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4. 如图,在半径为5的$\odot O$中,弦$AB=6$,$OP ⊥ AB$,垂足为$P$,则$OP$的长为（
A.3
B.2.5
C.4
D.3.5
（第4题）
C
）A.3
B.2.5
C.4
D.3.5
（第4题）答案
C
解析
【分析】
解题时首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。已知OP垂直AB，可先求出弦AB一半的长度；再连接半径OA，构造出直角三角形OPA，最后利用勾股定理计算OP的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵ OP⊥AB，AB=6，根据垂径定理可得：
$AP = \frac{1}{2}AB = 3$，
∵ ⊙O的半径为5，
∴ OA=5，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：
$OP^2 + AP^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆章节的基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，属于圆相关计算的常考基础题。
【难度系数】
0.8
解题时首先联想到垂径定理：垂直于弦的直径平分弦。已知OP垂直AB，可先求出弦AB一半的长度；再连接半径OA，构造出直角三角形OPA，最后利用勾股定理计算OP的长度即可。
【解析】
连接OA，
∵ OP⊥AB，AB=6，根据垂径定理可得：
$AP = \frac{1}{2}AB = 3$，
∵ ⊙O的半径为5，
∴ OA=5，
在Rt△OPA中，由勾股定理得：
$OP^2 + AP^2 = OA^2$，
代入数值计算：$OP = \sqrt{OA^2 - AP^2} = \sqrt{5^2 - 3^2} = \sqrt{25 - 9} = \sqrt{16} = 4$。
【答案】
C
【知识点】
垂径定理、勾股定理
【点评】
本题是圆章节的基础题型，核心考查垂径定理与勾股定理的结合运用，解题的关键是通过连接半径构造直角三角形，属于圆相关计算的常考基础题。
【难度系数】
0.8
5. 如图，$\odot O$ 的半径为13，弦AB的长度是24，$ON ⊥ AB$，垂足为N，则ON的长度为（
A.5
B.7
C.9
D.11
A
）A.5
B.7
C.9
D.11
答案
A
解析
【分析】
首先观察图形，已知圆的半径、弦长，且有垂直于弦的线段ON，解题思路如下：第一步，连接半径OA，构造直角三角形；第二步，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可求出弦AB的一半AN的长度；第三步，在直角三角形ONA中，利用勾股定理即可计算出ON的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OA是$\odot O$的半径，
∴OA=13，
∵$ON⊥ AB$，AB=24，
根据垂径定理可得：$AN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，
在$Rt△ ONA$中，$∠ ONA=90°$，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OA^2-AN^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题核心是利用垂径定理得到半弦长，再结合勾股定理求解弦心距，掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
首先观察图形，已知圆的半径、弦长，且有垂直于弦的线段ON，解题思路如下：第一步，连接半径OA，构造直角三角形；第二步，根据垂径定理，垂直于弦的直径平分弦，可求出弦AB的一半AN的长度；第三步，在直角三角形ONA中，利用勾股定理即可计算出ON的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OA是$\odot O$的半径，
∴OA=13，
∵$ON⊥ AB$，AB=24，
根据垂径定理可得：$AN=\frac{1}{2}AB=\frac{1}{2}×24=12$，
在$Rt△ ONA$中，$∠ ONA=90°$，由勾股定理得：
$ON=\sqrt{OA^2-AN^2}=\sqrt{13^2-12^2}=\sqrt{169-144}=\sqrt{25}=5$
故选：A。
【答案】
A
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆中线段计算的基础题型，解题核心是利用垂径定理得到半弦长，再结合勾股定理求解弦心距，掌握相关定理即可快速解题。
【难度系数】
0.8
6. 如图，在半径为5 cm的$\odot O$中，弦$AB=6$ cm，$OC⊥ AB$于点C，则OC的长为（
A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
B
）A.3 cm
B.4 cm
C.5 cm
D.6 cm
答案
B
解析
【分析】
解题时首先观察图形特征，已知OC垂直于弦AB，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可先求出弦AB一半的长度；再连接半径OA，可得△OAC为直角三角形，已知直角三角形的斜边（半径）和一条直角边（AC），即可通过勾股定理求出另一条直角边OC的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC⊥AB，AB=6 cm，
∴根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=3$ cm，
