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10.如图6,已知AD为△ABC的中线,AB=9 cm,AC=6 cm,△ACD的周长为18 cm,则△ABD的周长为
21
cm.答案
21
解析
【分析】
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此可得BD=CD。接下来分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，观察发现两个周长中都包含AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差等于AB与AC的长度差，结合已知的△ACD的周长即可求出△ABD的周长。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的中线，
∴D是BC的中点，即BD=CD。
已知△ACD的周长为18cm，即$AC + CD + AD = 18\mathrm{cm}$，
又
∵$AC=6\mathrm{cm}$，
∴$CD + AD = 18 - 6 = 12\mathrm{cm}$，
∵BD=CD，
∴$BD + AD = CD + AD = 12\mathrm{cm}$。
△ABD的周长为$AB + BD + AD$，将$AB=9\mathrm{cm}$、$BD + AD=12\mathrm{cm}$代入得：
$C_{△ ABD}=9 + 12 = 21\mathrm{cm}$。
【答案】
21
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用三角形中线的性质得到相等的边，通过整体代入的方法计算周长，避免单独求各边长度，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
解题时首先回忆三角形中线的定义：三角形的中线是连接一个顶点和它对边中点的线段，因此可得BD=CD。接下来分别写出△ABD和△ACD的周长表达式，观察发现两个周长中都包含AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差等于AB与AC的长度差，结合已知的△ACD的周长即可求出△ABD的周长。
【解析】
解：
∵AD为△ABC的中线，
∴D是BC的中点，即BD=CD。
已知△ACD的周长为18cm，即$AC + CD + AD = 18\mathrm{cm}$，
又
∵$AC=6\mathrm{cm}$，
∴$CD + AD = 18 - 6 = 12\mathrm{cm}$，
∵BD=CD，
∴$BD + AD = CD + AD = 12\mathrm{cm}$。
△ABD的周长为$AB + BD + AD$，将$AB=9\mathrm{cm}$、$BD + AD=12\mathrm{cm}$代入得：
$C_{△ ABD}=9 + 12 = 21\mathrm{cm}$。
【答案】
21
【知识点】
三角形中线的定义，三角形周长计算
【点评】
本题属于基础题，解题的关键是利用三角形中线的性质得到相等的边，通过整体代入的方法计算周长，避免单独求各边长度，简化计算过程。
【难度系数】
0.8
11.如图7,在△ABC中,AD为中线,DE和DF分别为△ADB和△ADC的高,若AB=6,AC=8,DF=3,则DE的长为
4
.答案
4
解析
【分析】
解题时首先从已知条件入手，AD是△ABC的中线，根据三角形中线的性质，中线可将原三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形，即△ADB和△ADC的面积相等。接下来已知DE、DF分别是两个小三角形对应底边上的高，我们可以分别用三角形面积公式“底×高÷2”表示两个小三角形的面积，再根据面积相等建立等式，代入已知的边长和高的数值，就能求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ADB和△ADC等底同高，
∴$S_{△ ADB}=S_{△ ADC}$。
∵DE是$△ ADB$中AB边上的高，DF是$△ ADC$中AC边上的高，
∴$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC× DF$，
∴$\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}× AC× DF$，
化简得：$AB× DE=AC× DF$，
将$AB=6$，$AC=8$，$DF=3$代入上式：
$6× DE=8×3$，
