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知识点一:三角形的内角
1.三角形的内角和等于°.
探究:请你把一个三角形纸片的两个角剪下,拼在第三个角的顶点处,有几种拼法?你发现了什么?
结论:如图1所示,利用的性质和平角的定义可以证明“三角形的内角和等于$180°$”.
2.直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角.
1.三角形的内角和等于°.
探究:请你把一个三角形纸片的两个角剪下,拼在第三个角的顶点处,有几种拼法?你发现了什么?
结论:如图1所示,利用的性质和平角的定义可以证明“三角形的内角和等于$180°$”.
2.直角三角形的性质:直角三角形的两个锐角.
答案
解：
1. 三角形的内角和等于$\boldsymbol{180}°$。
探究：共有2种拼法，将剪下的两个角拼在第三个角的顶点处，三个角恰好可以拼接成一个平角，说明三角形的内角和为$180°$。
结论：利用平行线的性质和平角的定义可以证明“三角形的内角和等于$180°$”。
2. 直角三角形的两个锐角互余。
1. 三角形的内角和等于$\boldsymbol{180}°$。
探究：共有2种拼法，将剪下的两个角拼在第三个角的顶点处，三个角恰好可以拼接成一个平角，说明三角形的内角和为$180°$。
结论：利用平行线的性质和平角的定义可以证明“三角形的内角和等于$180°$”。
2. 直角三角形的两个锐角互余。
解析
【分析】
解题时先回忆三角形内角和的相关基础结论：首先三角形内角和是固定数值，可直接填写第一空；探究部分观察给出的两张拼接示意图，就能得到拼法数量，再结合平角的定义可得出拼接后的结论；证明三角形内角和时，拼接时的虚线相当于过顶点作出的平行线，利用平行线的角的性质可将三个内角转移到同一个顶点处组成平角，因此用到平行线的性质；最后推导直角三角形的锐角关系时，结合内角和180°与直角为90°，即可得出两个锐角的和为90°，也就是互余。
【解析】
1. 根据三角形内角和的基础结论，三角形的内角和等于$180°$；
探究：观察题图的两种拼接方式，可知共有2种拼法，将剪下的两个角拼在第三个角的顶点处时，三个角恰好可以拼接成一个平角，平角为$180°$，由此可得出三角形的内角和为$180°$；
结论：拼接过程中虚线为平行线，利用平行线的性质可将三个内角转化到同一顶点处，结合平角的定义即可证明“三角形的内角和等于$180°$”，因此此处填平行线。
2. 直角三角形中有一个内角是$90°$，结合三角形内角和为$180°$，可得两个锐角的和为$180°-90°=90°$，即直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
1. $\boldsymbol{180}$；2种拼法，发现三个角可拼接成平角，三角形内角和为$180°$；$\boldsymbol{平行线}$
2. $\boldsymbol{互余}$
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形内角和相关的基础考查题，结合动手拼接的过程展示了定理的推导思路，内容难度较低，相关结论是后续几何角度计算的重要基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
解题时先回忆三角形内角和的相关基础结论：首先三角形内角和是固定数值，可直接填写第一空；探究部分观察给出的两张拼接示意图，就能得到拼法数量，再结合平角的定义可得出拼接后的结论；证明三角形内角和时，拼接时的虚线相当于过顶点作出的平行线，利用平行线的角的性质可将三个内角转移到同一个顶点处组成平角，因此用到平行线的性质；最后推导直角三角形的锐角关系时，结合内角和180°与直角为90°，即可得出两个锐角的和为90°，也就是互余。
【解析】
1. 根据三角形内角和的基础结论，三角形的内角和等于$180°$；
探究：观察题图的两种拼接方式，可知共有2种拼法，将剪下的两个角拼在第三个角的顶点处时，三个角恰好可以拼接成一个平角，平角为$180°$，由此可得出三角形的内角和为$180°$；
结论：拼接过程中虚线为平行线，利用平行线的性质可将三个内角转化到同一顶点处，结合平角的定义即可证明“三角形的内角和等于$180°$”，因此此处填平行线。
2. 直角三角形中有一个内角是$90°$，结合三角形内角和为$180°$，可得两个锐角的和为$180°-90°=90°$，即直角三角形的两个锐角互余。
【答案】
1. $\boldsymbol{180}$；2种拼法，发现三个角可拼接成平角，三角形内角和为$180°$；$\boldsymbol{平行线}$
2. $\boldsymbol{互余}$
【知识点】
三角形内角和定理；平行线的性质；直角三角形的性质
【点评】
