1. 易错题 如图，D是$△ ABC$的边AB上一点，要使$△ ACD ∽ △ ABC$，则添加的条件可以是（）

A.$\frac{AC}{CD}=\frac{AD}{BC}$
B.$\frac{CD}{AD}=\frac{BC}{AB}$
C.$CD^2=AD · DB$
D.$AC^2=AD · AB$

1.D
【点易错】利用“两边成比例且夹角相等”判定两个三角形相似时，一定要记准相等的角是两边的“夹角”，否则，结论不成立。

2. 在三角形纸片ABC中，AB=6，BC=8，AC=4，下列沿虚线剪下的阴影部分的三角形与△ABC相似的是（）

2.B

3.如图，$△ ACD$的三个顶点均在$1×3$网格(边长均为1)的格点上，请选三个格点组成一个格点三角形，它与$△ ACD$有一条公共边且相似(不全等)，则这个格点三角形是。

3. $△ ECA$ 【点拨】连接 AE，由勾股定理得 $AC = \sqrt{1^2+1^2}=\sqrt{2}.\because CD=1,CE=2,\therefore CD:AC=1:\sqrt{2}$，$AC:CE=\sqrt{2}:2=1:\sqrt{2},\therefore CD:AC=AC:CE$。$\because ∠ ACD=∠ ACE,\therefore △ ACD∽△ ECA$。

4. 在$△ ABC$和$△ DEF$中，$∠ A=40°$，$∠ D=60°$，$∠ E=80°$，若$\frac{AB}{FD}=\frac{AC}{FE}$，则$∠ B$的度数是 （）

A.$40°$
B.$60°$
C.$80°$
D.$100°$

4.B

5. 如图,在△ABC中,D为BC上一点,BC=$\sqrt{3}$AB=3BD.若AD=$\sqrt{3}$,则AC=.

5. 3 【点拨】$\because BC=\sqrt{3}AB=3BD,\therefore \frac{BD}{AB}=\frac{AB}{BC}=\frac{\sqrt{3}}{3}$。$\because ∠ B=∠ B,\therefore △ ABD∽△ CBA,\therefore \frac{AD}{AC}=\frac{AB}{BC}.\because AD=\sqrt{3},\therefore \frac{\sqrt{3}}{AC}=\frac{\sqrt{3}}{3}.\therefore AC=3$。

6.如图，已知四边形ABCD是矩形，将矩形沿AC折叠，点B落在点E处，连接DE.若$DE:AC=3:5$，则$\frac{AD}{AB}$的值为.

6. $\frac{1}{2}$ 【点拨】由折叠得$∠ BAC=∠ EAC,AE=AB=CD$。$\because AB// CD,\therefore ∠ DCA=∠ BAC,\therefore ∠ EAC=∠ DCA$。设AE与CD相交于F，则$AF=CF,\therefore AE-AF=CD-CF$,即$EF=DF,\therefore \frac{EF}{AF}=\frac{DF}{FC}$。又$\because ∠ AFC=∠ EFD$，$\therefore △ ACF∽△ EDF,\therefore \frac{DF}{FC}=\frac{DE}{AC}=\frac{3}{5}$。设$DF=3x,FC=5x$,则$AF=5x$。在$\mathrm{Rt}△ ADF$中，$AD=\sqrt{AF^2-DF^2}=4x$。又$\because AB=CD=DF+FC=3x+5x=8x,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{4x}{8x}=\frac{1}{2}$。

7.如图，点D是△ABC外一点，连接DC，E是线段CD上一点，∠DAE=∠BAC，∠AEC+∠ACB=180°.求证：△DAB∽△EAC.

7.【证明】$\because ∠ AEC+∠ ACB=180°,∠ AEC+∠ AED=180°$，$\therefore ∠ AED=∠ ACB$。$\because ∠ DAE=∠ BAC,\therefore △ ADE∽△ ABC$，$\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC},\therefore \frac{AD}{AE}=\frac{AB}{AC}$。$\because ∠ DAE=∠ BAC$，即$∠ DAB+∠ BAE=∠ BAE+∠ EAC$，$\therefore ∠ DAB=∠ EAC,\therefore △ DAB∽△ EAC$。

8. 如图，D,E分别是$△ ABC$的边AB,AC上的点，且$AD=\frac{1}{3}AB$，$AE=\frac{1}{3}AC$，CD与BE交于点O，则$S_{△ COE}:S_{△ BOC}$的值为（）

