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1. 如果$\frac{a}{b}=\frac{2}{3}$，则$\frac{a+b}{b}$等于（
A.$1\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
D
）A.$1\frac{1}{3}$
B.$\frac{1}{2}$
C.$\frac{3}{5}$
D.$\frac{5}{3}$
答案
1.D
2. 已知$\frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3}$，则$\frac{a}{b}=$
$\frac{1}{3}$
，$\frac{b}{a+b}=$$\frac{3}{4}$
。答案
2.$\frac{1}{3}$；$\frac{3}{4}$ 【点拨】$\because \frac{a+2b}{b}=\frac{7}{3},\therefore \frac{a}{b}+2=\frac{7}{3}$，$\therefore \frac{a}{b}=\frac{1}{3}.\therefore \frac{a+b}{b}=\frac{4}{3},\therefore \frac{b}{a+b}=\frac{3}{4}.$
3. 已知$\frac{a}{c}=\frac{b}{d}(abcd≠0,c+d≠0)$，下列等式成立的是（
A.$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{d}{c}$
C.$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a}{c}$
D.$\frac{a+d}{c}=\frac{b+d}{d}$
C
）A.$\frac{a}{d}=\frac{b}{c}$
B.$\frac{a}{b}=\frac{d}{c}$
C.$\frac{a+b}{c+d}=\frac{a}{c}$
D.$\frac{a+d}{c}=\frac{b+d}{d}$
答案
3.C
4. 新考法 整体求值法 若$\frac{a}{5}=\frac{b}{7}=\frac{c}{8}=\frac{5}{3}$，则$a+b+c$的值是（
A.20
B.100
C.120
D.$\frac{100}{3}$
D
）A.20
B.100
C.120
D.$\frac{100}{3}$
答案
4.D
5. [一题多解] [2025 南充] 已知$\frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}=2$，则$\frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}$的值是（
A.2
B.3
C.4
D.6
D
）A.2
B.3
C.4
D.6
答案
5.D 【点拨】解法一：$\because \frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}=2,\therefore a=2bc,b=2ac,c=2ab,\therefore a^2 = 2abc, b^2 = 2abc, c^2 = 2abc$，$\therefore \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}=\frac{2abc+2abc+2abc}{abc}=\frac{6abc}{abc}=6.$
解法二：$\because \frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}=2,\therefore \frac{a^2}{abc}=\frac{b^2}{abc}=\frac{c^2}{abc}=2$，$\therefore \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc+abc+abc}=2,即\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3abc}=2,\therefore \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}=6.$
解法二：$\because \frac{a}{bc}=\frac{b}{ac}=\frac{c}{ab}=2,\therefore \frac{a^2}{abc}=\frac{b^2}{abc}=\frac{c^2}{abc}=2$，$\therefore \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc+abc+abc}=2,即\frac{a^2 + b^2 + c^2}{3abc}=2,\therefore \frac{a^2 + b^2 + c^2}{abc}=6.$
6. 母题 教材$P_{65}$习题$T_5$ 若$\frac{a}{b}=\frac{c}{d}=\frac{e}{f}=\frac{1}{2},a-2c+3e≠0,$ 则$\frac{b-2d+3f}{a-2c+3e}=$
2
.答案
6.2
7. 一题多解 已知 $a:b:c=2:3:4$，且 $a+2b-3c=20$，试求 $a-2b+3c$ 的值.
答案
7.【解】方法一：$\because a:b:c=2:3:4$，
$\therefore$ 设 $a=2k(k≠0)$,则 $b=3k,c=4k$.
$\because a+2b-3c=20$，
$\therefore 2k+6k-12k=20$,解得 $k=-5$，
$\therefore a-2b+3c=2k-6k+12k=8k=8×(-5)=-40$.
方法二：$\because a:b:c=2:3:4$，
$\therefore \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$.
$\therefore \frac{a+2b-3c}{2+2×3-3×4}=\frac{a}{2},\therefore \frac{20}{-4}=\frac{a}{2}$，
解得 $a=-10$.
$\therefore b=-15,c=-20$，
$\therefore a-2b+3c=-10-2×(-15)+3×(-20)=-40$.
$\therefore$ 设 $a=2k(k≠0)$,则 $b=3k,c=4k$.
$\because a+2b-3c=20$，
$\therefore 2k+6k-12k=20$,解得 $k=-5$，
$\therefore a-2b+3c=2k-6k+12k=8k=8×(-5)=-40$.
方法二：$\because a:b:c=2:3:4$，
$\therefore \frac{a}{2}=\frac{b}{3}=\frac{c}{4}$.
$\therefore \frac{a+2b-3c}{2+2×3-3×4}=\frac{a}{2},\therefore \frac{20}{-4}=\frac{a}{2}$，
解得 $a=-10$.
$\therefore b=-15,c=-20$，
$\therefore a-2b+3c=-10-2×(-15)+3×(-20)=-40$.
