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3. 如图，AB是$\odot O$的直径，$∠ AEC=45°$，$OF⊥ CD$，F为垂足，若$OF=1\ \mathrm{cm}$，$ED=2\ \mathrm{cm}$，则CD的长是 （
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
（第3题）
D
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
（第3题）答案
D
解析
【分析】
解题时先观察已知条件：OF垂直于弦CD，首先想到垂径定理，可得OF平分CD，即CD=2DF，因此只需求出DF的长度即可。已知∠AEC=45°，结合对顶角相等可得△OEF中∠OEF=45°，再结合OF⊥CD，可判定△OEF是等腰直角三角形，求出EF的长度，再结合ED的长度就能求出DF，最终得到CD的长度。
【解析】
解：
∵OF⊥CD，OF过圆心O
∴根据垂径定理，CF=DF，即CD=2DF
∵AB与CD交于点E
∴∠OEF=∠AEC=45°（对顶角相等）
又
∵∠OFE=90°
∴△OEF为等腰直角三角形
∴EF=OF=1cm
∵ED=2cm
∴DF=ED + EF=2+1=3cm
∴CD=2DF=2×3=6cm
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，等腰直角三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，将垂径定理和等腰直角三角形的性质结合考查，解题关键是利用角度关系推出EF的长度，再结合垂径定理求出弦长，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
解题时先观察已知条件：OF垂直于弦CD，首先想到垂径定理，可得OF平分CD，即CD=2DF，因此只需求出DF的长度即可。已知∠AEC=45°，结合对顶角相等可得△OEF中∠OEF=45°，再结合OF⊥CD，可判定△OEF是等腰直角三角形，求出EF的长度，再结合ED的长度就能求出DF，最终得到CD的长度。
【解析】
解：
∵OF⊥CD，OF过圆心O
∴根据垂径定理，CF=DF，即CD=2DF
∵AB与CD交于点E
∴∠OEF=∠AEC=45°（对顶角相等）
又
∵∠OFE=90°
∴△OEF为等腰直角三角形
∴EF=OF=1cm
∵ED=2cm
∴DF=ED + EF=2+1=3cm
∴CD=2DF=2×3=6cm
【答案】
D
【知识点】
垂径定理，等腰直角三角形的性质，对顶角相等
【点评】
本题是圆中弦长计算的典型题，将垂径定理和等腰直角三角形的性质结合考查，解题关键是利用角度关系推出EF的长度，再结合垂径定理求出弦长，注重对基础定理应用能力的考查。
【难度系数】
0.7
4. 如图,同心圆中大圆的弦AB交小圆于C,D两点,若$AC=3\ \mathrm{cm}$,则BD的长是 （
A.4 cm
B.3 cm
C.7 cm
D.1 cm
B
）A.4 cm
B.3 cm
C.7 cm
D.1 cm
答案
B
解析
【分析】
遇到圆中与弦相关的线段长度问题，优先考虑用垂径定理求解。本题是同心圆背景下的弦的问题，我们可以过圆心作弦AB的垂线作为辅助线，依据垂径定理分别得到大圆中AB被垂足平分、小圆中CD被垂足平分，再通过线段差的等量关系推导AC和BD的数量关系，即可求出BD的长度。
【解析】
解：过圆心O作$OE⊥ AB$，垂足为E。
根据垂径定理：
1. 在大圆中，$\because OE⊥ AB$，$\therefore AE=BE$；
2. 在小圆中，$\because OE⊥ CD$，$\therefore CE=DE$。
将两个等式相减可得：$AE-CE=BE-DE$，即$AC=BD$。
已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，因此$BD=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；线段和差计算
【点评】
本题属于垂径定理应用的基础题型，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一圆中常用辅助线的作法，结合垂径定理得到相等线段后即可快速推导出所求线段的长度。
【难度系数】
0.8
遇到圆中与弦相关的线段长度问题，优先考虑用垂径定理求解。本题是同心圆背景下的弦的问题，我们可以过圆心作弦AB的垂线作为辅助线，依据垂径定理分别得到大圆中AB被垂足平分、小圆中CD被垂足平分，再通过线段差的等量关系推导AC和BD的数量关系，即可求出BD的长度。
【解析】
解：过圆心O作$OE⊥ AB$，垂足为E。
根据垂径定理：
1. 在大圆中，$\because OE⊥ AB$，$\therefore AE=BE$；
2. 在小圆中，$\because OE⊥ CD$，$\therefore CE=DE$。
将两个等式相减可得：$AE-CE=BE-DE$，即$AC=BD$。
