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1. 已知$△ ABC ∽ △ DEF$，$AB:DE=2:1$，若$DF=2$，则$AC$的长为（
A.1
B.2
C.4
D.8
C
）A.1
B.2
C.4
D.8
答案
1.C
2. 如图，$△ ABC ∽ △ ACP$，若$∠ A=75°$，$∠ APC=65°$，则$∠ B$的度数为（
A.$40°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$
A
）A.$40°$
B.$50°$
C.$65°$
D.$75°$
答案
2.A
3. 新趋势·学科内综合 2026·合肥模拟 如图，在平面直角坐标系中，△ABC∽△ODC，且AB=3OD，若点A的坐标为(-2,0)，则点C的坐标为
(1,0)
。答案
3.(1,0) 【点拨】
∵△ABC∽△ODC，且 AB=3OD，
∴AC=3OC.
∵点 A 的坐标为(-2,0)，
∴OA=2，
∴AC=OA+OC=2+OC，
∴2+OC=3OC，
∴OC=1，
∴点 C 的坐标为(1,0).
∵△ABC∽△ODC，且 AB=3OD，
∴AC=3OC.
∵点 A 的坐标为(-2,0)，
∴OA=2，
∴AC=OA+OC=2+OC，
∴2+OC=3OC，
∴OC=1，
∴点 C 的坐标为(1,0).
4.下列判断中,正确的有 （
①全等三角形是相似三角形
②顶角相等的两个等腰三角形相似
③所有的等边三角形都相似
④所有的直角三角形都相似
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
C
）①全等三角形是相似三角形
②顶角相等的两个等腰三角形相似
③所有的等边三角形都相似
④所有的直角三角形都相似
A.1个
B.2个
C.3个
D.4个
答案
4.C
5. 在$△ ABC$中，$∠ ABC=90°$，用直尺和圆规在AC上确定点D，使$△ BAD ∽ △ CBD$，根据作图痕迹判断，正确的是（
A
B
C
D
B
）A
B
C
D
答案
5.B
6.[2025河北]如图,在五边形$ABCDE$中,$AE// BC$,延长$BA,BC$,分别交直线$DE$于点$M,N$.若添加下列一个条件后,仍无法判定$△ MAE ∽ △ DCN$,
则这个条件是（
A.$∠ B+∠ 4=180°$
B.$CD// AB$
C.$∠ 1=∠ 4$
D.$∠ 2=∠ 3$
则这个条件是（
D
）A.$∠ B+∠ 4=180°$
B.$CD// AB$
C.$∠ 1=∠ 4$
D.$∠ 2=∠ 3$
答案
6.D 【点拨】A.
∵∠B+∠4 = 180°,
∴ CD // BM,
∴∠CDN=∠AME.
∵ AE // BC,
∴∠AEM=∠CND,
∴△MAE∽△DCN, 故 A 不符合题意; B.
∵ CD // AB,
∴∠CDN=∠AME.
∵ AE // BC,
∴∠AEM=∠CND,
∴△MAE∽△DCN, 故 B 不符合题意; C.
∵ AE // BC,
∴∠1+∠B=180°.
∵∠1=∠4,
∴∠B+∠4=180°,
∴CD//BM,
∴∠CDN=∠AME.
∵AE//BC,
∴∠AEM=∠CND,
∴△MAE∽△DCN,故 C 不符合题意; D. 根据∠2=∠3 结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN,故 D 符合题意. 故选 D.
∵∠B+∠4 = 180°,
∴ CD // BM,
∴∠CDN=∠AME.
∵ AE // BC,
∴∠AEM=∠CND,
∴△MAE∽△DCN, 故 A 不符合题意; B.
∵ CD // AB,
∴∠CDN=∠AME.
∵ AE // BC,
∴∠AEM=∠CND,
∴△MAE∽△DCN, 故 B 不符合题意; C.
∵ AE // BC,
∴∠1+∠B=180°.
∵∠1=∠4,
∴∠B+∠4=180°,
∴CD//BM,
∴∠CDN=∠AME.
∵AE//BC,
∴∠AEM=∠CND,
∴△MAE∽△DCN,故 C 不符合题意; D. 根据∠2=∠3 结合已知条件不能证明△MAE∽△DCN,故 D 符合题意. 故选 D.
