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3. 已知$\odot O$的半径为5，弦$AB=8$，P是弦AB上任意一点，则OP的取值范围是
$3≤ OP≤5$
。（第2题）答案
$3≤ OP≤5$
解析
【分析】
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最小值和最大值：①根据点到直线的所有线段中垂线段最短，可知OP的最小值是圆心O到弦AB的垂线段长度；②当P与弦AB的端点A或B重合时，OP长度等于圆的半径，此时OP最大。接下来用垂径定理和勾股定理计算垂线段的长度，就能得到取值范围。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AB$于点M，
根据垂径定理，得：$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$，
在$Rt△ OAM$中，$OA=5$，$AM=4$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
∵P是弦AB上任意一点，
∴当P与垂足M重合时，OP取最小值3；当P与端点A（或B）重合时，OP取最大值5，
因此OP的取值范围是$3 ≤ OP ≤ 5$。
【答案】
$3 ≤ OP ≤ 5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆的基础题型，解题的关键是明确线段最值对应的点的位置，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，这类题型常用来考查对垂径定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
要确定OP的取值范围，需先找到OP的最小值和最大值：①根据点到直线的所有线段中垂线段最短，可知OP的最小值是圆心O到弦AB的垂线段长度；②当P与弦AB的端点A或B重合时，OP长度等于圆的半径，此时OP最大。接下来用垂径定理和勾股定理计算垂线段的长度，就能得到取值范围。
【解析】
过点O作$OM ⊥ AB$于点M，
根据垂径定理，得：$AM=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2} × 8=4$，
在$Rt△ OAM$中，$OA=5$，$AM=4$，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3$。
∵P是弦AB上任意一点，
∴当P与垂足M重合时，OP取最小值3；当P与端点A（或B）重合时，OP取最大值5，
因此OP的取值范围是$3 ≤ OP ≤ 5$。
【答案】
$3 ≤ OP ≤ 5$
【知识点】
垂径定理，勾股定理，垂线段最短
【点评】
本题是圆的基础题型，解题的关键是明确线段最值对应的点的位置，结合垂径定理和勾股定理即可快速求解，这类题型常用来考查对垂径定理的理解和运用能力。
【难度系数】
0.8
4. 已知$\odot O$的半径为5 cm，弦$AB=8$ cm，求弦$AB$的中点到它所对的弧的中点之间的距离.
答案
2 cm 或 8 cm
解析
【分析】
解题时首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。首先明确弦AB对应两条弧：劣弧AB和优弧AB，因此需要分两种情况计算距离。解题步骤如下：①作辅助线：过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理，垂足就是AB的中点M，该垂线与劣弧AB、优弧AB的交点分别对应两条弧的中点；②在直角三角形中用勾股定理计算圆心到弦AB的距离；③分别计算劣弧中点、优弧中点到AB中点的距离即可。
【解析】
解：设弦AB的中点为M，AB所对的劣弧中点为C，优弧中点为D。
连接OA，过O作$OM ⊥ AB$于M，根据垂径定理，直线OM必过点C和点D。
已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
$\odot O$半径$OA=OC=OD=5\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$，
①当求M到劣弧AB中点C的距离时：
$MC=OC - OM=5 - 3=2\ \mathrm{cm}$；
②当求M到优弧AB中点D的距离时：
$MD=OD + OM=5 + 3=8\ \mathrm{cm}$。
综上，弦AB的中点到它所对的弧的中点之间的距离为2cm或8cm。
【答案】
2 cm 或 8 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略弦所对的弧有优弧和劣弧两种情况，导致漏解。解题时需结合垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解，重点考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
解题时首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。首先明确弦AB对应两条弧：劣弧AB和优弧AB，因此需要分两种情况计算距离。解题步骤如下：①作辅助线：过圆心O作AB的垂线，根据垂径定理，垂足就是AB的中点M，该垂线与劣弧AB、优弧AB的交点分别对应两条弧的中点；②在直角三角形中用勾股定理计算圆心到弦AB的距离；③分别计算劣弧中点、优弧中点到AB中点的距离即可。
【解析】
解：设弦AB的中点为M，AB所对的劣弧中点为C，优弧中点为D。
连接OA，过O作$OM ⊥ AB$于M，根据垂径定理，直线OM必过点C和点D。
已知$AB=8\ \mathrm{cm}$，$\therefore AM=\frac{1}{2}AB=4\ \mathrm{cm}$，
$\odot O$半径$OA=OC=OD=5\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAM$中，由勾股定理得：
$OM=\sqrt{OA^2 - AM^2}=\sqrt{5^2 - 4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$，
①当求M到劣弧AB中点C的距离时：
$MC=OC - OM=5 - 3=2\ \mathrm{cm}$；
②当求M到优弧AB中点D的距离时：
$MD=OD + OM=5 + 3=8\ \mathrm{cm}$。
综上，弦AB的中点到它所对的弧的中点之间的距离为2cm或8cm。
【答案】
2 cm 或 8 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，分类讨论思想
【点评】