解得：$DE=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形基础常考题，解题核心是抓住中线平分三角形面积的特性建立等量关系，结合面积公式即可快速求解，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
解题时首先从已知条件入手，AD是△ABC的中线，根据三角形中线的性质，中线可将原三角形分成两个等底同高、面积相等的小三角形，即△ADB和△ADC的面积相等。接下来已知DE、DF分别是两个小三角形对应底边上的高，我们可以分别用三角形面积公式“底×高÷2”表示两个小三角形的面积，再根据面积相等建立等式，代入已知的边长和高的数值，就能求出DE的长度。
【解析】
解：
∵AD是△ABC的中线，
∴BD=CD，△ADB和△ADC等底同高，
∴$S_{△ ADB}=S_{△ ADC}$。
∵DE是$△ ADB$中AB边上的高，DF是$△ ADC$中AC边上的高，
∴$S_{△ ADB}=\frac{1}{2}× AB× DE$，$S_{△ ADC}=\frac{1}{2}× AC× DF$，
∴$\frac{1}{2}× AB× DE=\frac{1}{2}× AC× DF$，
化简得：$AB× DE=AC× DF$，
将$AB=6$，$AC=8$，$DF=3$代入上式：
$6× DE=8×3$，
解得：$DE=4$。
【答案】
4
【知识点】
三角形中线性质，三角形面积计算
【点评】
本题属于三角形基础常考题，解题核心是抓住中线平分三角形面积的特性建立等量关系，结合面积公式即可快速求解，熟练掌握三角形中线的性质是解题的关键。
【难度系数】
0.75
12.如图8,在$△ ABC$中,$D,E,F$分别为$BC$,$AD,CE$的中点,且$S_{△ ABC}=4\ \mathrm{cm}^2$,则阴影部分的面积为
1
$\mathrm{cm}^2$.答案
1
解析
【分析】
本题可根据三角形中线的性质求解，三角形的中线将三角形分成两个等底等高的小三角形，因此这两个小三角形面积相等，均为原三角形面积的一半。我们可以依次根据D、E、F是各边中点的条件，逐步推导阴影部分所在三角形的面积，最终得到阴影面积。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵F是CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，
∴$S_{阴影}=S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
1
【知识点】
1. 三角形中线平分面积
2. 等底等高三角形面积相等
【点评】
本题解题核心是掌握“三角形中线平分三角形面积”这一规律，多次运用该规律逐步推导各部分面积关系即可得出结果，解题时需理清各个中线对应的三角形，避免混淆面积所属的图形。
【难度系数】
0.7
本题可根据三角形中线的性质求解，三角形的中线将三角形分成两个等底等高的小三角形，因此这两个小三角形面积相等，均为原三角形面积的一半。我们可以依次根据D、E、F是各边中点的条件，逐步推导阴影部分所在三角形的面积，最终得到阴影面积。
【解析】
解：
∵D是BC的中点，
∴AD是△ABC的中线，
∴$S_{△ABD}=S_{△ACD}=\frac{1}{2}S_{△ABC}=\frac{1}{2}×4=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵E是AD的中点，
∴BE是△ABD的中线，CE是△ACD的中线，
∴$S_{△BED}=\frac{1}{2}S_{△ABD}=1\ \mathrm{cm}^2$，$S_{△CED}=\frac{1}{2}S_{△ACD}=1\ \mathrm{cm}^2$，
∴$S_{△BCE}=S_{△BED}+S_{△CED}=1+1=2\ \mathrm{cm}^2$，
∵F是CE的中点，
∴BF是△BCE的中线，
∴$S_{阴影}=S_{△BEF}=\frac{1}{2}S_{△BCE}=\frac{1}{2}×2=1\ \mathrm{cm}^2$。
【答案】
1
【知识点】
1. 三角形中线平分面积
2. 等底等高三角形面积相等
【点评】
本题解题核心是掌握“三角形中线平分三角形面积”这一规律，多次运用该规律逐步推导各部分面积关系即可得出结果，解题时需理清各个中线对应的三角形，避免混淆面积所属的图形。
【难度系数】
0.7
三、解答题
13.如图9，已知△ABC，按下列要求画图.
(1)作△ABC的中线AD；
(2)作△ABD的角平分线DM；
(3)作△ACD的高CN.
13.如图9，已知△ABC，按下列要求画图.
(1)作△ABC的中线AD；
(2)作△ABD的角平分线DM；
(3)作△ACD的高CN.
