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24 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ C=90°$,$AC=BC=6$,点$D$为$AC$中点,点$E$为边$AB$上一动点,点$F$为射线$BC$上一动点,且$∠ FDE=90°$。
(1) 当$DF // AB$时,连接$EF$,求$\frac{DE}{DF}$的值。
(2) 连接$CE$,若$△ CDE$为等腰三角形,求$BF$的长。
(1) 当$DF // AB$时,连接$EF$,求$\frac{DE}{DF}$的值。
(2) 连接$CE$,若$△ CDE$为等腰三角形,求$BF$的长。
答案
(1) 如图①,因为$AC=BC=6$,$∠ACB=90°$,所以$AB=6\sqrt{2}$。因为$DF // AB$,$CD=\frac{1}{2}AC$,所以$DF=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$,$DE=\frac{3}{2}\sqrt{2}$,则$\frac{DE}{DF}=\frac{\frac{3}{2}\sqrt{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
(2) 如图②,因为$CE ≥ \frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}＞3$,$CD=3$,所以$CE＞CD$。若$△DCE$为等腰三角形,只有$DC=DE$或$ED=EC$两种可能。当$DC=DE$时,点F在边BC上,过点D作$DG ⊥ AE$于点G(如图③),可得$AE=2AG=3\sqrt{2}$,即点E在AB中点,所以此时F与C重合,所以$BF=6$。当$ED=EC$时,点F在BC的延长线上,过点E作$EM ⊥ CD$于点M(如图④),可证:$△DFC ∽ △EDM$,所以$\frac{CF}{DM}=\frac{CD}{EM}$,即$\frac{CF}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{3+\frac{3}{2}}$,所以$CF=1$,所以$BF=7$。综上所述,BF为6或7。
解析
【分析】
(1) 先根据等腰直角三角形的性质求出AB的长度；当DF//AB时，结合D是AC中点，利用三角形中位线性质得到DF的长度；再由∠FDE=90°推出DE⊥AB，结合∠A=45°求出DE的长度，最后计算二者的比值即可。
(2) 首先判断△CDE为等腰三角形的可能情况：先确定CE的最小值大于CD的长度，排除CE=CD的情况，仅需讨论DC=DE、ED=EC两种情况：①当DC=DE时，作DG⊥AB，利用等腰直角三角形性质确定E为AB中点，此时F与C重合，直接得到BF的长度；②当ED=EC时，作EM⊥CD，通过证明△DFC∽△EDM，利用相似三角形的比例关系求出CF的长度，进而计算BF，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∵D为AC中点，
∴$CD=AD=\frac{1}{2}AC=3$。
当$DF//AB$时，DF是$△ABC$的中位线，因此$DF=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$。
又
∵$∠FDE=90°$，$DF//AB$，
∴$DE⊥AB$。
在$Rt△ADE$中，$∠A=45°$，$AD=3$，因此$DE=AD·\sin45°=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
则$\frac{DE}{DF}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
(2) AB边上的高为$\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}＞3$，因此点E在AB上运动时，$CE≥3\sqrt{2}＞CD=3$，即$CE≠CD$，故$△CDE$为等腰三角形仅存在两种情况：
① 当$DC=DE$时：$DE=3$，过点D作$DG⊥AE$于点G，在$Rt△ADG$中，$AD=3$，$∠A=45°$，所以$AG=AD·\cos45°=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
∵$DC=DE=3$，$DG⊥AE$，
∴$AE=2AG=3\sqrt{2}$，即E为AB的中点，此时F与点C重合，因此$BF=BC=6$。
② 当$ED=EC$时：过点E作$EM⊥CD$于点M，
∵$ED=EC$，
∴M为CD中点，$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}$。
又