本题易错点是忽略弦所对的弧有优弧和劣弧两种情况，导致漏解。解题时需结合垂径定理构造直角三角形，利用勾股定理求解，重点考查思维的严谨性。
【难度系数】
0.7
1. 如图，在$\odot O$中，弦$AB=1$，点$C$在$AB$上移动，连接$OC$，过点$C$作$CD ⊥ OC$交$\odot O$于点$D$，则$CD$的最大值为________。
答案
$\dfrac{1}{2}$
解析
【分析】
要解决CD的最大值问题，我们可以先连接OD构造直角三角形，借助勾股定理表示出CD与OC、OD的关系：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$。由于OD是圆的半径为定值，因此CD的最大值对应OC的最小值。根据垂线段最短的性质，当OC垂直于AB时OC最短，此时结合CD与AB的位置关系即可求出CD的最大值。
【解析】
解：连接OD，
∵ $CD⊥OC$，
∴ $∠OCD=90°$，△OCD为直角三角形，
由勾股定理得：$CD^2 + OC^2 = OD^2$，即$ CD=\sqrt{OD^2 - OC^2} $。
∵ OD是⊙O的半径，为定值，
∴ 要使CD取得最大值，需使OC的长度最小。
根据垂线段最短的性质，当$OC⊥AB$时，OC的长度最小。
此时$OC⊥AB$，又$OC⊥CD$，因此CD与AB共线，C为AB中点，
∴ $ CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2} $，即CD的最大值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，解题关键是将CD的最值转化为OC的最值问题，需要学生熟练掌握圆的性质、勾股定理和最值转化的思路，能较好地考查综合分析能力。
【难度系数】
0.6
要解决CD的最大值问题，我们可以先连接OD构造直角三角形，借助勾股定理表示出CD与OC、OD的关系：$CD=\sqrt{OD^2-OC^2}$。由于OD是圆的半径为定值，因此CD的最大值对应OC的最小值。根据垂线段最短的性质，当OC垂直于AB时OC最短，此时结合CD与AB的位置关系即可求出CD的最大值。
【解析】
解：连接OD，
∵ $CD⊥OC$，
∴ $∠OCD=90°$，△OCD为直角三角形，
由勾股定理得：$CD^2 + OC^2 = OD^2$，即$ CD=\sqrt{OD^2 - OC^2} $。
∵ OD是⊙O的半径，为定值，
∴ 要使CD取得最大值，需使OC的长度最小。
根据垂线段最短的性质，当$OC⊥AB$时，OC的长度最小。
此时$OC⊥AB$，又$OC⊥CD$，因此CD与AB共线，C为AB中点，
∴ $ CD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×1=\frac{1}{2} $，即CD的最大值为$\frac{1}{2}$。
【答案】
$\dfrac{1}{2}$
【知识点】
垂径定理；勾股定理；垂线段最短
【点评】
本题是圆中最值问题的典型题型，解题关键是将CD的最值转化为OC的最值问题，需要学生熟练掌握圆的性质、勾股定理和最值转化的思路，能较好地考查综合分析能力。
【难度系数】
0.6
2. 如图，已知四边形 ADEH 是矩形，AB=2 cm，HG=3 cm，FG=5 cm，则 BC 的长是 （
A.3.5 cm
B.4 cm
C.7 cm
D.11 cm
C
）A.3.5 cm
B.4 cm
C.7 cm
D.11 cm
答案
C
解析
【分析】
要解决这个问题，我们可以结合垂径定理和矩形的性质求解。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。题目中圆截矩形的上下两条边得到两条弦，我们可以过圆心作这两条弦的垂线，利用垂径定理平分弦的性质求出相关线段长度，再结合矩形对边相等的性质，转化得到BC一半的长度，最后求出BC的总长。
【解析】
过点O作$OM ⊥ GF$于点M，延长MO交BC于点N。
$\because$ 四边形ADEH是矩形，$\therefore HE // AD$，$∠ A=90°$，
$\therefore MN ⊥ AD$，且四边形ABMH是矩形，$\therefore AN=HM$。
根据垂径定理，$GM=\frac{1}{2}GF=\frac{1}{2} × 5=2.5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore HM=HG+GM=3+2.5=5.5\ \mathrm{cm}$，即$AN=5.5\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore BN=AN-AB=5.5-2=3.5\ \mathrm{cm}$。
又$\because ON ⊥ BC$，由垂径定理得$BC=2BN=2 × 3.5=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的典型题型，解题关键是过圆心作弦的垂线构造符合垂径定理的条件，再利用矩形对边相等的性质转化线段长度，掌握这类辅助线的作法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
要解决这个问题，我们可以结合垂径定理和矩形的性质求解。首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。题目中圆截矩形的上下两条边得到两条弦，我们可以过圆心作这两条弦的垂线，利用垂径定理平分弦的性质求出相关线段长度，再结合矩形对边相等的性质，转化得到BC一半的长度，最后求出BC的总长。
【解析】
过点O作$OM ⊥ GF$于点M，延长MO交BC于点N。
$\because$ 四边形ADEH是矩形，$\therefore HE // AD$，$∠ A=90°$，
$\therefore MN ⊥ AD$，且四边形ABMH是矩形，$\therefore AN=HM$。
根据垂径定理，$GM=\frac{1}{2}GF=\frac{1}{2} × 5=2.5\ \mathrm{cm}$，
$\therefore HM=HG+GM=3+2.5=5.5\ \mathrm{cm}$，即$AN=5.5\ \mathrm{cm}$。
$\because AB=2\ \mathrm{cm}$，$\therefore BN=AN-AB=5.5-2=3.5\ \mathrm{cm}$。
又$\because ON ⊥ BC$，由垂径定理得$BC=2BN=2 × 3.5=7\ \mathrm{cm}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；矩形的性质
【点评】
本题是圆与矩形结合的典型题型，解题关键是过圆心作弦的垂线构造符合垂径定理的条件，再利用矩形对边相等的性质转化线段长度，掌握这类辅助线的作法是解决此类问题的核心。
【难度系数】
0.7
