22 如图，△ABC内有一点P，过P作各边的平行线，把△ABC分成三个三角形和三个平行四边形。若三个三角形的面积$S_1$、$S_2$、$S_3$分别为4、2、4，求△ABC的面积。
第22题图

设△ABC的面积为S,易证$△DPF ∽ △HGP ∽ △PEI ∽ △ABC$,则$\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S}}=\frac{PD}{BC}$,$\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}}=\frac{PE}{BC}$,$\frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}}=\frac{HG}{BC}$,所以$\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S}}+\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}}+\frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}}=\frac{PD}{BC}+\frac{PE}{BC}+\frac{HG}{BC}=\frac{BH+HG+GC}{BC}=1$,故$S=(\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3})^2=(2+\sqrt{2}+2)^2=18+8\sqrt{2}$。

【分析】
观察图形可知，过点P作△ABC三边的平行线后，得到的三个小三角形都与△ABC相似，同时形成的三个四边形均为平行四边形。解题核心是利用相似三角形面积比等于相似比的平方，得到各小三角形与大三角形的相似比，再结合平行四边形对边相等的性质，推导出三个相似比的和为1，进而求出大三角形的面积。
【解析】
设△ABC的面积为S。
∵DE//BC，FG//AB，HI//AC，
∴△DPF∽△HGP∽△PEI∽△ABC，且四边形BDPH、四边形PGCE均为平行四边形，可得PD=BH，PE=GC。
根据相似三角形的性质：相似三角形面积比等于相似比的平方，可得：
$\frac{\sqrt{S_1}}{\sqrt{S}}=\frac{PD}{BC}$，$\frac{\sqrt{S_2}}{\sqrt{S}}=\frac{PE}{BC}$，$\frac{\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}}=\frac{HG}{BC}$
将三式相加得：
$\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}}=\frac{PD+PE+HG}{BC}$
代入PD=BH、PE=GC，得$PD+PE+HG=BH+GC+HG=BC$，因此：
$\frac{\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}}{\sqrt{S}}=1$，即$\sqrt{S}=\sqrt{S_1}+\sqrt{S_2}+\sqrt{S_3}$
代入$S_1=4$、$S_2=2$、$S_3=4$，得$\sqrt{S}=\sqrt{4}+\sqrt{2}+\sqrt{4}=4+\sqrt{2}$
故$S=(4+\sqrt{2})^2=16+8\sqrt{2}+2=18+8\sqrt{2}$
【答案】
$18+8\sqrt{2}$
【知识点】
相似三角形的性质，平行四边形的性质，相似三角形面积与相似比的关系
【点评】
本题是相似三角形与平行四边形结合的典型面积计算题，解题突破口是利用平行四边形对边相等的性质，将三个小三角形的相似比转化为大三角形边长的和，从而建立大、小三角形的面积关系，对图形观察能力和相似性质的应用能力有一定要求。
【难度系数】
0.6

23 如图，已知在$△ ABC$中，$AB=AC=6$，$BC=5$，$D$是$AB$上一点，$BD=2$，$E$是$BC$上一动点，连接$DE$，并作$∠ DEF=∠ B$，射线$EF$交线段$AC$于$F$。（1）当$F$是线段$AC$中点时，求线段$BE$的长。（2）连接$DF$，如果$△ DEF$与$△ DBE$相似，求$FC$的长。

（1）因为$∠DEC=∠B+∠BDE$,$∠DEC=∠DEF+∠FEC$。又因为$∠DEF=∠B$,所以$∠BDE=∠FEC$。因为$AB=AC$,所以$∠B=∠C$,所以$△DBE ∽ △ECF$,所以$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}$。
设BE长为$x$,则$\frac{2}{5-x}=\frac{x}{3}$,解得$x_1=2$,$x_2=3$,所以BE的长为2或3。
（2）分两种情况:$1°$当$∠FDE=∠BED$时,$DF // BC$,所以$\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}$,所以$FC=2$。
$2°$当$∠FDE=∠BDE$时,如图,作$EO ⊥ DF$,$EP ⊥ BD$,$EQ ⊥ CF$,垂足分别为O、P、Q。因为$∠FDE=∠BDE$,所以$EO=EP$。因为$∠DFE=∠DEB=∠EFC$,所以$EO=EQ$。所以$EP=EQ$,所以AE是$∠BAC$的平分线。因为$AB=AC$,所以$BE=EC=\frac{5}{2}$。由$△DBE ∽ △ECF$,得$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}$,所以$FC=\frac{25}{8}$。
综上所述,FC的长为2或$\frac{25}{8}$时,$△DEF$与$△DBE$相似。

【分析】
（1）求BE的长时，先利用三角形外角性质结合已知∠DEF=∠B，推导得到∠BDE=∠FEC，再由等腰三角形AB=AC得∠B=∠C，即可证明△DBE∽△ECF，得到对应边成比例关系，设BE为未知数代入已知边长列方程求解即可。
（2）△DEF与△DBE相似时对应角未明确，需分两种情况讨论：①当∠FDE=∠BED时，可推出DF//BC，利用平行线分线段成比例求解FC；②当∠FDE=∠BDE时，利用角平分线的性质可得点E到AB、AC的距离相等，结合等腰三角形三线合一得E为BC中点，再借助第一问的相似三角形比例关系求解FC。
【解析】
（1）
∵∠DEC是△DBE的外角，
∴∠DEC=∠B+∠BDE，
又
∵∠DEC=∠DEF+∠FEC，且已知∠DEF=∠B，
∴∠BDE=∠FEC，
∵AB=AC，
∴∠B=∠C，
∴△DBE∽△ECF，
∴$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}$。
已知AB=AC=6，F是AC中点，故CF=3，BD=2，BC=5，设BE=x，则CE=5-x，
代入得$\frac{2}{5-x}=\frac{x}{3}$，
整理得$x^2-5x+6=0$，解得$x_1=2$，$x_2=3$，均符合题意。
（2）若△DEF与△DBE相似，已知∠DEF=∠B，分两种情况讨论：
1° 当∠FDE=∠BED时，可得DF//BC，
∴$\frac{AF}{AC}=\frac{AD}{AB}$，其中AD=AB-BD=6-2=4，
∴$\frac{AF}{6}=\frac{4}{6}$，解得AF=4，故FC=AC-AF=6-4=2。
2° 当∠FDE=∠BDE时，作EO⊥DF，EP⊥BD，EQ⊥CF，垂足分别为O、P、Q，
∵∠FDE=∠BDE，
∴EO=EP（角平分线上的点到角两边距离相等），
由相似性质及（1）中△DBE∽△ECF可得∠DFE=∠EFC，
∴EO=EQ，故EP=EQ，即点E到AB、AC的距离相等，故AE是∠BAC的平分线，
∵AB=AC，由等腰三角形三线合一得BE=EC=$\frac{5}{2}$，
由（1）中△DBE∽△ECF得$\frac{BD}{CE}=\frac{BE}{CF}$，代入BD=2，CE=BE=$\frac{5}{2}$，
得$\frac{2}{\frac{5}{2}}=\frac{\frac{5}{2}}{CF}$，解得$CF=\frac{25}{8}$。
【答案】
（1）BE的长为2或3；
（2）FC的长为2或$\frac{25}{8}$。

【知识点】
1. 相似三角形判定与性质
2. 等腰三角形性质
3. 角平分线的性质
【点评】
本题是相似三角形的综合应用题，解题的关键是通过角的等量关系证明三角形相似，涉及相似的分类讨论时要注意不要漏解，能有效锻炼逻辑推理和分类讨论的能力。
【难度系数】
0.6