac{9}{4}$
【知识点】
锐角三角函数的定义，同角的余角相等，相似三角形的判定与性质
【点评】
本题综合考查了直角三角形性质、锐角三角函数和相似三角形的应用，第一问利用等角的三角函数值相等即可快速求解，第二问构造平行线得到相似三角形是解题突破口，能有效考查几何知识的综合运用能力。
【难度系数】
0.6
23 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC$，$D$是边$BC$的延长线上一点，$E$是边$AC$上一点，且$∠ EBC=∠ ADB$。
（1）求证：$\frac{CE}{AB}=\frac{BC}{BD}$。
（2）作$EG ⊥ BC$于点$G$，并连接$DE$，若$BC=4$，$\sin\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{3}$，求$△ EBD$的面积。
（1）求证：$\frac{CE}{AB}=\frac{BC}{BD}$。
（2）作$EG ⊥ BC$于点$G$，并连接$DE$，若$BC=4$，$\sin\frac{1}{2}∠ BAC=\frac{1}{3}$，求$△ EBD$的面积。
答案
23. (1) 因为$AB=AC$，所以$∠ ABC = ∠ ACB$，即$∠ ABD = ∠ ECB$。因为$∠ EBC = ∠ ADB$，所以$△ BCE ∽ △ DBA$，所以$\dfrac{CE}{AB}=\dfrac{BC}{BD}$。
(2) 过点$A$作$AO ⊥ BC$于点$O$。因为$AB=AC$，所以$BO=CO=2$，$∠ BAO = \dfrac{1}{2}∠ BAC$，又$\sin\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{1}{3}$，所以$\sin∠ BAO=\dfrac{1}{3}$，即$\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{1}{3}$，所以$AB=AC=6$。因为$EG ⊥ BC$，所以$AO // EG$，所以$∠ CAO = ∠ CEG$，所以$\sin∠ CEG=\dfrac{1}{3}$，可得$EC=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}EG$。由(1)得$CE · BD = AB · BC = 24$，所以$\dfrac{3\sqrt{2}}{4}EG · BD = 24$，所以$EG · BD = 16\sqrt{2}$，所以$△ EBD$的面积是$\dfrac{1}{2} · EG · BD = 8\sqrt{2}$。
(2) 过点$A$作$AO ⊥ BC$于点$O$。因为$AB=AC$，所以$BO=CO=2$，$∠ BAO = \dfrac{1}{2}∠ BAC$，又$\sin\dfrac{1}{2}∠ BAC=\dfrac{1}{3}$，所以$\sin∠ BAO=\dfrac{1}{3}$，即$\dfrac{OB}{AB}=\dfrac{1}{3}$，所以$AB=AC=6$。因为$EG ⊥ BC$，所以$AO // EG$，所以$∠ CAO = ∠ CEG$，所以$\sin∠ CEG=\dfrac{1}{3}$，可得$EC=\dfrac{3\sqrt{2}}{4}EG$。由(1)得$CE · BD = AB · BC = 24$，所以$\dfrac{3\sqrt{2}}{4}EG · BD = 24$，所以$EG · BD = 16\sqrt{2}$，所以$△ EBD$的面积是$\dfrac{1}{2} · EG · BD = 8\sqrt{2}$。
解析
【分析】
（1）要证明比例式$\frac{CE}{AB}=\frac{BC}{BD}$，可通过证明对应三角形相似得到。已知$AB=AC$，可得等腰三角形两底角相等，即$∠ABC=∠ACB$，也就是$∠ABD=∠ECB$，再结合题目给出的$∠EBC=∠ADB$，可证$△BCE∽△DBA$，利用相似三角形对应边成比例即可得证。
（2）要求$△EBD$的面积，其面积公式为$\frac{1}{2}×底BD×高EG$，因此需要求出$EG·BD$的值。首先利用等腰三角形三线合一的性质，过$A$作$AO⊥BC$，将$\frac{1}{2}∠BAC$转化为$∠BAO$，结合已知的正弦值求出$AB$的长度；再由第一问的比例式变形得到$CE·BD=AB·BC$，然后根据$EG⊥BC$、$AO⊥BC$得$EG// AO$，推出$∠CEG$的正弦值与$\frac{1}{2}∠BAC$的正弦值相等，将$CE$用含$EG$的式子表示，代入乘积式即可求出$EG·BD$的值，最终算出面积。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ABC=∠ACB$，即$∠ABD=∠ECB$。
又$\because ∠EBC=∠ADB$，
$\therefore △BCE ∽ △DBA$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{BC}{BD}$。
(2) 解：过点$A$作$AO⊥BC$于点$O$。
$\because AB=AC$，$BC=4$，
$\therefore BO=CO=\frac{1}{2}BC=2$，$∠BAO=\frac{1}{2}∠BAC$。