本题是三角形内角和相关的基础考查题，结合动手拼接的过程展示了定理的推导思路，内容难度较低，相关结论是后续几何角度计算的重要基础，需要熟练记忆掌握。
【难度系数】
0.9
3.有两个角互余的三角形是直角三角形，直角三角形可以用符号“Rt△”表示，则直角三角形ABC可以写成。
答案
解：
Rt△ABC
Rt△ABC
解析
【分析】
解题时先提取题干给出的关键规则：直角三角形的专用表示符号为“Rt△”，要求写出直角三角形ABC的规范写法，只需按照规则将专用符号放在三角形名称“ABC”之前即可，不需要额外推导计算。
【解析】
根据题意明确的直角三角形表示规则：直角三角形使用符号“Rt△”标记，因此直角三角形ABC需要在三角形名称前添加该专用符号，最终写法为Rt△ABC。
【答案】
Rt△ABC
【知识点】
直角三角形的表示，几何符号书写规范
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察对给定几何符号规则的直接应用，只要准确掌握规定的符号书写要求就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
解题时先提取题干给出的关键规则：直角三角形的专用表示符号为“Rt△”，要求写出直角三角形ABC的规范写法，只需按照规则将专用符号放在三角形名称“ABC”之前即可，不需要额外推导计算。
【解析】
根据题意明确的直角三角形表示规则：直角三角形使用符号“Rt△”标记，因此直角三角形ABC需要在三角形名称前添加该专用符号，最终写法为Rt△ABC。
【答案】
Rt△ABC
【知识点】
直角三角形的表示，几何符号书写规范
【点评】
本题是基础概念考查题，核心考察对给定几何符号规则的直接应用，只要准确掌握规定的符号书写要求就能轻松作答。
【难度系数】
0.9
1. 在$△ ABC$中，$∠ A=2∠ B=75°$，则$∠ C$的度数是（
A.$30°$
B.$67.5°$
C.$105°$
D.$133°$
B
）A.$30°$
B.$67.5°$
C.$105°$
D.$133°$
答案
1.B
解析
【分析】
解题时首先根据已知条件∠A=2∠B=75°求出∠B的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去∠A和∠B的度数，即可算出∠C的度数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：已知∠A=2∠B=75°，因此∠B=75°÷2=37.5°。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-37.5°=67.5°
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，解题关键是先根据已知的等量关系求出∠B的度数，再代入内角和公式计算即可，计算时注意不要看错角度关系即可得分。
【难度系数】
0.9
解题时首先根据已知条件∠A=2∠B=75°求出∠B的度数，再结合三角形内角和为180°的定理，用内角和减去∠A和∠B的度数，即可算出∠C的度数，最后对应选项选出答案即可。
【解析】
解：已知∠A=2∠B=75°，因此∠B=75°÷2=37.5°。
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°，可得：
∠C=180°-∠A-∠B=180°-75°-37.5°=67.5°
因此答案选B。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和定理，角度计算
【点评】
本题属于基础题型，核心考查三角形内角和定理的应用，解题关键是先根据已知的等量关系求出∠B的度数，再代入内角和公式计算即可，计算时注意不要看错角度关系即可得分。
【难度系数】
0.9
2.如图2，在直角三角形ABC中，$AD⊥ BC$于点D，$∠ BAD=28°$，则$∠ C$的度数是（
A.$32°$
B.$30°$
C.$28°$
D.$36°$
C
）A.$32°$
B.$30°$
C.$28°$
D.$36°$
答案
2.C
解析
【分析】
首先，题目给出直角三角形ABC，可知∠BAC是90°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B与∠C的和为90°；再结合AD垂直BC的条件，可知△ABD也是直角三角形，同样可得∠B与∠BAD的和为90°。观察这两个等式，发现∠C和∠BAD都是∠B的余角，根据同角的余角相等的性质，就可以直接得出∠C的度数等于∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形，
∴∠B + ∠BAD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
根据同角的余角相等，可得∠C = ∠BAD，
又
∵∠BAD=28°，
