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3. 已知在$\odot O$中，弦AB的长为8 cm，圆心O到AB的距离为3 cm，则$\odot O$的半径是
5 cm
。答案
5 cm
解析
【分析】
遇到已知弦长、弦心距求圆半径的问题，首先结合垂径定理思考：过圆心作弦的垂线，垂足平分弦，因此可得到半弦长，此时半弦长、弦心距、圆的半径恰好构成直角三角形，再利用勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理可得：
$AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4\ \mathrm{cm}$，
由题意知$OC=3\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$，
代入数值计算得：$OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$，
即$\odot O$的半径为5 cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，核心是掌握“半径、弦心距、半弦长构成直角三角形”这一常用模型，熟练结合垂径定理和勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.9
遇到已知弦长、弦心距求圆半径的问题，首先结合垂径定理思考：过圆心作弦的垂线，垂足平分弦，因此可得到半弦长，此时半弦长、弦心距、圆的半径恰好构成直角三角形，再利用勾股定理即可求出半径长度。
【解析】
过点O作$OC⊥ AB$于点C，根据垂径定理可得：
$AC = BC = \frac{1}{2}AB = \frac{1}{2}×8 = 4\ \mathrm{cm}$，
由题意知$OC=3\ \mathrm{cm}$，在$\mathrm{Rt}△ OAC$中，根据勾股定理：
$OA^2 = OC^2 + AC^2$，
代入数值计算得：$OA = \sqrt{3^2 + 4^2} = \sqrt{25} = 5\ \mathrm{cm}$，
即$\odot O$的半径为5 cm。
【答案】
5 cm
【知识点】
垂径定理；勾股定理
【点评】
本题是圆相关计算的基础题型，核心是掌握“半径、弦心距、半弦长构成直角三角形”这一常用模型，熟练结合垂径定理和勾股定理求解即可。
【难度系数】
0.9
4. 在下列图形中，你能否利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧？
答案
解：
从左至右逐个分析：
1. 第一个图：
相等的线段：$AE=BE$，$CE=DE$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
2. 第二个图：
相等的线段：$AE=BE$；
相等的圆弧：弦$AB$所对的劣弧被直线$OE$平分，得到两段相等的劣弧；弦$AB$所对的优弧被直线$OE$平分，得到两段相等的优弧。
3. 第三个图：
相等的线段：$AE=BE$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，弦$AB$所对的另一条优弧被直线$CO$平分，得到两段相等的优弧。
4. 第四个图：
相等的线段：$CE=DE$，$OA=OB$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。
5. 第五个图：
垂直于弦$AB$的线段$CD$没有经过圆心，不满足垂径定理的条件，无法利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧。
从左至右逐个分析：
1. 第一个图：
相等的线段：$AE=BE$，$CE=DE$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
2. 第二个图：
相等的线段：$AE=BE$；
相等的圆弧：弦$AB$所对的劣弧被直线$OE$平分，得到两段相等的劣弧；弦$AB$所对的优弧被直线$OE$平分，得到两段相等的优弧。
3. 第三个图：
相等的线段：$AE=BE$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，弦$AB$所对的另一条优弧被直线$CO$平分，得到两段相等的优弧。
