13. ★★ 新趋势学科内综合 彼此相似的正方形$A_1B_1C_1O$，$A_2B_2C_2C_1$，$A_3B_3C_3C_2$如图所示，点$A_1$，$A_2$，$A_3$在直线$y=kx+b(k＞0)$上，点$C_1$，$C_2$，$C_3$在$x$轴上，点$B_3$的坐标是$(\dfrac{19}{4},\dfrac{9}{4})$，则$k+b$的值为。

13.$\frac{3}{2}$
【点拨】令 $x=0$,则 $y=b,\therefore OA_1=b$. $\therefore$ 正方形$A_1B_1C_1O$的边长为 $b$. $\because$ 点 $B_3$ 的坐标是 $(\frac{19}{4},\frac{9}{4})$,
$\therefore$ 正方形 $A_3B_3C_3C_2$ 的边长为 $\frac{9}{4}$. $\therefore A_3(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$. $\therefore$ 正方形 $A_2B_2C_2C_1$ 的边长为 $\frac{5}{2}-b$. $\because$ 正方形 $A_1B_1C_1O$,$A_2B_2C_2C_1$,$A_3B_3C_3C_2$ 是彼此相似的正方形,且点 $A_1$,$A_2$,$A_3$ 在同一直线上,$\therefore \frac{A_1B_1}{A_2B_2}=\frac{A_2C_1}{A_3C_2}$. $\therefore \frac{b}{\frac{5}{2}-b}=\frac{\frac{5}{2}-b}{\frac{9}{4}}$,整理得 $4b^2-29b+25=0$,解得 $b_1=1$,$b_2=\frac{25}{4}$(舍去). $\therefore$ 直线的表达式为 $y=kx+1$. 把点 $A_3(\frac{5}{2},\frac{9}{4})$ 的坐标代入,得 $\frac{5}{2}k+1=\frac{9}{4}$,解得 $k=\frac{1}{2}$,
$\therefore k+b=\frac{3}{2}$.

14. 如图,点 E 是菱形 ABCD 对角线 CA 的延长线上任意一点,以线段 AE 为边作一个菱形 AEFG,且菱形 AEFG∽菱形 ABCD,相似比是$\sqrt{3}:2$,连接 EB,GD.
(1)求证:EB=GD;
(2)若∠DAB=60°,AB=2,求 GD 的长.

14.(1)【证明】$\because$ 菱形 $AEFG∽$ 菱形 $ABCD$,
$\therefore ∠ EAG=∠ BAD$. $\therefore ∠ EAG+∠ GAB=∠ BAD+∠ GAB$,即$∠ EAB=∠ GAD$.
$\because$ 在菱形 $AEFG$ 和菱形 $ABCD$ 中,$AE=AG$,$AB=AD$,
$\therefore △ AEB≌△ AGD$. $\therefore EB=GD$.
(2)【解】如图,连接 $BD$ 交 $AC$ 于点 $P$,则 $BP⊥ AC$,
$\therefore ∠ APB=90°$.

在菱形 $ABCD$ 中,易知$∠ PAB=\frac{1}{2}∠ DAB$.
$\because ∠ DAB=60°,\therefore ∠ PAB=30°$. $\therefore BP=\frac{1}{2}AB=1$.
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ APB$ 中,$AP=\sqrt{AB^2-BP^2}=\sqrt{3}$.
$\because$ 菱形 $AEFG∽$ 菱形 $ABCD$,相似比是$\sqrt{3}:2$,$AB=2$,
$\therefore AE=\sqrt{3}$. $\therefore EP=2\sqrt{3}$.
$\therefore$ 在 $\mathrm{Rt}△ EPB$ 中,$EB=\sqrt{EP^2+BP^2}=\sqrt{12+1}=\sqrt{13}$.
$\therefore GD=\sqrt{13}$.

15. 情境题 方案策略型 向阳中学有一块正方形的空地，边长为 40 m，学校计划将空地分为五部分，并给两位同学每人一张边长为 20 cm 的正方形硬纸板模型用来设计，下面是小明和小芳的设计方案.
小明:如图①，它是由四个矩形和中间一个小正方形组成的，在该图案中矩形①与矩形②为相似矩形，相似比为$1:3$，中间小正方形的边长为4 cm.
小芳:如图②，它是由四个全等的直角三角形以及一个小正方形组成的，其中小正方形与大正方形的相似比为$1:5$.
(1)求小明的方案中矩形①的面积.
(2)小芳设计的方案中，每个直角三角形部分在学校空地的实际周长是多少米？

15.【解】(1)设矩形①的长为 $x$ cm,宽为 $y$ cm.
$\because$ 矩形①与矩形②为相似矩形,相似比为 $1:3$,
$\therefore$ 矩形②的长为 $3x$ cm,宽为 $3y$ cm,
由图可知,$x+3x-4=20$,$y+3y+4=20$,
解得 $x=6$,$y=4$,
$\therefore$ 矩形①的面积为 $4× 6=24(\mathrm{cm}^2)$.
(2)$\because$ 小正方形与大正方形的相似比为 $1:5$,且大正方形的边长为 20 cm,
$\therefore$ 正方形 $EFGH$ 的边长为 4 cm.
设 $BE=a$ cm,$AE=b$ cm,
由题易得 $a^2+b^2=400$,$a-b=4$,
$\therefore a^2+(a-4)^2=400$,整理可得 $(a-2)^2=196$,
解得 $a_1=16$,$a_2=-12$(舍去),
$\therefore b=12$,
$\therefore$ 直角三角形的周长是 $16+12+20=48(\mathrm{cm})$.
$\therefore$ 每个直角三角形部分在学校空地的实际周长为 $0.48×(40÷0.2)=96(\mathrm{m})$.