∵⊙O的半径为5 cm，
∴OA=5 cm，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$ cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查垂径定理与勾股定理的结合应用，熟练掌握垂径定理的内容，明确圆中半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
解题时首先观察图形特征，已知OC垂直于弦AB，首先回忆垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，因此可先求出弦AB一半的长度；再连接半径OA，可得△OAC为直角三角形，已知直角三角形的斜边（半径）和一条直角边（AC），即可通过勾股定理求出另一条直角边OC的长度。
【解析】
解：连接OA，
∵OC⊥AB，AB=6 cm，
∴根据垂径定理可得：$AC=\frac{1}{2}AB=3$ cm，
∵⊙O的半径为5 cm，
∴OA=5 cm，
在Rt△OAC中，由勾股定理得：
$OC=\sqrt{OA^2 - AC^2}=\sqrt{5^2 - 3^2}=\sqrt{25 - 9}=\sqrt{16}=4$ cm。
【答案】
B
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题属于基础题，主要考查垂径定理与勾股定理的结合应用，熟练掌握垂径定理的内容，明确圆中半径、弦心距、弦长一半构成直角三角形是解题的关键。
【难度系数】
0.8
1. 如图，AB是$\odot O$的弦，AB的长为8，P是$\odot O$上一个动点（不与点A，B重合），过点O作$OC⊥ AP$于点C，$OD⊥ PB$于点D，则CD的长为
（第1题）
4
。（第1题）答案
4
解析
【分析】
解题时先结合已知条件找线段的数量关系：已知OC⊥AP、OD⊥PB，且O是圆的圆心，根据垂径定理可推出C是AP的中点、D是PB的中点，由此可知CD是△APB的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵OC⊥AP，OC过圆心O，
∴由垂径定理可得：C是AP的中点，
同理，OD⊥PB，OD过圆心O，
∴D是PB的中点，
∴CD是△APB的中位线，
根据三角形中位线定理，得：$CD=\frac{1}{2}AB$，
∵AB=8，
∴$CD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是垂径定理和三角形中位线定理的综合基础题，解题的核心是通过垂径定理确定线段中点，进而得到中位线，熟练掌握两个定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.75
解题时先结合已知条件找线段的数量关系：已知OC⊥AP、OD⊥PB，且O是圆的圆心，根据垂径定理可推出C是AP的中点、D是PB的中点，由此可知CD是△APB的中位线，再根据三角形中位线定理即可求出CD的长度。
【解析】
解：
∵OC⊥AP，OC过圆心O，
∴由垂径定理可得：C是AP的中点，
同理，OD⊥PB，OD过圆心O，
∴D是PB的中点，
∴CD是△APB的中位线，
根据三角形中位线定理，得：$CD=\frac{1}{2}AB$，
∵AB=8，
∴$CD=\frac{1}{2}×8=4$。
【答案】
4
【知识点】
垂径定理，三角形中位线定理
【点评】
本题是垂径定理和三角形中位线定理的综合基础题，解题的核心是通过垂径定理确定线段中点，进而得到中位线，熟练掌握两个定理就能快速得出结果。
【难度系数】
0.75
2.如图,将$\odot O$沿弦$AB$折叠,使$\overset{\frown}{AB}$经过圆心$O$,则$∠ OAB=$
$30°$
.答案
$30°$
解析
【分析】
解决本题首先利用折叠的性质，折叠前后对应点到折痕的距离相等，可知圆心O到弦AB的距离为半径的$\frac{1}{2}$。接下来过圆心作弦AB的垂线，构造直角三角形，结合直角三角形中30°角的判定性质即可求出$∠ OAB$的度数。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，
$\because$将$\odot O$沿弦AB折叠后，$\overset{\frown}{AB}$经过圆心O，
$\therefore$由折叠的性质可得$OC=\frac{1}{2}OA$（OA为$\odot O$的半径）。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$∠ ACO=90°$，$OC=\frac{1}{2}OA$，
根据直角三角形的性质：若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为$30°$，可得$∠ OAB=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题将折叠变换与圆的知识结合，解题的突破口是根据折叠的性质推导出圆心到弦的距离与半径的数量关系，再结合直角三角形的性质求解，能很好地考查学生对几何变换和圆相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
解决本题首先利用折叠的性质，折叠前后对应点到折痕的距离相等，可知圆心O到弦AB的距离为半径的$\frac{1}{2}$。接下来过圆心作弦AB的垂线，构造直角三角形，结合直角三角形中30°角的判定性质即可求出$∠ OAB$的度数。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，
$\because$将$\odot O$沿弦AB折叠后，$\overset{\frown}{AB}$经过圆心O，
$\therefore$由折叠的性质可得$OC=\frac{1}{2}OA$（OA为$\odot O$的半径）。