已知$AC=3\ \mathrm{cm}$，因此$BD=3\ \mathrm{cm}$。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；线段和差计算
【点评】
本题属于垂径定理应用的基础题型，解题关键是掌握“过圆心作弦的垂线”这一圆中常用辅助线的作法，结合垂径定理得到相等线段后即可快速推导出所求线段的长度。
【难度系数】
0.8
5. 如图是一个水平放置的圆柱形水管的横截面示意图，已知水面高 $CD=(2+\sqrt{2})\ \mathrm{m}$，水面宽 $AB=2\sqrt{2}\ \mathrm{m}$，求水管的内径。
答案
4 m
解析
【分析】
本题是垂径定理的实际应用类题型，解题思路如下：1. 首先连接半径OA，构造出直角三角形；2. 利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可求出弦AB的一半AC的长度；3. 设圆的半径为r，用含r的代数式表示出圆心O到弦AB的距离OC；4. 在直角三角形OAC中应用勾股定理列方程，求解出半径后乘以2即为水管的内径。
【解析】
连接OA，
∵ CD过圆心O且CD⊥AB，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
设水管的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=r\ \mathrm{m}$，$OD=r\ \mathrm{m}$，
∴ 圆心到AB的距离$OC=CD-OD=(2+\sqrt{2}-r)\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$
代入数值：$r^2=(2+\sqrt{2}-r)^2+(\sqrt{2})^2$
展开整理得：
$r^2=(2+\sqrt{2})^2-2(2+\sqrt{2})r+r^2+2$
消去两边$r^2$后计算得：
$2(2+\sqrt{2})r=8+4\sqrt{2}$
$2(2+\sqrt{2})r=4(2+\sqrt{2})$
解得$r=2$
∴ 水管的内径为$2r=2×2=4\ \mathrm{m}$
【答案】
4 m
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，渗透了方程思想与数形结合思想，是圆章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理的实际应用类题型，解题思路如下：1. 首先连接半径OA，构造出直角三角形；2. 利用垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可求出弦AB的一半AC的长度；3. 设圆的半径为r，用含r的代数式表示出圆心O到弦AB的距离OC；4. 在直角三角形OAC中应用勾股定理列方程，求解出半径后乘以2即为水管的内径。
【解析】
连接OA，
∵ CD过圆心O且CD⊥AB，根据垂径定理可得：
$AC=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×2\sqrt{2}=\sqrt{2}\ \mathrm{m}$
设水管的半径为$r\ \mathrm{m}$，则$OA=r\ \mathrm{m}$，$OD=r\ \mathrm{m}$，
∴ 圆心到AB的距离$OC=CD-OD=(2+\sqrt{2}-r)\ \mathrm{m}$
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，由勾股定理得：$OA^2=OC^2+AC^2$
代入数值：$r^2=(2+\sqrt{2}-r)^2+(\sqrt{2})^2$
展开整理得：
$r^2=(2+\sqrt{2})^2-2(2+\sqrt{2})r+r^2+2$
消去两边$r^2$后计算得：
$2(2+\sqrt{2})r=8+4\sqrt{2}$
$2(2+\sqrt{2})r=4(2+\sqrt{2})$
解得$r=2$
∴ 水管的内径为$2r=2×2=4\ \mathrm{m}$
【答案】
4 m
【知识点】
垂径定理；勾股定理；圆的基本性质
【点评】
本题结合生活实际考查圆的相关计算，解题关键是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理列方程求解，渗透了方程思想与数形结合思想，是圆章节的典型基础应用题。
【难度系数】
0.7
1. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点$E$，则下列结论正确的是 （
A.$OE=BE$
B.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
C.$△ BOC$是等边三角形
D.四边形$ODBC$是菱形
B
）A.$OE=BE$
B.$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$
C.$△ BOC$是等边三角形
D.四边形$ODBC$是菱形