4. 第四个图：
相等的线段：$CE=DE$，$OA=OB$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。
5. 第五个图：
垂直于弦$AB$的线段$CD$没有经过圆心，不满足垂径定理的条件，无法利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧。
解析
【分析】
解题需先明确垂径定理的内容与应用条件：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；应用该定理需同时满足两个要求：①与弦垂直的直线经过圆心，②直线垂直于弦。我们逐个判断每个图形是否满足垂径定理的应用条件，再对应推导相等的线段与圆弧，不满足条件的图形则无法用垂径定理得到等量关系。
【解析】
从左至右逐个分析图形：
1. 第一个图：直径CD为过圆心的直线，且CD⊥弦AB，符合垂径定理条件，可得对应相等的线段和圆弧。
2. 第二个图：过圆心O的直线OE⊥弦AB，符合垂径定理条件，可得对应相等的线段和圆弧。
3. 第三个图：过圆心O的直线CO⊥弦AB，符合垂径定理条件，可得对应相等的线段和圆弧。
4. 第四个图：直径AB为过圆心的直线，与弦CD交于E，符合垂径定理条件，可得对应相等的线段和圆弧，另外OA、OB都是圆的半径，天然相等。
5. 第五个图：垂直于弦AB的线段CD没有经过圆心，不满足垂径定理的应用条件，无法用垂径定理得到等量关系。
【答案】
解：
从左至右逐个分析：
1. 第一个图：
相等的线段：$AE=BE$，$CE=DE$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
2. 第二个图：
相等的线段：$AE=BE$；
相等的圆弧：弦$AB$所对的劣弧被直线$OE$平分，得到两段相等的劣弧；弦$AB$所对的优弧被直线$OE$平分，得到两段相等的优弧。
3. 第三个图：
相等的线段：$AE=BE$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，弦$AB$所对的另一条优弧被直线$CO$平分，得到两段相等的优弧。
4. 第四个图：
相等的线段：$CE=DE$，$OA=OB$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。
5. 第五个图：
垂直于弦$AB$的线段$CD$没有经过圆心，不满足垂径定理的条件，无法利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧。
【知识点】
1.垂径定理
2.圆的基本性质
3.弦弧对应关系
【点评】
本题主要考查垂径定理的应用，核心是要抓住垂径定理的两个必备应用条件，只有同时满足“直线过圆心”和“直线垂直于弦”时，才能用垂径定理推导出对应的弦、弧等量关系，解题时要避免忽略前提条件误用定理。
【难度系数】
0.7
解题需先明确垂径定理的内容与应用条件：垂直于弦的直径平分弦，且平分弦所对的两条弧；应用该定理需同时满足两个要求：①与弦垂直的直线经过圆心，②直线垂直于弦。我们逐个判断每个图形是否满足垂径定理的应用条件，再对应推导相等的线段与圆弧，不满足条件的图形则无法用垂径定理得到等量关系。
【解析】
从左至右逐个分析图形：
1. 第一个图：直径CD为过圆心的直线，且CD⊥弦AB，符合垂径定理条件，可得对应相等的线段和圆弧。
2. 第二个图：过圆心O的直线OE⊥弦AB，符合垂径定理条件，可得对应相等的线段和圆弧。
3. 第三个图：过圆心O的直线CO⊥弦AB，符合垂径定理条件，可得对应相等的线段和圆弧。
4. 第四个图：直径AB为过圆心的直线，与弦CD交于E，符合垂径定理条件，可得对应相等的线段和圆弧，另外OA、OB都是圆的半径，天然相等。
5. 第五个图：垂直于弦AB的线段CD没有经过圆心，不满足垂径定理的应用条件，无法用垂径定理得到等量关系。
【答案】
解：
从左至右逐个分析：
1. 第一个图：
相等的线段：$AE=BE$，$CE=DE$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，$\overset{\frown}{AD}=\overset{\frown}{BD}$。
2. 第二个图：
相等的线段：$AE=BE$；
相等的圆弧：弦$AB$所对的劣弧被直线$OE$平分，得到两段相等的劣弧；弦$AB$所对的优弧被直线$OE$平分，得到两段相等的优弧。