在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，$∠ ACO=90°$，$OC=\frac{1}{2}OA$，
根据直角三角形的性质：若一条直角边等于斜边的一半，则这条直角边所对的锐角为$30°$，可得$∠ OAB=30°$。
【答案】
$30°$
【知识点】
垂径定理，折叠的性质，直角三角形的性质
【点评】
本题将折叠变换与圆的知识结合，解题的突破口是根据折叠的性质推导出圆心到弦的距离与半径的数量关系，再结合直角三角形的性质求解，能很好地考查学生对几何变换和圆相关性质的掌握程度。
【难度系数】
0.7
3. 如图，$\odot O$的直径$AB=12$，$CD$是$\odot O$的弦，$CD ⊥ AB$，垂足为$P$，且$BP:AP=1:5$，则$CD$的长为（
A.$4\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}$
D
）A.$4\sqrt{2}$
B.$8\sqrt{2}$
C.$2\sqrt{5}$
D.$4\sqrt{5}$
答案
D
解析
【分析】
遇到直径垂直于弦的题型，首先联想到垂径定理，可知直径平分对应弦，因此要求CD的长，只需求出半弦CP的长度再乘2即可。接下来先根据直径AB的长度和BP与AP的比例关系，求出BP、OP的长度，再连接半径OC构造直角三角形OPC，利用勾股定理求出CP的长度，即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=12$
∴$\odot O$的半径$OC=OB=OA=6$
∵$BP:AP=1:5$，且$AP+BP=AB=12$
∴$BP=12×\frac{1}{1+5}=2$
∴$OP=OB-BP=6-2=4$
∵$CD⊥ AB$，AB是直径
∴根据垂径定理得：$CP=DP=\frac{1}{2}CD$
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：
$CP=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
∴$CD=2CP=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础常考题，解题核心是熟练运用垂径定理，通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理求解半弦长，进而得到完整弦长。
【难度系数】
0.7
遇到直径垂直于弦的题型，首先联想到垂径定理，可知直径平分对应弦，因此要求CD的长，只需求出半弦CP的长度再乘2即可。接下来先根据直径AB的长度和BP与AP的比例关系，求出BP、OP的长度，再连接半径OC构造直角三角形OPC，利用勾股定理求出CP的长度，即可得到CD的长度。
【解析】
解：
∵AB是$\odot O$的直径，$AB=12$
∴$\odot O$的半径$OC=OB=OA=6$
∵$BP:AP=1:5$，且$AP+BP=AB=12$
∴$BP=12×\frac{1}{1+5}=2$
∴$OP=OB-BP=6-2=4$
∵$CD⊥ AB$，AB是直径
∴根据垂径定理得：$CP=DP=\frac{1}{2}CD$
在$Rt△ OPC$中，由勾股定理得：
$CP=\sqrt{OC^2-OP^2}=\sqrt{6^2-4^2}=\sqrt{36-16}=\sqrt{20}=2\sqrt{5}$
∴$CD=2CP=2×2\sqrt{5}=4\sqrt{5}$
故选：D
【答案】
D
【知识点】
垂径定理、勾股定理、圆的基本性质
【点评】
本题是圆中弦长计算的基础常考题，解题核心是熟练运用垂径定理，通过连接半径构造直角三角形，结合勾股定理求解半弦长，进而得到完整弦长。
【难度系数】
0.7
4. 如图,在$Rt△ ABC$中,$∠ ACB=90°$,$AC=3$,$BC=4$,以点C为圆心,CA为半径的圆与AB交于点D,则AD的长为 （
A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{24}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{5}{2}$
C
）A.$\frac{9}{5}$
B.$\frac{24}{5}$
C.$\frac{18}{5}$
D.$\frac{5}{2}$
答案
C
解析
【分析】
要求弦AD的长，可结合垂径定理求解：①先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；②过点C作CE⊥AB于E，根据垂径定理可得AD=2AE，只需求出AE的长度即可；③利用直角三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出高CE的长度；④在Rt△ACE中用勾股定理计算AE，进而得到AD的长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，
∵$CE$垂直于圆$C$的弦$AD$，根据垂径定理，得$AE=ED$，即$AD=2AE$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ACE$中，$∠ AEC=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$。
∴$AD=2AE=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；垂径定理；三角形面积计算
【点评】
本题是圆和直角三角形结合的基础综合题，解题关键是利用垂径定理作弦的垂线将弦长转化为两倍的线段长，结合面积法求直角三角形斜边上的高是常用的技巧，掌握相关定理和方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
