10. 如图,在矩形ABCD中,AB=3,BC=4,点P为射线BC上的一个动点,过点P的直线PQ垂直于AP与直线CD相交于点Q,当BP=5时,CQ=.

10.$\frac{5}{3}$ 【点拨】
∵BP=5,BC=4,
∴CP=1.
∵PQ⊥AP,
∴∠APQ=90°=∠ABC,
∴∠APB+∠BAP=90°=∠APB+∠BPQ,
∴∠BAP=∠BPQ. 又
∵∠ABP=∠PCQ=90°,
∴△ABP∽△PCQ,
∴$\frac{AB}{CP}=\frac{BP}{CQ}$,
∴$\frac{3}{1}=\frac{5}{CQ}$,
∴CQ=$\frac{5}{3}$.

11. ★★ 新考法 分类讨论法 在矩形ABCD中，AB=1，BC=a，点E在边BC上，且BE=$\frac{2}{3}a$，连接AE，将△ABE沿AE所在直线折叠，若点B的对应点B'落在矩形ABCD的边上，则a的值为。

11.1.5或$\frac{\sqrt{3}}{2}$ 【点拨】分两种情况:(1)当点 B'落在 AD 边上时，如图①.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠BAD=∠B=90°. 由折叠得∠BAE=∠B'AE=$\frac{1}{2}$∠BAD=45°.
∴∠AEB=45°.
∴∠BAE=∠AEB.
∴AB=BE.
∴$\frac{2}{3}a=1$.
∴a=1.5.
(2)当点 B'落在 CD 边上时，如图②.
∵四边形 ABCD 是矩形，
∴∠B=∠C=∠D=90°,AD=BC=a. 由折叠得∠B=∠AB'E=90°,AB=AB'=1,EB=EB'=$\frac{2}{3}a$.
∴DB'=$\sqrt{B'A^2-AD^2}=\sqrt{1-a^2}$,EC=BC-BE=$\frac{1}{3}a$.
∵∠B'AD=∠EB'C=90°-∠AB'D,∠D=∠C=90°,
∴△ADB'∽△B'CE.
∴$\frac{DB'}{CE}=\frac{AB'}{B'E}$,即$\frac{\sqrt{1-a^2}}{\frac{1}{3}a}=\frac{1}{\frac{2}{3}a}$,解得$a_1=\frac{\sqrt{3}}{2}$,$a_2=-\frac{\sqrt{3}}{2}$(不合题意,舍去). 综上所述,a的值为 1.5 或$\frac{\sqrt{3}}{2}$.

12. 如图，在$△ ABC$中，$AB=AC=8$，$BC=12$，点$P$，$Q$分别在$AB$，$BC$边上，且$∠ AQP=∠ B$.
(1)求证:$△ BQP ∽ △ CAQ$;
(2)若$BP=4.5$，求$∠ BPQ$的度数;
(3)若在$BC$边上存在两个点$Q$，满足$∠ AQP=∠ B$，求$BP$长的取值范围.

12.(1)【证明】
∵AB=AC,
∴∠B=∠C.
∵∠AQP=∠B,
∴∠AQP=∠C.
又
∵∠AQB=∠AQP+∠PQB,∠AQB=∠CAQ+∠C,
∴∠PQB=∠CAQ.
∴△BQP∽△CAQ.
(2)【解】
∵△BQP∽△CAQ,
∴$\frac{BQ}{AC}=\frac{BP}{CQ}$,
即$\frac{BQ}{8}=\frac{4.5}{12-BQ}$,
∴BQ=6.
∵BC=12,
∴BQ=CQ=6.
又
∵AB=AC,
∴AQ⊥BC.
∴∠CQA=90°.
∵△BQP∽△CAQ,
∴∠BPQ=∠CQA=90°.
(3)【解】设BQ=x,BP=m(m＞0).
由(2)知$\frac{BQ}{AC}=\frac{BP}{CQ}$,
∴$\frac{x}{8}=\frac{m}{12-x}$,
整理,得$x^2-12x+8m=0$.
∵在 BC 边上存在两个点 Q,
∴方程$x^2-12x+8m=0$有两个不相等的正实数根,
∴Δ=$12^2-4×8m＞0$,解得$m＜\frac{9}{2}$,
∴$0＜m＜\frac{9}{2}$.
∴BP长的取值范围为$0＜BP＜\frac{9}{2}$.