8. 易错题 已知$\frac{2a}{b+c}=\frac{2b}{a+c}=\frac{2c}{a+b}=k$，则$k$的值为（
A.$1$
B.$\frac{1}{2}$或$-1$
C.$-2$
D.$1$或$-2$
D
）A.$1$
B.$\frac{1}{2}$或$-1$
C.$-2$
D.$1$或$-2$
答案
8.D 【点拨】当 $a+b+c=0$ 时,$a=-(b+c)$，
$\therefore k=\frac{2a}{b+c}=\frac{-2(b+c)}{b+c}=-2$；当 $a+b+c≠0$ 时，$k=\frac{2a+2b+2c}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}=\frac{2(a+b+c)}{2(a+b+c)}=1$.
点易错 运用等比性质的前提是各个分母的和不能等于零.如果题目中没有此条件,在运用等比性质时应分类讨论,否则将会出现漏解的错误.如本题要分 $a+b+c≠0$ 和 $a+b+c=0$ 两种情况讨论.
$\therefore k=\frac{2a}{b+c}=\frac{-2(b+c)}{b+c}=-2$；当 $a+b+c≠0$ 时，$k=\frac{2a+2b+2c}{(b+c)+(a+c)+(a+b)}=\frac{2(a+b+c)}{2(a+b+c)}=1$.
点易错 运用等比性质的前提是各个分母的和不能等于零.如果题目中没有此条件,在运用等比性质时应分类讨论,否则将会出现漏解的错误.如本题要分 $a+b+c≠0$ 和 $a+b+c=0$ 两种情况讨论.
9.已知$\frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$，则$\frac{x+y-z}{x+y+z}=$
$\frac{1}{9}$
.答案
9.$\frac{1}{9}$ 【点拨】$\because \frac{x}{2}=\frac{y}{3}=\frac{z}{4}≠0$，
$\therefore \frac{x+y-z}{2+3-4}=x+y-z=\frac{x}{2},\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{x+y+z}{9}=\frac{x}{2}$，
则 $x+y+z=\frac{9x}{2}$.
$\therefore \frac{x+y-z}{x+y+z}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{9x}{2}}=\frac{1}{9}$.
$\therefore \frac{x+y-z}{2+3-4}=x+y-z=\frac{x}{2},\frac{x+y+z}{2+3+4}=\frac{x+y+z}{9}=\frac{x}{2}$，
则 $x+y+z=\frac{9x}{2}$.
$\therefore \frac{x+y-z}{x+y+z}=\frac{\frac{x}{2}}{\frac{9x}{2}}=\frac{1}{9}$.
10. 母题 教材P₆₃例 已知$△ ABC$和$△ DEF$中，有$\frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{2}{3}$，且$△ DEF$和$△ ABC$的周长之差为15 cm，则$△ ABC$的周长为
30
cm.答案
10.30 【点拨】设$△ ABC$ 和 $△ DEF$ 的周长分别是 $x$ cm 和 $y$ cm. $\because \frac{AB}{DE}=\frac{BC}{EF}=\frac{CA}{FD}=\frac{2}{3},\therefore \frac{AB+BC+CA}{DE+EF+FD}=\frac{x}{y}=\frac{2}{3}$,① 由题意可得 $y-x=15$,② 由①得 $x=\frac{2}{3}y$.③ 将③代入②,得 $y-\frac{2}{3}y=15,\therefore y=45$. 将 $y=45$ 代入②,得 $x=30$. 故$△ ABC$ 的周长是 30 cm.
11. 新趋势 学科内综合 已知 $a,b,c$ 是$△ ABC$的三边长，且$\frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}≠0$。
(1)求$\frac{4a+2b}{5c-6a}$的值；
(2)若$△ ABC$的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状。
(1)求$\frac{4a+2b}{5c-6a}$的值；
(2)若$△ ABC$的周长为24，求各边的长并判断该三角形的形状。
答案
11.【解】(1)$\because \frac{a}{3}=\frac{b}{5}=\frac{c}{4}≠0$，
$\therefore$ 设 $a=3x(x≠0)$,则 $b=5x,c=4x$，
$\therefore \frac{4a+2b}{5c-6a}=\frac{12x+10x}{20x-18x}=11$.
(2)$\because a=3x,b=5x,c=4x,△ ABC$ 的周长为 24，
$\therefore 3x+5x+4x=24$,解得 $x=2$，
$\therefore a=6,b=10,c=8$.
$\because a^2 + c^2 = b^2$，
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形.
$\therefore$ 设 $a=3x(x≠0)$,则 $b=5x,c=4x$，
$\therefore \frac{4a+2b}{5c-6a}=\frac{12x+10x}{20x-18x}=11$.
(2)$\because a=3x,b=5x,c=4x,△ ABC$ 的周长为 24，
$\therefore 3x+5x+4x=24$,解得 $x=2$，
$\therefore a=6,b=10,c=8$.
$\because a^2 + c^2 = b^2$，
$\therefore △ ABC$ 是直角三角形.
