5. 如图,已知在$\odot O$中,不平行的弦$AB=CD$,$M,N$分别是弦$AB$和$CD$的中点.求证:$∠ AMN=∠ CNM.$

证明:连接$OM,ON. \because$在$\odot O$中,$M,N$分别是弦$AB$和$CD$的中点，$\therefore OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. \because AB = CD, \therefore OM = ON, \therefore ∠ OMN = ∠ ONM. \because ∠ AMN = 90° - ∠ OMN, ∠ CNM=90° - ∠ ONM, \therefore ∠ AMN = ∠ CNM.$

【分析】
要证明∠AMN=∠CNM，可按以下思路推导：首先回忆圆的相关性质，弦的中点与圆心的连线垂直于该弦，因此先连接OM、ON，可得到OM⊥AB、ON⊥CD；其次，已知AB=CD，在同圆中相等的弦对应的弦心距相等，因此OM=ON，可得△OMN为等腰三角形，即∠OMN=∠ONM；最后，∠AMN是90°与∠OMN的差，∠CNM是90°与∠ONM的差，根据等量减等量差相等，即可证明待求两角相等。
【解析】
证明：连接OM，ON。
∵ 在⊙O中，M，N分别是弦AB和CD的中点，
∴ 根据垂径定理的推论，OM⊥AB，ON⊥CD。
∵ AB=CD，同圆中相等的弦对应的弦心距相等，
∴ OM=ON，
∴ △OMN为等腰三角形，∠OMN=∠ONM。
∵ ∠AMN = 90° - ∠OMN，∠CNM = 90° - ∠ONM，
∴ ∠AMN = ∠CNM。
【答案】
证明:连接$OM,ON. \because$在$\odot O$中,$M,N$分别是弦$AB$和$CD$的中点，$\therefore OM ⊥ AB, ON ⊥ CD. \because AB = CD, \therefore OM = ON, \therefore ∠ OMN = ∠ ONM. \because ∠ AMN = 90° - ∠ OMN, ∠ CNM=90° - ∠ ONM, \therefore ∠ AMN = ∠ CNM.$
【知识点】
垂径定理；弦与弦心距的关系；等腰三角形的性质
【点评】
本题属于圆的基础证明题，核心考查圆中常用辅助线的构造方法，通过连接圆心与弦中点得到垂线，再结合弦、弦心距的等量关系和等腰三角形性质即可完成证明，是圆类几何题的典型基础考法。
【难度系数】
0.7

6. 如图，$\odot O$的半径$r=5\ \mathrm{cm}$，弦$AB=8\ \mathrm{cm}$，$C$是弧$AB$的中点.
（1）求弦$AC$的长；
（2）求作弧$AB$的四等分点.

(1) $2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$ (2) 略

【分析】
（1）求弦AC的长时，首先根据垂径定理的推论：弧的中点与圆心的连线垂直平分弧所对的弦，可得OC垂直平分AB，构造出两个直角三角形△OAD和△ACD，先在Rt△OAD中用勾股定理求出OD的长度，再求出CD的长度，最后在Rt△ACD中用勾股定理即可算出AC的长。
（2）要四等分弧AB，已知C是弧AB的中点，已经将弧AB分为相等的两段，只需再分别平分弧AC和弧BC，得到的两个分点与点C共同将弧AB四等分，可通过作角平分线或弦的垂直平分线的方法找到对应分点。
【解析】
（1）连接OA，
∵C是弧AB的中点，OC为⊙O的半径，
∴OC⊥AB，且$AD=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ OAD$中，$OA=r=5\ \mathrm{cm}$，$AD=4\ \mathrm{cm}$，
由勾股定理得：$OD=\sqrt{OA^2-AD^2}=\sqrt{5^2-4^2}=3\ \mathrm{cm}$，
∴$CD=OC-OD=5-3=2\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ ACD$中，由勾股定理得：
$AC=\sqrt{AD^2+CD^2}=\sqrt{4^2+2^2}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$。
（2）作法：
① 分别作∠AOC和∠BOC的角平分线，依次交弧AC、弧BC于点E、F；
② 点E、C、F即为弧AB的四等分点。（合理即可）
【答案】
(1) $2\sqrt{5}\ \mathrm{cm}$
(2) 略
【知识点】
垂径定理，勾股定理，弧的等分作图
【点评】
本题是圆章节的基础题型，重点考查垂径定理的实际应用，解题的核心是利用垂径定理构造直角三角形，结合勾股定理计算线段长度，作图题考查对弧等分概念的理解，难度较低。
【难度系数】
0.7