A.$\frac{1}{16}$
B.$\frac{1}{9}$
C.$\frac{1}{4}$
D.$\frac{1}{3}$
（第8题）

8.D 【点拨】连接 DE. $\because AD=\frac{1}{3}AB,AE=\frac{1}{3}AC,\therefore \frac{AD}{AB}=\frac{AE}{AC}=\frac{1}{3}$。又$\because ∠ DAE=∠ BAC,\therefore △ ADE∽△ ABC$，$\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{1}{3},∠ ADE=∠ ABC,\therefore DE// BC,\therefore ∠ OED=∠ OBC,∠ ODE=∠ OCB,\therefore △ DOE∽△ COB,\therefore \frac{DE}{BC}=\frac{OE}{OB}=\frac{1}{3},\therefore S_{△ COE}:S_{△ BOC}=\frac{1}{3}$。

9. 如图,在正方形ABCD中,点E,F分别为对角线BD,AC的三等分点(DE＜BE,CF＜AF),连接AE并延长交CD于点G,连接EF,FG,若∠AGF=α,则∠FAG用含α的代数式表示为 ()

A.$\frac{45° - α}{2}$
B.$\frac{90° - α}{2}$
C.$\frac{45° + α}{2}$
D.$\frac{α}{2}$

9.B 【点拨】设 AC 与 BD 的交点为 O. $\because$ 在正方形 ABCD 中,点 E,F 分别为对角线 BD,AC 的三等分点,$\therefore OD=OC,∠ EOF=90°,∠ ODC=∠ OCD=45°,DE=CF.\therefore OE=OF.\therefore ∠ OFE=45°$。由题知$\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}.\because AB// CD,\therefore$ 易得$△ ABE∽△ GDE.\therefore \frac{DG}{AB}=\frac{DE}{BE}=\frac{1}{2}.\therefore DG=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}CD.\therefore DG=CG.\therefore △ DEG≌△ CFG.\therefore GE=GF$。$\therefore ∠ GEF=\frac{1}{2}(180°-∠ AGF)=90°-\frac{1}{2}α.\therefore ∠ FAG=∠ GEF-∠ AFE=90°-\frac{1}{2}α-45°=45°-\frac{1}{2}α=\frac{90°-α}{2}$。

10. ★★ 新趋势学科内综合 如图，在平面直角坐标系$xOy$中，一次函数$y=\frac{1}{2}x+2$的图象分别交$x$轴、$y$轴于$A$，$B$两点，过该函数图象上一点$C(4,4)$作$CD⊥ x$轴于点$D$，点$E$是线段$AB$上一动点，连接$BD$，$EO$，若以$B$，$E$，$O$为顶点的三角形与$△ BCD$相似，则点$E$的坐标为。

10. $(-\frac{8}{5},\frac{6}{5})$或$(-2,1)$ 【点拨】当 $y=0$ 时,$\frac{1}{2}x+2=0$,解得 $x=-4,\therefore A(-4,0)$。当 $x=0$ 时,$y=\frac{1}{2}x+2=2$,$\therefore B(0,2)$。如图,过点 $B$ 作 $BF⊥ CD$,垂足为 $F$. $\because C(4,4),CD⊥ x$ 轴,$\therefore OD=4,CD=4,\therefore$ 易得 $BF=4,CF=2,\therefore BC=\sqrt{4^2+2^2}=2\sqrt{5}$。$\because CD// OB,\therefore ∠ EBO=∠ BCD$。设 $E(t,\frac{1}{2}t+2)(-4＜t＜0)$。若以 $B,E,O$ 为顶点的三角形与 $△ BCD$ 相似,则有以下两种情况:①当$\frac{BE}{CB}=\frac{BO}{CD}$时,$△ BEO∽△ CBD$,即$\frac{BE}{2\sqrt{5}}=\frac{2}{4}$,解得 $BE=\sqrt{5},\therefore t^2+(\frac{1}{2}t+2-2)^2=5$,解得 $t_1=2$(舍去),$t_2=-2$,此时 $E$ 点坐标为 $(-2,1)$。②当$\frac{BE}{CD}=\frac{BO}{CB}$时,$△ BEO∽△ CDB$,即$\frac{BE}{4}=\frac{2}{2\sqrt{5}}$,解得 $BE=\frac{4\sqrt{5}}{5}$,$\therefore t^2+(\frac{1}{2}t+2-2)^2=\frac{16}{5}$,解得 $t_1=\frac{8}{5}$(舍去),$t_2=-\frac{8}{5}$,此时 $E$ 点坐标为 $(-\frac{8}{5},\frac{6}{5})$。综上所述,$E$ 点的坐标为 $(-\frac{8}{5},\frac{6}{5})$或$(-2,1)$。
【点易错】对于两个三角形相似,若没有确定对应边或对应角,则需要分情况讨论。