3. 第三个图：
相等的线段：$AE=BE$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{BC}$，弦$AB$所对的另一条优弧被直线$CO$平分，得到两段相等的优弧。
4. 第四个图：
相等的线段：$CE=DE$，$OA=OB$；
相等的圆弧：$\overset{\frown}{AC}=\overset{\frown}{AD}$，$\overset{\frown}{BC}=\overset{\frown}{BD}$。
5. 第五个图：
垂直于弦$AB$的线段$CD$没有经过圆心，不满足垂径定理的条件，无法利用垂径定理找到相等的线段或相等的圆弧。
【知识点】
1.垂径定理
2.圆的基本性质
3.弦弧对应关系
【点评】
本题主要考查垂径定理的应用，核心是要抓住垂径定理的两个必备应用条件，只有同时满足“直线过圆心”和“直线垂直于弦”时，才能用垂径定理推导出对应的弦、弧等量关系，解题时要避免忽略前提条件误用定理。
【难度系数】
0.7
1. 如图，MN是$\odot O$的弦，正方形OABC的顶点B，C在MN上，且B是CM的中点，若正方形OABC的边长为7，则MN的长为________。
（第1题）
（第1题）答案
28
解析
【分析】
解题时先从已知条件入手：首先观察到正方形OABC的边OC垂直于BC，而BC在弦MN上，因此可得OC垂直于MN，此时可联想到垂径定理，得出垂足C是MN的中点，即MN=2MC；再结合“B是CM的中点”和正方形边长为7的条件，先求出MC的长度，进而就能求出MN的长。
【解析】
∵四边形OABC是正方形，边长为7，
∴OC⊥BC，OC=BC=7，
又
∵点B、C在弦MN上，
∴OC⊥MN，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得点C是MN的中点，即$MN=2MC$，
∵B是CM的中点，
∴$MC=2BC=2×7=14$，
∴$MN=2×14=28$。
【答案】
28
【知识点】
1. 垂径定理
2. 正方形的性质
【点评】
本题是圆的性质和特殊四边形性质结合的基础题，解题核心是先通过正方形性质得到圆心到弦的垂线，再利用垂径定理和中点的数量关系计算弦长，思路清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
解题时先从已知条件入手：首先观察到正方形OABC的边OC垂直于BC，而BC在弦MN上，因此可得OC垂直于MN，此时可联想到垂径定理，得出垂足C是MN的中点，即MN=2MC；再结合“B是CM的中点”和正方形边长为7的条件，先求出MC的长度，进而就能求出MN的长。
【解析】
∵四边形OABC是正方形，边长为7，
∴OC⊥BC，OC=BC=7，
又
∵点B、C在弦MN上，
∴OC⊥MN，
根据垂径定理：垂直于弦的直径平分弦，可得点C是MN的中点，即$MN=2MC$，
∵B是CM的中点，
∴$MC=2BC=2×7=14$，
∴$MN=2×14=28$。
【答案】
28
【知识点】
1. 垂径定理
2. 正方形的性质
【点评】
本题是圆的性质和特殊四边形性质结合的基础题，解题核心是先通过正方形性质得到圆心到弦的垂线，再利用垂径定理和中点的数量关系计算弦长，思路清晰，属于基础得分题。
【难度系数】
0.8
2. 在直径为200 cm 的圆柱形油槽内装入一些油以后，截面如图所示，若油面AB=160 cm，则此时油的最大深度为
40 cm
。答案
40 cm
解析
【分析】
本题是垂径定理的实际应用类题目，解题思路如下：首先确定圆的半径，过圆心向油面AB作垂线，利用垂径定理得到弦AB长度的一半，再在构造出的直角三角形中用勾股定理算出圆心到AB的距离，最后用半径减去该距离，即可得到油的最大深度。
【解析】
解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D。
∵ 圆的直径为200cm，
∴ 半径OA=OD=200÷2=100cm。
∵ OC⊥AB，由垂径定理可得：AC=½AB=½×160=80cm。
在Rt△AOC中，根据勾股定理：
OC=√(OA²-AC²)=√(100²-80²)=√(10000-6400)=√3600=60cm。
∴ 油的最大深度CD=OD-OC=100-60=40cm。
【答案】