∴∠C=28°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用直角三角形的锐角互余性质找到两个角的等量关系，再通过余角的性质快速推导得出所求角的度数，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
首先，题目给出直角三角形ABC，可知∠BAC是90°，根据直角三角形两锐角互余，可得∠B与∠C的和为90°；再结合AD垂直BC的条件，可知△ABD也是直角三角形，同样可得∠B与∠BAD的和为90°。观察这两个等式，发现∠C和∠BAD都是∠B的余角，根据同角的余角相等的性质，就可以直接得出∠C的度数等于∠BAD的度数。
【解析】
解：
∵△ABC是直角三角形，∠BAC=90°，
∴∠B + ∠C = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
∵AD⊥BC于点D，
∴∠ADB=90°，即△ABD是直角三角形，
∴∠B + ∠BAD = 90°（直角三角形的两个锐角互余）。
根据同角的余角相等，可得∠C = ∠BAD，
又
∵∠BAD=28°，
∴∠C=28°。
【答案】
C
【知识点】
直角三角形两锐角互余，同角的余角相等
【点评】
本题属于基础几何题，解题核心是利用直角三角形的锐角互余性质找到两个角的等量关系，再通过余角的性质快速推导得出所求角的度数，熟练掌握相关性质就能快速解题。
【难度系数】
0.8
3.在$△ ABC$中，若$∠ A:∠ B:∠ C=3:4:7$，则$△ ABC$一定是（
A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
B
）A.锐角三角形
B.直角三角形
C.钝角三角形
D.不能确定
答案
3.B
解析
【分析】
要判断三角形的类型，核心是确定三角形中最大角的度数。我们已知三角形内角和固定为180°，题目又给出了三个内角的度数比，因此可以通过设未知数的方式，结合内角和定理求出最大角的度数，进而判断三角形的具体类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
设∠A的度数为3x，∠B的度数为4x，∠C的度数为7x，可列方程：
$3x + 4x + 7x = 180°$
合并同类项得：$14x = 180°$
观察可得最大角$∠ C=7x=\frac{14x}{2}=\frac{180°}{2}=90°$
有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和；按比分配；三角形分类
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记三角形内角和为180°，结合角度比例关系求出最大角的度数即可快速判断三角形类型，计算时也可直接利用最大角占内角和的比例直接求解，简化计算步骤。
【难度系数】
0.85
要判断三角形的类型，核心是确定三角形中最大角的度数。我们已知三角形内角和固定为180°，题目又给出了三个内角的度数比，因此可以通过设未知数的方式，结合内角和定理求出最大角的度数，进而判断三角形的具体类型。
【解析】
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为180°。
设∠A的度数为3x，∠B的度数为4x，∠C的度数为7x，可列方程：
$3x + 4x + 7x = 180°$
合并同类项得：$14x = 180°$
观察可得最大角$∠ C=7x=\frac{14x}{2}=\frac{180°}{2}=90°$
有一个角为直角的三角形是直角三角形，因此$△ ABC$是直角三角形。
【答案】
B
【知识点】
三角形内角和；按比分配；三角形分类
【点评】
本题属于基础题型，解题关键是牢记三角形内角和为180°，结合角度比例关系求出最大角的度数即可快速判断三角形类型，计算时也可直接利用最大角占内角和的比例直接求解，简化计算步骤。
【难度系数】
0.85
4.如图3,经测量,B处在A处的南偏西$52°$方向,C处在A处的南偏东$20°$方向,BE为正北方向,且$∠ CBE=85°$,则$∠ ACB$的度数是
75°
。答案
4.75°
解析
【分析】
解题时先利用方向角的定义求出∠BAC的度数，再根据南北方向线互相平行，由平行线的内错角相等求出∠ABE的度数，结合已知∠CBE的度数算出∠ABC的度数，最后利用三角形内角和为180°即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：由题意可知：
∠BAD=52°，∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=52°+20°=72°，
∵BE为正北方向，AD为正南方向，
∴BE//AD，