13. [2025 成都改编] 在$□ ABCD$中，点 E 在 BC边上，点 B 关于直线 AE 的对称点 F 落在$□ ABCD$内，射线 AF 交射线 DC 于点 G，交射线 BC 于点 P，射线 EF 交 CD 边于点 Q.
【特例感知】(1) 如图①，当 $CE=BE$ 时，点 P 在 BC 的延长线上，求证：$△ EFP ≌ △ ECQ$；
【问题探究】(2) 在(1)的条件下，若 $CG=3$，$GQ=5$，求 DQ 的长；
【拓展延伸】(3) 如图②，当 $CE=2BE$ 时，点 P 在 BC 边上，若$\frac{CQ}{DQ}=\frac{1}{n}$，请直接写出$\frac{CG}{DG}$的值.(用含 n 的代数式表示)

13.(1)【证明】由题知∠B=∠AFE,BE=FE.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴AB//CD.
∴∠B+∠BCD=180°.
又
∵∠AFE+∠EFP=180°,
∴∠ECQ=∠EFP.
∵CE=BE,BE=EF,
∴EF=EC.
又
∵∠CEQ=∠FEP,
∴△EFP≌△ECQ.
(2)【解】
∵△EFP≌△ECQ,
∴EQ=EP,∠GQF=∠P.
∵EF=EC,
∴FQ=CP.
又
∵∠FGQ=∠CGP,∠GQF=∠P,
∴△FQG≌△CPG.
∴FG=CG=3,GP=GQ=5.
由题知AF=AB,AB=CD.
∵AB//CD,
∴∠PGC=∠PAB,∠PCG=∠PBA.
∴△CGP∽△BAP.
∴$\frac{CG}{AB}=\frac{PG}{AP}$.
∴$\frac{3}{AB}=\frac{5}{AB+3+5}$,解得AB=12.
∴CD=12.
∴DQ=CD-CG-QG=4.
(3)【解】$\frac{CG}{DG}=\frac{2n+1}{6n+6}$. 【点拨】如图,延长AD,EQ交于点M,设CQ=a,BE=b.
∵$\frac{CQ}{DQ}=\frac{1}{n}$,CE=2BE,
∴DQ=an,EC=2b.
∴AB=CD=(n+1)a,AD=BC=3b. 由题知AF=AB,EF=BE.
∴AF=(n+1)a,EF=b.
∵AD//BC,即DM//EC,
∴∠M=∠QEC,∠MDQ=∠ECQ,
∴△DQM∽△CQE.
∴$\frac{DM}{EC}=\frac{DQ}{CQ}$,即$\frac{DM}{2b}=\frac{an}{a}=n$.
∴DM=2bn.
∵四边形ABCD是平行四边形,
∴∠B=∠ADQ. 由题知∠AFE=∠B.
∵∠AFQ+∠AFE=180°.
∴易得∠AFQ+∠ADQ=180°.
∴∠DAF+∠DQF=180°.
∵∠EQC+∠DQF=180°,
∴∠EQC=∠DAF.
∵AD//BC,
∴∠DAF=∠FPE.
∴∠EQC=∠FPE. 又
∵∠FEP=∠CEQ,
∴△FEP∽△CEQ.
∴$\frac{EF}{EC}=\frac{FP}{CQ}$,即$\frac{b}{2b}=\frac{FP}{a}$,
∴PF=$\frac{1}{2}a$.
∵AD//BC,
∴易得△PEF∽△AMF.
∴$\frac{EP}{AM}=\frac{PF}{AF}$.
∴$\frac{EP}{(3+2n)b}=\frac{\frac{1}{2}a}{(n+1)a}$,解得EP=$\frac{(3+2n)b}{2n+2}$.
∴CP=EC-EP=$2b-\frac{(3+2n)b}{2n+2}=\frac{(2n+1)b}{2n+2}$.
∵PC//AD,
∴易得△GPC∽△GAD.
∴$\frac{CG}{DG}=\frac{CP}{AD}=\frac{\frac{(2n+1)b}{2n+2}}{3b}=\frac{2n+1}{6n+6}$.