7. 母题 教材P₁₀₁复习题T₁₁ 如图，点C，D在线段AB上，△PCD是等边三角形，AP⊥PD，CP⊥BP.
(1)求证：△ACP∽△BDP.
(2)线段AC，CD，BD之间有怎样的数量关系？请说明理由.
(1)求证：△ACP∽△BDP.
(2)线段AC，CD，BD之间有怎样的数量关系？请说明理由.
答案
7.(1)【证明】
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°.
∴∠PCA=∠BDP=120°.
∵AP⊥PD,CP⊥BP,
∴∠APD=∠BPC=90°.
∴∠APD-∠CPD=∠BPC-∠CPD=30°,即∠APC=∠DPB=30°.
∴△ACP∽△BDP.
(2)【解】AC=BD=CD.
理由:
∵∠APD=∠BPC=90°,∠PCD=∠PDC=60°,
∴∠A=∠B=30°.
由(1)知∠APC=∠DPB=30°,
∴∠A=∠APC,∠B=∠DPB.
∴AC=CP,BD=PD.
∵△PCD是等边三角形,
∴PC=PD=CD,
∴AC=BD=CD.
[点方法] 从已知条件,找出△ACP和△BDP有两对角对应相等是解答(1)的关键,解答(2)的关键是得出∠A=∠APC,∠B=∠DPB.
∵△PCD是等边三角形，
∴∠PCD=∠PDC=∠CPD=60°.
∴∠PCA=∠BDP=120°.
∵AP⊥PD,CP⊥BP,
∴∠APD=∠BPC=90°.
∴∠APD-∠CPD=∠BPC-∠CPD=30°,即∠APC=∠DPB=30°.
∴△ACP∽△BDP.
(2)【解】AC=BD=CD.
理由:
∵∠APD=∠BPC=90°,∠PCD=∠PDC=60°,
∴∠A=∠B=30°.
由(1)知∠APC=∠DPB=30°,
∴∠A=∠APC,∠B=∠DPB.
∴AC=CP,BD=PD.
∵△PCD是等边三角形,
∴PC=PD=CD,
∴AC=BD=CD.
[点方法] 从已知条件,找出△ACP和△BDP有两对角对应相等是解答(1)的关键,解答(2)的关键是得出∠A=∠APC,∠B=∠DPB.
8. 新趋势 跨学科 如图，一束光线从 y 轴上的点 A(0,1)发出，经过 x 轴上的点 C 反射后，经过点 B(6,2)，则光线从点 A 到点 B 经过的路线长为（
A.6
B.$\sqrt{37}$
C.$3\sqrt{5}$
D.8
C
）A.6
B.$\sqrt{37}$
C.$3\sqrt{5}$
D.8
答案
8.C 【点拨】如图，过点 B 作 BD ⊥ x 轴于点 D，则∠BDC=90°.
∵A(0,1),B(6,2),
∴OA=1,OD=6,BD=2. 由入射角等于反射角，易得∠ACO=∠BCD.
∵∠AOC=∠BDC=90°,
∴△AOC∽△BDC.
∴$\frac{OA}{BD}=\frac{OC}{CD}$,即$\frac{1}{2}=\frac{OC}{6-OC}$,解得 OC=2.
∴DC=4. 在 Rt△AOC 中，由勾股定理，得 AC=$\sqrt{1^2+2^2}$=$\sqrt{5}$,在 Rt△BDC 中，由勾股定理，得 BC=$\sqrt{2^2+4^2}$=$2\sqrt{5}$,
∴AC+BC=$3\sqrt{5}$.
9.边长分别为10,6,4的三个正方形拼接在一起，它们的一边在同一直线上(如图)，则图中阴影部分的面积为
15
.答案
9.15 【点拨】如图，由题意可知 AD=DC=10，CG=CE=GF=6，∠ECG=∠CEF=∠EFG=90°,GH=4，
∴CH=10=AD. 又
∵∠D=∠DCH=90°,∠AJD=∠HJC,
∴△ADJ≌△HCJ,
∴CJ=DJ=5,
∴EJ=6-5=1.
∵GI//CJ,
∴易得△HGI∽△HCJ,
∴$\frac{GI}{CJ}=\frac{GH}{CH}=\frac{2}{5}$,
∴GI=2，
∴FI=4,
∴$S_{阴影}=\frac{1}{2}×(1+4)×6=15$.