∴∠ABE=∠BAD=52°（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠CBE=85°，
∴∠ABC=∠CBE - ∠ABE=85°-52°=33°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-72°-33°=75°。
【答案】
75°
【知识点】
方向角，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际方向角问题考查几何基础知识的应用，解题的关键是明确南北方向线互相平行，准确梳理各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
解题时先利用方向角的定义求出∠BAC的度数，再根据南北方向线互相平行，由平行线的内错角相等求出∠ABE的度数，结合已知∠CBE的度数算出∠ABC的度数，最后利用三角形内角和为180°即可求出∠ACB的度数。
【解析】
解：由题意可知：
∠BAD=52°，∠CAD=20°，
∴∠BAC=∠BAD+∠CAD=52°+20°=72°，
∵BE为正北方向，AD为正南方向，
∴BE//AD，
∴∠ABE=∠BAD=52°（两直线平行，内错角相等），
又
∵∠CBE=85°，
∴∠ABC=∠CBE - ∠ABE=85°-52°=33°，
在△ABC中，根据三角形内角和定理：
∠ACB=180°-∠BAC-∠ABC=180°-72°-33°=75°。
【答案】
75°
【知识点】
方向角，平行线的性质，三角形内角和定理
【点评】
本题结合实际方向角问题考查几何基础知识的应用，解题的关键是明确南北方向线互相平行，准确梳理各角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
5. 如图4，在$△ ABC$中，AD是BC边上的高，AE是$∠ BAC$的平分线，若$∠ BAC=66°$，$∠ C=67°$，求$∠ DAE$的度数.
答案
5.∠DAE=10°
解析
【分析】
要求∠DAE的度数，我们可以先利用角平分线的性质求出∠CAE的度数，再根据三角形高的性质得到△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，最后用∠CAE减去∠CAD即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解：
1. 因为AE是∠BAC的平分线，∠BAC=66°，根据角平分线的定义可得：
$∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×66° = 33°$
2. 因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADC=90°$，在Rt△ADC中，$∠ C=67°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ CAD = 90° - ∠ C = 90° - 67° = 23°$
3. 因此$∠ DAE = ∠ CAE - ∠ CAD = 33° - 23° = 10°$
【答案】
$∠ DAE=10°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形的高，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形高的性质，理清所求角和已知角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
要求∠DAE的度数，我们可以先利用角平分线的性质求出∠CAE的度数，再根据三角形高的性质得到△ADC是直角三角形，利用直角三角形两锐角互余求出∠CAD的度数，最后用∠CAE减去∠CAD即可得到∠DAE的度数。
【解析】
解：
1. 因为AE是∠BAC的平分线，∠BAC=66°，根据角平分线的定义可得：
$∠ CAE = \frac{1}{2}∠ BAC = \frac{1}{2}×66° = 33°$
2. 因为AD是BC边上的高，所以$∠ ADC=90°$，在Rt△ADC中，$∠ C=67°$，根据直角三角形两锐角互余可得：
$∠ CAD = 90° - ∠ C = 90° - 67° = 23°$
3. 因此$∠ DAE = ∠ CAE - ∠ CAD = 33° - 23° = 10°$
【答案】
$∠ DAE=10°$
【知识点】
角平分线的定义，三角形的高，直角三角形两锐角互余
【点评】
本题属于三角形角度计算的基础题，解题的关键是熟练掌握角平分线、三角形高的性质，理清所求角和已知角之间的数量关系。
【难度系数】
0.7
知识点二:三角形的外角
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫作三角形的外角.