答案
B
解析
【分析】
解决这道题的核心是运用垂径定理逐一排查选项，解题思路如下：首先明确已知条件：AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于$E$，回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。接下来逐个判断选项：
1. 选项A：题干仅给出$CD⊥ AB$，没有信息表明E是OB的中点，无法推出$OE=BE$，排除A；
2. 选项B：根据垂径定理，直径AB垂直弦CD，那么AB平分CD所对的劣弧，因此$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，该选项符合定理内容；
3. 选项C：等边三角形需要满足三边相等或有一个内角为$60°$的等腰三角形，题干没有给出对应角度或边长关系，无法判定$△ BOC$是等边三角形，排除C；
4. 选项D：菱形需要对角线互相垂直平分，本题仅可知$CD⊥ OB$，但无法证明OB与CD互相平分（即无法证明$OE=BE$），因此不能判定四边形ODBC是菱形，排除D。综上即可得到正确答案。
【解析】
已知AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此B选项正确。
其余选项错误原因：
A选项：无条件证明E是OB中点，无法推出$OE=BE$；
C选项：无对应角度、边长条件，无法判定$△ BOC$是等边三角形；
D选项：无法证明OB与CD互相平分，不能判定四边形ODBC是菱形。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；弧的性质；特殊四边形判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查垂径定理的直接应用，解题时要严格依据题干给出的条件分析，不要自行添加题目未说明的条件，逐一排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.85
解决这道题的核心是运用垂径定理逐一排查选项，解题思路如下：首先明确已知条件：AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于$E$，回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧。接下来逐个判断选项：
1. 选项A：题干仅给出$CD⊥ AB$，没有信息表明E是OB的中点，无法推出$OE=BE$，排除A；
2. 选项B：根据垂径定理，直径AB垂直弦CD，那么AB平分CD所对的劣弧，因此$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，该选项符合定理内容；
3. 选项C：等边三角形需要满足三边相等或有一个内角为$60°$的等腰三角形，题干没有给出对应角度或边长关系，无法判定$△ BOC$是等边三角形，排除C；
4. 选项D：菱形需要对角线互相垂直平分，本题仅可知$CD⊥ OB$，但无法证明OB与CD互相平分（即无法证明$OE=BE$），因此不能判定四边形ODBC是菱形，排除D。综上即可得到正确答案。
【解析】
已知AB是$\odot O$的直径，弦$CD⊥ AB$于点E，根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，可得$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，因此B选项正确。
其余选项错误原因：
A选项：无条件证明E是OB中点，无法推出$OE=BE$；
C选项：无对应角度、边长条件，无法判定$△ BOC$是等边三角形；
D选项：无法证明OB与CD互相平分，不能判定四边形ODBC是菱形。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；弧的性质；特殊四边形判定
【点评】
本题属于基础题，主要考查垂径定理的直接应用，解题时要严格依据题干给出的条件分析，不要自行添加题目未说明的条件，逐一排除错误选项即可快速得到答案。
【难度系数】
0.85
2. 如图，已知$\odot O$的直径$AB⊥ CD$于点$E$，则下列结论不一定正确的是 （
A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$BC=BD$
D.$△ OCE≌△ ODE$
B
）A.$CE=DE$
B.$AE=OE$
C.$BC=BD$
D.$△ OCE≌△ ODE$
答案
B
解析
【分析】
本题考查垂径定理的应用，解题思路如下：首先明确已知条件：AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥$弦$CD$于点$E$，先依据垂径定理推导得出弦、弧的相关等量关系，再逐一分析每个选项的结论是否一定成立，找不到必然成立依据的即为答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知直径$AB⊥ CD$，因此$CE=DE$，该结论一定成立；