∵$∠A=45°$，$EM⊥AC$，
∴$△AEM$为等腰直角三角形，$EM=AM=AD+DM=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
∵$∠FDE=90°$，
∴$∠CDF+∠EDM=90°$，又$∠EDM+∠DEM=90°$，因此$∠CDF=∠DEM$，结合$∠C=∠DME=90°$，可证$△DFC∽△EDM$。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{CF}{DM}=\frac{CD}{EM}$，代入数据得$\frac{CF}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{\frac{9}{2}}$，解得$CF=1$，此时F在BC延长线上，因此$BF=BC+CF=6+1=7$。
综上，BF的长为6或7。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；
(2) BF的长为6或7。
【知识点】
等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理利用等腰直角三角形的边角关系，对等腰三角形的情况进行分类讨论，通过添加合适的辅助线构造直角三角形或相似三角形求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.4
(1) 先根据等腰直角三角形的性质求出AB的长度；当DF//AB时，结合D是AC中点，利用三角形中位线性质得到DF的长度；再由∠FDE=90°推出DE⊥AB，结合∠A=45°求出DE的长度，最后计算二者的比值即可。
(2) 首先判断△CDE为等腰三角形的可能情况：先确定CE的最小值大于CD的长度，排除CE=CD的情况，仅需讨论DC=DE、ED=EC两种情况：①当DC=DE时，作DG⊥AB，利用等腰直角三角形性质确定E为AB中点，此时F与C重合，直接得到BF的长度；②当ED=EC时，作EM⊥CD，通过证明△DFC∽△EDM，利用相似三角形的比例关系求出CF的长度，进而计算BF，最后汇总两种情况的结果。
【解析】
(1) 在$Rt△ABC$中，$∠ACB=90°$，$AC=BC=6$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{6^2+6^2}=6\sqrt{2}$。
∵D为AC中点，
∴$CD=AD=\frac{1}{2}AC=3$。
当$DF//AB$时，DF是$△ABC$的中位线，因此$DF=\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}$。
又
∵$∠FDE=90°$，$DF//AB$，
∴$DE⊥AB$。
在$Rt△ADE$中，$∠A=45°$，$AD=3$，因此$DE=AD·\sin45°=3×\frac{\sqrt{2}}{2}=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
则$\frac{DE}{DF}=\frac{\frac{3\sqrt{2}}{2}}{3\sqrt{2}}=\frac{1}{2}$。
(2) AB边上的高为$\frac{1}{2}AB=3\sqrt{2}＞3$，因此点E在AB上运动时，$CE≥3\sqrt{2}＞CD=3$，即$CE≠CD$，故$△CDE$为等腰三角形仅存在两种情况：
① 当$DC=DE$时：$DE=3$，过点D作$DG⊥AE$于点G，在$Rt△ADG$中，$AD=3$，$∠A=45°$，所以$AG=AD·\cos45°=\frac{3\sqrt{2}}{2}$。
∵$DC=DE=3$，$DG⊥AE$，
∴$AE=2AG=3\sqrt{2}$，即E为AB的中点，此时F与点C重合，因此$BF=BC=6$。
② 当$ED=EC$时：过点E作$EM⊥CD$于点M，
∵$ED=EC$，
∴M为CD中点，$DM=\frac{1}{2}CD=\frac{3}{2}$。
又
∵$∠A=45°$，$EM⊥AC$，
∴$△AEM$为等腰直角三角形，$EM=AM=AD+DM=3+\frac{3}{2}=\frac{9}{2}$。
∵$∠FDE=90°$，
∴$∠CDF+∠EDM=90°$，又$∠EDM+∠DEM=90°$，因此$∠CDF=∠DEM$，结合$∠C=∠DME=90°$，可证$△DFC∽△EDM$。
由相似三角形对应边成比例得：$\frac{CF}{DM}=\frac{CD}{EM}$，代入数据得$\frac{CF}{\frac{3}{2}}=\frac{3}{\frac{9}{2}}$，解得$CF=1$，此时F在BC延长线上，因此$BF=BC+CF=6+1=7$。
综上，BF的长为6或7。
【答案】
(1) $\frac{1}{2}$；
(2) BF的长为6或7。
【知识点】
等腰直角三角形的性质，相似三角形的判定与性质，等腰三角形分类讨论
