6. 如图,弦CD垂直于$\odot O$的直径AB,垂足为H,且$CD=2\sqrt{2}$,$BD=\sqrt{3}$,求AB的长. (第6题)

3

【分析】
首先观察图形特征：AB是⊙O的直径且垂直于弦CD，优先运用垂径定理得到CD被AB平分，先求出HD的长度；接着在直角三角形BHD中用勾股定理算出BH的长度；要求直径AB，可设圆的半径为r，利用圆的半径相等可得OD=r，OH=r-BH，再在直角三角形OHD中用勾股定理列方程求解r，最后根据直径是半径的2倍即可求出AB的长。
【解析】
解：
∵AB是⊙O的直径，AB⊥CD，
∴由垂径定理得：$HD=\frac{1}{2}CD=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}$。
在Rt△BHD中，$BD=\sqrt{3}$，$HD=\sqrt{2}$，由勾股定理得：
$BH=\sqrt{BD^2 - HD^2}=\sqrt{(\sqrt{3})^2 - (\sqrt{2})^2}=\sqrt{3-2}=1$。
设⊙O的半径为r，则$OD=OB=r$，$OH=OB - BH=r-1$。
在Rt△OHD中，由勾股定理得：$OH^2 + HD^2 = OD^2$，
代入数值：$(r-1)^2 + (\sqrt{2})^2 = r^2$，
展开化简：$r^2 - 2r +1 +2 = r^2$，
即$-2r +3=0$，解得$r=\frac{3}{2}$，
∴$AB=2r=2×\frac{3}{2}=3$。
【答案】
3
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的半径性质
【点评】
本题是圆的基础计算题，核心考查垂径定理与勾股定理的结合应用，通过设半径建立方程求解的思路在圆的相关计算中非常常用，需要熟练掌握。
【难度系数】
0.7

7. 如图，$\odot O$的直径AB和弦CD相交于点E，AE＝1 cm，EB＝5 cm，$∠ DEB＝60°$，求CD的长.
（第7题）

$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$

【分析】
要求弦CD的长，我们可以利用垂径定理，过圆心作CD的垂线，将CD转化为两倍的半弦长，再结合直角三角形的性质和勾股定理求解。第一步先根据已知的AE、EB长度求出圆的半径和OE的长度；第二步构造垂直于CD的垂线，得到两个直角三角形；第三步利用60°角的性质求出圆心到CD的距离；第四步在含半径的直角三角形中用勾股定理求出半弦长，进而得到CD的总长度。
【解析】
解：
∵AE=1cm，EB=5cm，
∴直径AB=AE+EB=6cm，
∴$\odot O$的半径$OD=OA=\frac{1}{2}AB=3\mathrm{cm}$，
∴$OE=OA-AE=3-1=2\mathrm{cm}$。
过点O作$OF⊥ CD$于点F，根据垂径定理可得：$CF=DF$，即$CD=2DF$。
在$\mathrm{Rt}△ OEF$中，$∠ OEF=∠ DEB=60°$，
∴$∠ EOF=30°$，
∴$EF=\frac{1}{2}OE=1\mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$OF=\sqrt{OE^2-EF^2}=\sqrt{2^2-1^2}=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$。
在$\mathrm{Rt}△ ODF$中，$OD=3\mathrm{cm}$，$OF=\sqrt{3}\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$DF=\sqrt{OD^2-OF^2}=\sqrt{3^2-(\sqrt{3})^2}=\sqrt{9-3}=\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$，
∴$CD=2DF=2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$。
【答案】
$2\sqrt{6}\ \mathrm{cm}$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，含30°角的直角三角形性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的常规题型，解题关键是通过作圆心到弦的垂线构造直角三角形，将弦长问题转化为直角三角形的边长求解问题，同时要熟练掌握特殊直角三角形的性质和垂径定理的应用。
【难度系数】
0.6