B选项：题干仅给出$AB⊥ CD$，没有给出$CD$平分$OA$的相关条件，$E$点位置不一定是$OA$的中点，因此$AE=OE$不一定成立；
C选项：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，因此$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，同圆中等弧对等弦，故$BC=BD$，该结论一定成立；
D选项：在$\mathrm{Rt}△ OCE$和$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$OC=OD$（都是$\odot O$的半径），$OE=OE$（公共边），$CE=DE$（垂径定理结论），由SSS（或HL）可证$△ OCE≌△ ODE$，该结论一定成立。
综上，不一定正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定；等弧对等弦
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理的内容，解题时要注意所有结论都需要有已知条件支撑，不能主观臆断线段的等量关系。
【难度系数】
0.8
本题考查垂径定理的应用，解题思路如下：首先明确已知条件：AB是$\odot O$的直径，且$AB⊥$弦$CD$于点$E$，先依据垂径定理推导得出弦、弧的相关等量关系，再逐一分析每个选项的结论是否一定成立，找不到必然成立依据的即为答案。
【解析】
我们逐个分析选项：
A选项：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，已知直径$AB⊥ CD$，因此$CE=DE$，该结论一定成立；
B选项：题干仅给出$AB⊥ CD$，没有给出$CD$平分$OA$的相关条件，$E$点位置不一定是$OA$的中点，因此$AE=OE$不一定成立；
C选项：根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦所对的两条弧，因此$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$，同圆中等弧对等弦，故$BC=BD$，该结论一定成立；
D选项：在$\mathrm{Rt}△ OCE$和$\mathrm{Rt}△ ODE$中，$OC=OD$（都是$\odot O$的半径），$OE=OE$（公共边），$CE=DE$（垂径定理结论），由SSS（或HL）可证$△ OCE≌△ ODE$，该结论一定成立。
综上，不一定正确的是B选项。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；全等三角形判定；等弧对等弦
【点评】
本题属于基础题，核心考查垂径定理的内容，解题时要注意所有结论都需要有已知条件支撑，不能主观臆断线段的等量关系。
【难度系数】
0.8
3. 如图,已知在$\odot O$中,AB是弦,半径$OC⊥ AB$,垂足为D.要使四边形OACB为菱形,还需添加一个条件,这个条件可以是 （
A.$AD=BD$
B.$OD=CD$
C.$∠ CAD=∠ CBD$
D.$∠ OCA=∠ OCB$
B
）A.$AD=BD$
B.$OD=CD$
C.$∠ CAD=∠ CBD$
D.$∠ OCA=∠ OCB$
答案
B
解析
【分析】
首先整理已知条件：⊙O中半径OC垂直弦AB，由垂径定理可直接得到AD=BD、弧AC=弧BC，进而推出AC=BC，同时OA、OB都是圆的半径，故OA=OB，此时四边形OACB的对角线已满足互相垂直，且AB被OC平分。要判定四边形为菱形，根据菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，只需再满足OC被AB平分即可，即OD=CD，再逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
已知$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：$AD=BD$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因此$AC=BC$；又$OA$、$OB$、$OC$均为$\odot O$的半径，故$OA=OB$。
对各选项逐一判断：
A. $AD=BD$是垂径定理直接得出的结论，属于已知可得的性质，添加后无法证明四边形$OACB$为菱形，排除；
B. 若$OD=CD$，结合已得的$AD=BD$、$OC⊥ AB$，可知四边形$OACB$的对角线互相垂直且平分，根据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”，可判定四边形$OACB$为菱形，符合要求；
C. 由$AC=BC$可得$∠ CAD=∠ CBD$，该结论本身成立，添加后无法证明四边形为菱形，排除；