【点评】
本题属于几何综合题，解题的关键是合理利用等腰直角三角形的边角关系，对等腰三角形的情况进行分类讨论，通过添加合适的辅助线构造直角三角形或相似三角形求解，注意不要漏解。
【难度系数】
0.4
25 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=4$，$BC=2$，以点$B$为圆心，线段$BC$长为半径的弧交边$AC$于点$D$，且$∠ DBC=∠ BAC$，$P$是边$BC$延长线上一点，过点$P$作$PQ ⊥ BP$，交线段$BD$的延长线于点$Q$。设$CP=x$，$DQ=y$。
(1) 求$CD$的长。
(2) 求$y$关于$x$的函数表达式，并写出它的定义域。
(3) 当$∠ DAQ=2∠ BAC$时，求$CP$的值。
(1) 求$CD$的长。
(2) 求$y$关于$x$的函数表达式，并写出它的定义域。
(3) 当$∠ DAQ=2∠ BAC$时，求$CP$的值。
答案
(1) 因为$∠DBC=∠BAC$,$∠BCD=∠ACB$,所以$△BDC ∽ △ABC$,所以$\frac{CD}{BD}=\frac{BC}{AB}$。因为$AB=4$,$BC=BD=2$,所以$CD=1$。
(2) 如图①,作$DK ⊥ BC$,垂足为点K,作$AI ⊥ BC$,垂足为点I,可得$DK // AI$,所以$\frac{CK}{CI}=\frac{CD}{CA}$,易得$CK=\frac{1}{4}$,$IK=\frac{3}{4}$。又因为$DK // QP$,所以$\frac{DQ}{BD}=\frac{KP}{BK}$,即$\frac{y}{2}=\frac{x+\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}$,整理得$y=\frac{8}{7}x+\frac{2}{7}(x＞0)$。
(3) 由$∠DAQ=2∠BAC$,作$∠DAQ$的平分线AG,如图②,则$∠DAG=∠QAG=∠BAC=∠DBC$。因为$BD=BC$,所以$∠BCD=∠BDC=∠ADG=∠AGD$,所以$AD=AG$,易得$△ABD ≅ △AQG$,$GQ=2$。如图③,易证$△BDC ∽ △ADG$,可得$DG=\frac{3}{2}$,$y=2+\frac{3}{2}=\frac{7}{2}$,$x=\frac{45}{16}$。
解析
【分析】
(1) 要求CD的长，观察已知有∠DBC=∠BAC，还有公共角∠BCD=∠ACB，可先证明△BDC与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知边长即可求出CD。
(2) 要求y关于x的函数表达式，已知PQ⊥BP，可作DK⊥BC、AI⊥BC构造平行线，先利用平行线分线段成比例求出CK、BK的长度，再根据DK//QP得到对应线段的比例关系，整理即可得到函数式；由于P是BC延长线上的点，因此x取值范围为x＞0。
(3) 处理二倍角∠DAQ=2∠BAC，通常作∠DAQ的角平分线，将二倍角拆分为两个与∠BAC相等的角，再通过证明三角形全等、相似得到DQ的长度，最后代入第二问的函数表达式即可求出CP的值。
【解析】
(1) 在△BDC和△ABC中：
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC ∽ △ABC，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{BC}{AB}$。
∵AB=4，BC=BD=2，代入得$\frac{CD}{2}=\frac{2}{4}$，
解得$CD=1$。
(2) 如图①，作$DK ⊥ BC$，垂足为点K，作$AI ⊥ BC$，垂足为点I，可得$DK // AI$，
∴$\frac{CK}{CI}=\frac{CD}{CA}$，
由△BDC∽△ABC得$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，代入BC=2、CD=1得AC=4，故$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{4}$，易得$CK=\frac{1}{4}$，则$BK=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$，$KP=x+\frac{1}{4}$。
又
∵DK⊥BC，PQ⊥BP，
∴$DK // QP$，
∴$\frac{DQ}{BD}=\frac{KP}{BK}$，即$\frac{y}{2}=\frac{x+\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}$，
整理得$y=\frac{8}{7}x+\frac{2}{7}$，定义域为$x＞0$。
(3) 如图②，作∠DAQ的平分线AG，交BQ于点G，则$∠DAG=∠QAG=∠BAC=∠DBC$。