2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的.
探究:三角形三个外角的和是多少?
如图5,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角.
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得
∠BAE=∠2+∠3,
∠CBF=∠1+∠3,
∠ACD=∠1+∠2,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=.
由三角形内角和得,
∠1+∠2+∠3=°,
故∠BAE+∠CBF+∠ACD=°.
结论:三角形三个外角的和是.
1.三角形的一边与另一边的延长线组成的角,叫作三角形的外角.
2.三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的.
探究:三角形三个外角的和是多少?
如图5,∠BAE,∠CBF,∠ACD是△ABC的三个外角.
由三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和,得
∠BAE=∠2+∠3,
∠CBF=∠1+∠3,
∠ACD=∠1+∠2,
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD=.
由三角形内角和得,
∠1+∠2+∠3=°,
故∠BAE+∠CBF+∠ACD=°.
结论:三角形三个外角的和是.
答案
解：
2. 和
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD = 2(∠1+∠2+∠3)
由三角形内角和得，
∠1+∠2+∠3 = 180°,
故∠BAE+∠CBF+∠ACD = 360°.
结论:三角形三个外角的和是 360°.
2. 和
∴∠BAE+∠CBF+∠ACD = 2(∠1+∠2+∠3)
由三角形内角和得，
∠1+∠2+∠3 = 180°,
故∠BAE+∠CBF+∠ACD = 360°.
结论:三角形三个外角的和是 360°.
解析
【分析】
解题时先回忆三角形外角的基本性质，填出外角和不相邻内角的关系；计算三个外角的和时，先把每个外角用对应的两个不相邻内角表示，再将三个等式左右两边分别相加，整理可发现外角和是三角形三个内角和的2倍；最后结合三角形内角和为180°的结论，代入计算就能得到三个外角的总和，总结结论即可。
【解析】
2. 根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
将三个式子左右两边相加可得：
$∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=(∠ 2+∠ 3)+(∠ 1+∠ 3)+(∠ 1+∠ 2)=2(∠ 1+∠ 2+∠ 3)$
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，即$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$，
代入上式可得：$∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=2×180°=360°$
因此得出结论：三角形三个外角的和是$360°$。
【答案】
和；$2(∠ 1+∠ 2+∠ 3)$；180；360；$360°$
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理；三角形外角和
【点评】
本题是三角形角的性质的基础推导题，通过将外角转化为不相邻内角的和，结合内角和定理推导外角和，能帮助学生理解三角形内外角之间的数量关系，夯实基础。
【难度系数】
0.85
解题时先回忆三角形外角的基本性质，填出外角和不相邻内角的关系；计算三个外角的和时，先把每个外角用对应的两个不相邻内角表示，再将三个等式左右两边分别相加，整理可发现外角和是三角形三个内角和的2倍；最后结合三角形内角和为180°的结论，代入计算就能得到三个外角的总和，总结结论即可。
【解析】
2. 根据三角形外角的性质，三角形的外角等于与它不相邻的两个内角的和。
已知∠BAE=∠2+∠3，∠CBF=∠1+∠3，∠ACD=∠1+∠2，
将三个式子左右两边相加可得：
$∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=(∠ 2+∠ 3)+(∠ 1+∠ 3)+(∠ 1+∠ 2)=2(∠ 1+∠ 2+∠ 3)$
根据三角形内角和定理，三角形三个内角的和为$180°$，即$∠ 1+∠ 2+∠ 3=180°$，
代入上式可得：$∠ BAE+∠ CBF+∠ ACD=2×180°=360°$
因此得出结论：三角形三个外角的和是$360°$。
【答案】
和；$2(∠ 1+∠ 2+∠ 3)$；180；360；$360°$
【知识点】
三角形外角的性质；三角形内角和定理；三角形外角和
【点评】
本题是三角形角的性质的基础推导题，通过将外角转化为不相邻内角的和，结合内角和定理推导外角和，能帮助学生理解三角形内外角之间的数量关系，夯实基础。
【难度系数】
0.85