要求弦AD的长，可结合垂径定理求解：①先利用勾股定理计算Rt△ABC的斜边AB的长度；②过点C作CE⊥AB于E，根据垂径定理可得AD=2AE，只需求出AE的长度即可；③利用直角三角形面积的两种计算方式（直角边乘积的一半、斜边乘斜边上高的一半）求出高CE的长度；④在Rt△ACE中用勾股定理计算AE，进而得到AD的长。
【解析】
在$Rt△ ABC$中，$∠ ACB=90°$，$AC=3$，$BC=4$，由勾股定理得：
$AB=\sqrt{AC^2+BC^2}=\sqrt{3^2+4^2}=5$。
过点$C$作$CE⊥ AB$于点$E$，
∵$CE$垂直于圆$C$的弦$AD$，根据垂径定理，得$AE=ED$，即$AD=2AE$。
由三角形面积公式，$S_{△ ABC}=\frac{1}{2}AC· BC=\frac{1}{2}AB· CE$，代入数值得：
$\frac{1}{2}×3×4=\frac{1}{2}×5× CE$，解得$CE=\frac{12}{5}$。
在$Rt△ ACE$中，$∠ AEC=90°$，由勾股定理得：
$AE=\sqrt{AC^2-CE^2}=\sqrt{3^2-(\frac{12}{5})^2}=\sqrt{9-\frac{144}{25}}=\sqrt{\frac{81}{25}}=\frac{9}{5}$。
∴$AD=2AE=2×\frac{9}{5}=\frac{18}{5}$。
【答案】
C
【知识点】
勾股定理；垂径定理；三角形面积计算
【点评】
本题是圆和直角三角形结合的基础综合题，解题关键是利用垂径定理作弦的垂线将弦长转化为两倍的线段长，结合面积法求直角三角形斜边上的高是常用的技巧，掌握相关定理和方法即可快速求解。
【难度系数】
0.7
5. 如图，$∠ PAC=30°$，在射线AC上顺次截取$AD=3\ \mathrm{cm}$，$DB=10\ \mathrm{cm}$，以BD为直径的$\odot O$交射线AP于E，F两点，求弦EF的长。
（第5题）
（第5题）答案
6 cm
解析
【分析】
要求弦EF的长度，可利用垂径定理求解：首先过圆心O作AP的垂线，将EF分为等长的两段，只需计算半段长度再乘2即可。第一步先确定⊙O的半径，BD为直径长度是10cm，因此半径为5cm；第二步计算AO的长度，AD=3cm，DO为半径5cm，因此AO=3+5=8cm；第三步结合∠PAC=30°，在直角三角形中利用30°角的性质求出圆心O到AP的距离；最后连接半径OE，用勾股定理计算半弦长，进而求出EF的总长度。
【解析】
解：过点O作$OG ⊥ AP$于点G，连接$OE$。
∵ $DB=10\ \mathrm{cm}$，且$BD$是$\odot O$的直径，
∴ $\odot O$的半径$OE=OD=\frac{1}{2}DB=5\ \mathrm{cm}$，
∵ $AD=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $AO=AD+OD=3+5=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AGO$中，$∠ PAC=30°$，
∴ $OG=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
根据垂径定理，$OG ⊥ EF$可得$EG=GF=\frac{1}{2}EF$，
在$\mathrm{Rt}△ OGE$中，由勾股定理得：
$EG=\sqrt{OE^2-OG^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $EF=2EG=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆章节的典型基础题，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的性质和直角三角形的性质结合起来求解，能很好地考查对垂径定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
要求弦EF的长度，可利用垂径定理求解：首先过圆心O作AP的垂线，将EF分为等长的两段，只需计算半段长度再乘2即可。第一步先确定⊙O的半径，BD为直径长度是10cm，因此半径为5cm；第二步计算AO的长度，AD=3cm，DO为半径5cm，因此AO=3+5=8cm；第三步结合∠PAC=30°，在直角三角形中利用30°角的性质求出圆心O到AP的距离；最后连接半径OE，用勾股定理计算半弦长，进而求出EF的总长度。
【解析】
解：过点O作$OG ⊥ AP$于点G，连接$OE$。
∵ $DB=10\ \mathrm{cm}$，且$BD$是$\odot O$的直径，
∴ $\odot O$的半径$OE=OD=\frac{1}{2}DB=5\ \mathrm{cm}$，
∵ $AD=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $AO=AD+OD=3+5=8\ \mathrm{cm}$，
在$\mathrm{Rt}△ AGO$中，$∠ PAC=30°$，
∴ $OG=\frac{1}{2}AO=\frac{1}{2}×8=4\ \mathrm{cm}$，
根据垂径定理，$OG ⊥ EF$可得$EG=GF=\frac{1}{2}EF$，
在$\mathrm{Rt}△ OGE$中，由勾股定理得：
$EG=\sqrt{OE^2-OG^2}=\sqrt{5^2-4^2}=\sqrt{9}=3\ \mathrm{cm}$，
∴ $EF=2EG=2×3=6\ \mathrm{cm}$。
【答案】
6 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理；含30°角的直角三角形的性质
【点评】
本题是圆章节的典型基础题，解题核心是通过作弦的垂线构造直角三角形，将圆的性质和直角三角形的性质结合起来求解，能很好地考查对垂径定理的理解和应用能力。
【难度系数】
0.7