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，又∠BDC=∠ADG，∠BCD=∠AGD，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG，易得$△ABD ≅ △AQG$，故$GQ=BD=2$。
如图③，
∵∠DBC=∠DAG，∠BDC=∠ADG，
∴$△BDC ∽ △ADG$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DG}{CD}$，代入AD=AC-CD=3、BD=2、CD=1，得$DG=\frac{3}{2}$，
∴$y=DQ=DG+GQ=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$，
将$y=\frac{7}{2}$代入$y=\frac{8}{7}x+\frac{2}{7}$，解得$x=\frac{45}{16}$。
【答案】
(1) $CD=1$
(2) $y=\frac{8}{7}x+\frac{2}{7}(x＞0)$
(3) $CP=\frac{45}{16}$
【知识点】
相似三角形判定与性质；平行线分线段成比例；全等三角形判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了相似、全等、函数解析式求解等考点，解题时需合理构造辅助线，处理二倍角时常用作角平分线的方法转化为等角问题，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
(1) 要求CD的长，观察已知有∠DBC=∠BAC，还有公共角∠BCD=∠ACB，可先证明△BDC与△ABC相似，再利用相似三角形对应边成比例，结合已知边长即可求出CD。
(2) 要求y关于x的函数表达式，已知PQ⊥BP，可作DK⊥BC、AI⊥BC构造平行线，先利用平行线分线段成比例求出CK、BK的长度，再根据DK//QP得到对应线段的比例关系，整理即可得到函数式；由于P是BC延长线上的点，因此x取值范围为x＞0。
(3) 处理二倍角∠DAQ=2∠BAC，通常作∠DAQ的角平分线，将二倍角拆分为两个与∠BAC相等的角，再通过证明三角形全等、相似得到DQ的长度，最后代入第二问的函数表达式即可求出CP的值。
【解析】
(1) 在△BDC和△ABC中：
∵∠DBC=∠BAC，∠BCD=∠ACB，
∴△BDC ∽ △ABC，
∴$\frac{CD}{BD}=\frac{BC}{AB}$。
∵AB=4，BC=BD=2，代入得$\frac{CD}{2}=\frac{2}{4}$，
解得$CD=1$。
(2) 如图①，作$DK ⊥ BC$，垂足为点K，作$AI ⊥ BC$，垂足为点I，可得$DK // AI$，
∴$\frac{CK}{CI}=\frac{CD}{CA}$，
由△BDC∽△ABC得$\frac{BC}{AC}=\frac{CD}{BC}$，代入BC=2、CD=1得AC=4，故$\frac{CD}{CA}=\frac{1}{4}$，易得$CK=\frac{1}{4}$，则$BK=2-\frac{1}{4}=\frac{7}{4}$，$KP=x+\frac{1}{4}$。
又
∵DK⊥BC，PQ⊥BP，
∴$DK // QP$，
∴$\frac{DQ}{BD}=\frac{KP}{BK}$，即$\frac{y}{2}=\frac{x+\frac{1}{4}}{\frac{7}{4}}$，
整理得$y=\frac{8}{7}x+\frac{2}{7}$，定义域为$x＞0$。
(3) 如图②，作∠DAQ的平分线AG，交BQ于点G，则$∠DAG=∠QAG=∠BAC=∠DBC$。
∵BD=BC，
∴∠BCD=∠BDC，又∠BDC=∠ADG，∠BCD=∠AGD，
∴∠ADG=∠AGD，
∴AD=AG，易得$△ABD ≅ △AQG$，故$GQ=BD=2$。
如图③，
∵∠DBC=∠DAG，∠BDC=∠ADG，
∴$△BDC ∽ △ADG$，
∴$\frac{AD}{BD}=\frac{DG}{CD}$，代入AD=AC-CD=3、BD=2、CD=1，得$DG=\frac{3}{2}$，
∴$y=DQ=DG+GQ=\frac{3}{2}+2=\frac{7}{2}$，
将$y=\frac{7}{2}$代入$y=\frac{8}{7}x+\frac{2}{7}$，解得$x=\frac{45}{16}$。
【答案】
(1) $CD=1$
(2) $y=\frac{8}{7}x+\frac{2}{7}(x＞0)$
(3) $CP=\frac{45}{16}$
【知识点】
相似三角形判定与性质；平行线分线段成比例；全等三角形判定与性质
【点评】
本题是几何综合题，融合了相似、全等、函数解析式求解等考点，解题时需合理构造辅助线，处理二倍角时常用作角平分线的方法转化为等角问题，对几何知识的综合运用能力有一定要求。
【难度系数】
0.3