$\because \sin\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{3}$，$\therefore \sin∠BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{1}{3}$，
代入$BO=2$，解得$AB=AC=6$。
$\because EG⊥BC$，$AO⊥BC$，$\therefore AO// EG$，
$\therefore ∠CEG=∠CAO=∠BAO$，$\therefore \sin∠CEG=\frac{1}{3}$。
在$Rt△EGC$中，$\sin∠CEG=\frac{CG}{CE}=\frac{1}{3}$，设$CG=x$，则$CE=3x$，
由勾股定理得$EG=\sqrt{CE^2-CG^2}=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
$\therefore x=\frac{EG}{2\sqrt{2}}$，即$CE=3x=\frac{3\sqrt{2}}{4}EG$。
由(1)的结论可得$CE·BD=AB·BC=6×4=24$，
将$CE=\frac{3\sqrt{2}}{4}EG$代入得：$\frac{3\sqrt{2}}{4}EG·BD=24$，
解得$EG·BD=16\sqrt{2}$。
$\therefore S_{△EBD}=\frac{1}{2}·EG·BD=\frac{1}{2}×16\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $8\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、相似三角形以及锐角三角函数的相关知识，第一问为基础的相似证明，第二问需要结合第一问的结论，通过三角函数建立线段之间的关系，考查了知识的综合运用和转化能力，是典型的几何中档综合题。
【难度系数】
0.6
（1）要证明比例式$\frac{CE}{AB}=\frac{BC}{BD}$，可通过证明对应三角形相似得到。已知$AB=AC$，可得等腰三角形两底角相等，即$∠ABC=∠ACB$，也就是$∠ABD=∠ECB$，再结合题目给出的$∠EBC=∠ADB$，可证$△BCE∽△DBA$，利用相似三角形对应边成比例即可得证。
（2）要求$△EBD$的面积，其面积公式为$\frac{1}{2}×底BD×高EG$，因此需要求出$EG·BD$的值。首先利用等腰三角形三线合一的性质，过$A$作$AO⊥BC$，将$\frac{1}{2}∠BAC$转化为$∠BAO$，结合已知的正弦值求出$AB$的长度；再由第一问的比例式变形得到$CE·BD=AB·BC$，然后根据$EG⊥BC$、$AO⊥BC$得$EG// AO$，推出$∠CEG$的正弦值与$\frac{1}{2}∠BAC$的正弦值相等，将$CE$用含$EG$的式子表示，代入乘积式即可求出$EG·BD$的值，最终算出面积。
【解析】
(1) 证明：
$\because AB=AC$，$\therefore ∠ABC=∠ACB$，即$∠ABD=∠ECB$。
又$\because ∠EBC=∠ADB$，
$\therefore △BCE ∽ △DBA$（两角分别相等的两个三角形相似），
$\therefore \frac{CE}{AB}=\frac{BC}{BD}$。
(2) 解：过点$A$作$AO⊥BC$于点$O$。
$\because AB=AC$，$BC=4$，
$\therefore BO=CO=\frac{1}{2}BC=2$，$∠BAO=\frac{1}{2}∠BAC$。
$\because \sin\frac{1}{2}∠BAC=\frac{1}{3}$，$\therefore \sin∠BAO=\frac{BO}{AB}=\frac{1}{3}$，
代入$BO=2$，解得$AB=AC=6$。
$\because EG⊥BC$，$AO⊥BC$，$\therefore AO// EG$，
$\therefore ∠CEG=∠CAO=∠BAO$，$\therefore \sin∠CEG=\frac{1}{3}$。
在$Rt△EGC$中，$\sin∠CEG=\frac{CG}{CE}=\frac{1}{3}$，设$CG=x$，则$CE=3x$，
由勾股定理得$EG=\sqrt{CE^2-CG^2}=\sqrt{(3x)^2-x^2}=2\sqrt{2}x$，
$\therefore x=\frac{EG}{2\sqrt{2}}$，即$CE=3x=\frac{3\sqrt{2}}{4}EG$。
由(1)的结论可得$CE·BD=AB·BC=6×4=24$，
将$CE=\frac{3\sqrt{2}}{4}EG$代入得：$\frac{3\sqrt{2}}{4}EG·BD=24$，
解得$EG·BD=16\sqrt{2}$。
$\therefore S_{△EBD}=\frac{1}{2}·EG·BD=\frac{1}{2}×16\sqrt{2}=8\sqrt{2}$。
【答案】
(1) 证明成立；(2) $8\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的判定与性质，等腰三角形的性质，解直角三角形
【点评】
本题综合考查了等腰三角形、相似三角形以及锐角三角函数的相关知识，第一问为基础的相似证明，第二问需要结合第一问的结论，通过三角函数建立线段之间的关系，考查了知识的综合运用和转化能力，是典型的几何中档综合题。
【难度系数】
0.6