40 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查垂径定理和勾股定理的结合运用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
本题是垂径定理的实际应用类题目，解题思路如下：首先确定圆的半径，过圆心向油面AB作垂线，利用垂径定理得到弦AB长度的一半，再在构造出的直角三角形中用勾股定理算出圆心到AB的距离，最后用半径减去该距离，即可得到油的最大深度。
【解析】
解：过圆心O作OC⊥AB于点C，延长OC交劣弧AB于点D。
∵ 圆的直径为200cm，
∴ 半径OA=OD=200÷2=100cm。
∵ OC⊥AB，由垂径定理可得：AC=½AB=½×160=80cm。
在Rt△AOC中，根据勾股定理：
OC=√(OA²-AC²)=√(100²-80²)=√(10000-6400)=√3600=60cm。
∴ 油的最大深度CD=OD-OC=100-60=40cm。
【答案】
40 cm
【知识点】
垂径定理，勾股定理，圆的基本性质
【点评】
本题属于基础应用题，重点考查垂径定理和勾股定理的结合运用，解题的关键是正确作出辅助线构造直角三角形，将实际问题转化为几何计算问题。
【难度系数】
0.7
3. 如图，AB是$\odot O$的直径，弦$CD ⊥ AB$，垂足为$E$，连接$AC$，若$∠ CAB=22.5°$，$CD=8\ \mathrm{cm}$，则$\odot O$的半径为
$4\sqrt{2}$
$\mathrm{cm}.$答案
$4\sqrt{2}$
解析
【分析】
解题时首先结合已知条件“直径AB⊥弦CD”，想到用垂径定理得到CE的长度；接着连接半径OC，利用圆周角定理求出圆心角∠COE的度数，可判断△COE为等腰直角三角形；最后借助勾股定理计算出半径OC的长度即可。
【解析】
连接OC，
1. 由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分弦，因此$CE=\frac{1}{2}CD$，已知$CD=8\mathrm{cm}$，所以$CE=4\mathrm{cm}$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ CAB$是弧CB对应的圆周角，$∠ COB$是弧CB对应的圆心角，因此$∠ COB=2∠ CAB=2×22.5°=45°$。
3. 因为$CD⊥ AB$，所以$△ COE$是直角三角形，又$∠ COE=45°$，故$△ COE$为等腰直角三角形，即$OE=CE=4\mathrm{cm}$。
4. 在$Rt△ COE$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{CE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合圆的相关定理得到特殊直角三角形后计算边长，是圆章节的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
解题时首先结合已知条件“直径AB⊥弦CD”，想到用垂径定理得到CE的长度；接着连接半径OC，利用圆周角定理求出圆心角∠COE的度数，可判断△COE为等腰直角三角形；最后借助勾股定理计算出半径OC的长度即可。
【解析】
连接OC，
1. 由垂径定理可知：垂直于弦的直径平分弦，因此$CE=\frac{1}{2}CD$，已知$CD=8\mathrm{cm}$，所以$CE=4\mathrm{cm}$。
2. 根据圆周角定理：同弧所对的圆心角是圆周角的2倍，$∠ CAB$是弧CB对应的圆周角，$∠ COB$是弧CB对应的圆心角，因此$∠ COB=2∠ CAB=2×22.5°=45°$。
3. 因为$CD⊥ AB$，所以$△ COE$是直角三角形，又$∠ COE=45°$，故$△ COE$为等腰直角三角形，即$OE=CE=4\mathrm{cm}$。
4. 在$Rt△ COE$中，由勾股定理得：$OC=\sqrt{CE^2+OE^2}=\sqrt{4^2+4^2}=4\sqrt{2}\mathrm{cm}$，即$\odot O$的半径为$4\sqrt{2}\mathrm{cm}$。
【答案】
$4\sqrt{2}$
【知识点】
垂径定理，圆周角定理，勾股定理
【点评】
本题是圆的性质的基础综合题，解题核心是通过连接半径构造直角三角形，结合圆的相关定理得到特殊直角三角形后计算边长，是圆章节的常见典型考题。
【难度系数】
0.7