D. 由$OA=OB$、$OC=OC$、$AC=BC$可证$△ OAC≌△ OBC$，因此$∠ OCA=∠ OCB$本身成立，添加后无法证明四边形为菱形，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；菱形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题结合了圆的性质与菱形的判定，解题时需要先从已知条件推导得到已有的边、角关系，再结合菱形的判定条件验证选项，属于基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7
首先整理已知条件：⊙O中半径OC垂直弦AB，由垂径定理可直接得到AD=BD、弧AC=弧BC，进而推出AC=BC，同时OA、OB都是圆的半径，故OA=OB，此时四边形OACB的对角线已满足互相垂直，且AB被OC平分。要判定四边形为菱形，根据菱形的判定定理“对角线互相垂直平分的四边形是菱形”，只需再满足OC被AB平分即可，即OD=CD，再逐一验证选项即可得出答案。
【解析】
已知$OC⊥ AB$，根据垂径定理可得：$AD=BD$，$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，因此$AC=BC$；又$OA$、$OB$、$OC$均为$\odot O$的半径，故$OA=OB$。
对各选项逐一判断：
A. $AD=BD$是垂径定理直接得出的结论，属于已知可得的性质，添加后无法证明四边形$OACB$为菱形，排除；
B. 若$OD=CD$，结合已得的$AD=BD$、$OC⊥ AB$，可知四边形$OACB$的对角线互相垂直且平分，根据“对角线互相垂直且平分的四边形是菱形”，可判定四边形$OACB$为菱形，符合要求；
C. 由$AC=BC$可得$∠ CAD=∠ CBD$，该结论本身成立，添加后无法证明四边形为菱形，排除；
D. 由$OA=OB$、$OC=OC$、$AC=BC$可证$△ OAC≌△ OBC$，因此$∠ OCA=∠ OCB$本身成立，添加后无法证明四边形为菱形，排除。
综上，选B。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；菱形的判定；圆的基本性质
【点评】
本题结合了圆的性质与菱形的判定，解题时需要先从已知条件推导得到已有的边、角关系，再结合菱形的判定条件验证选项，属于基础的几何综合题。
【难度系数】
0.7
4. 如图，$\odot O$的直径$AB$垂直于弦$CD$，垂足是$E$，$∠ A=22.5°$，$OC=4$，$CD$的长为（
A.$2\sqrt{2}$
B.$4$
C.$4\sqrt{2}$
D.$8$
C
）A.$2\sqrt{2}$
B.$4$
C.$4\sqrt{2}$
D.$8$
答案
C
解析
【分析】
解题时先结合已知条件梳理思路：首先∠A是对应弧BC的圆周角，可利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数；其次直径AB垂直弦CD，可利用垂径定理得到CD=2CE，将求CD的长度转化为求CE的长度；最后在直角三角形OCE中，结合OC的长度和特殊角的三角函数值求出CE，即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵ 同弧BC所对的圆心角为∠BOC，圆周角为∠A，
∴ 根据圆周角定理可得：∠BOC=2∠A=2×22.5°=45°，
∵ 直径AB⊥弦CD，垂足为E，
∴ 根据垂径定理可得：CE=DE，且∠OEC=90°，
在Rt△OCE中，OC=4，∠COE=45°，
∴ $CE=OC·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
∴ $CD=2CE=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题核心是熟练运用圆周角定理和垂径定理，将弦长计算转化为直角三角形的边长计算，是圆章节的常见常考题型。
【难度系数】
0.7
解题时先结合已知条件梳理思路：首先∠A是对应弧BC的圆周角，可利用圆周角定理求出同弧所对的圆心角∠BOC的度数；其次直径AB垂直弦CD，可利用垂径定理得到CD=2CE，将求CD的长度转化为求CE的长度；最后在直角三角形OCE中，结合OC的长度和特殊角的三角函数值求出CE，即可得到CD的长。
【解析】
解：
∵ 同弧BC所对的圆心角为∠BOC，圆周角为∠A，
∴ 根据圆周角定理可得：∠BOC=2∠A=2×22.5°=45°，
∵ 直径AB⊥弦CD，垂足为E，
∴ 根据垂径定理可得：CE=DE，且∠OEC=90°，
在Rt△OCE中，OC=4，∠COE=45°，
∴ $CE=OC·\sin45°=4×\frac{\sqrt{2}}{2}=2\sqrt{2}$，
∴ $CD=2CE=2×2\sqrt{2}=4\sqrt{2}$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理；圆周角定理；特殊角的三角函数值
【点评】
本题属于圆的基础计算题，解题核心是熟练运用圆周角定理和垂径定理，将弦长计算转化为直角三角形的边长计算，是圆章节的常见常考题型。
【难度系数】
0.7