答案
解：
(1) 找到BC边的中点D，连接点A与点D，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 作∠ADB的平分线，交AB边于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 过点C作直线AD的垂线，垂足为N，线段CN即为△ACD的高。
按上述步骤绘制出的图形即为符合要求的图形。
(1) 找到BC边的中点D，连接点A与点D，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 作∠ADB的平分线，交AB边于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 过点C作直线AD的垂线，垂足为N，线段CN即为△ACD的高。
按上述步骤绘制出的图形即为符合要求的图形。
解析
【分析】
解决本题的核心是准确掌握三角形中线、角平分线、高的定义，按定义分步作图即可：1. 作中线时，先找到BC边的中点，再连接顶点A和该中点；2. 作△ABD的角平分线时，要以∠ADB为被平分的角，角平分线与AB边相交得到的线段就是所求；3. 作△ACD的高时，要明确AD是高所对的边，过点C向AD所在直线作垂线，垂足与点C之间的线段就是所求高。
【解析】
(1) 用刻度尺测量BC的长度，计算出BC长度的一半，找到BC边的中点D，连接点A与点D，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 用量角器测量∠ADB的度数，计算出角度的一半，作出∠ADB的平分线，平分线交AB边于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 将三角板的一条直角边与AD所在直线对齐，平移三角板使另一条直角边经过点C，沿该直角边画线，与AD（或AD的延长线）的交点即为垂足N，线段CN即为△ACD的高。
【答案】
(1) 找到BC边的中点D，连接点A与点D，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 作∠ADB的平分线，交AB边于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 过点C作直线AD的垂线，垂足为N，线段CN即为△ACD的高。
按上述步骤绘制出的图形即为符合要求的图形。
【知识点】
三角形的中线，三角形的角平分线，三角形的高
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查对三角形三类基本线段概念的理解，只要准确把握各线段的定义，就能规范完成作图。
【难度系数】
0.8
解决本题的核心是准确掌握三角形中线、角平分线、高的定义，按定义分步作图即可：1. 作中线时，先找到BC边的中点，再连接顶点A和该中点；2. 作△ABD的角平分线时，要以∠ADB为被平分的角，角平分线与AB边相交得到的线段就是所求；3. 作△ACD的高时，要明确AD是高所对的边，过点C向AD所在直线作垂线，垂足与点C之间的线段就是所求高。
【解析】
(1) 用刻度尺测量BC的长度，计算出BC长度的一半，找到BC边的中点D，连接点A与点D，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 用量角器测量∠ADB的度数，计算出角度的一半，作出∠ADB的平分线，平分线交AB边于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 将三角板的一条直角边与AD所在直线对齐，平移三角板使另一条直角边经过点C，沿该直角边画线，与AD（或AD的延长线）的交点即为垂足N，线段CN即为△ACD的高。
【答案】
(1) 找到BC边的中点D，连接点A与点D，线段AD即为△ABC的中线；
(2) 作∠ADB的平分线，交AB边于点M，线段DM即为△ABD的角平分线；
(3) 过点C作直线AD的垂线，垂足为N，线段CN即为△ACD的高。
按上述步骤绘制出的图形即为符合要求的图形。
【知识点】
三角形的中线，三角形的角平分线，三角形的高
【点评】
本题属于基础作图题，重点考查对三角形三类基本线段概念的理解，只要准确把握各线段的定义，就能规范完成作图。
【难度系数】
0.8
14.已知a,b,c是△ABC的三边长，a=4，b=6，设△ABC的周长是x.
(1)求c与x的取值范围；
(2)若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状.
(1)求c与x的取值范围；
(2)若x是小于18的偶数，试判断△ABC的形状.
答案
(1)$2＜c＜10$ $12＜x＜20$
(2)等腰三角形
(2)等腰三角形
解析
【分析】
（1）首先利用三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的a、b边长，即可求出c的取值范围；再根据周长为三边之和，将c的范围代入，就能推导出周长x的取值范围。
（2）先结合x的取值范围和“小于18的偶数”的限定条件，筛选出x的所有可能值，再分别计算对应c的长度，根据三边的长度特征判断三角形的形状即可。
【解析】
（1）已知a=4，b=6，根据三角形三边关系可得：
$b-a ＜ c ＜ a+b$，即$6-4 ＜ c ＜ 4+6$，
解得$2 ＜ c ＜ 10$。
因为三角形周长$x=a+b+c=4+6+c=10+c$，
将$2 ＜ c ＜ 10$代入得：$10+2 ＜ x ＜ 10+10$，
即$12 ＜ x ＜ 20$。
（2）因为x是小于18的偶数，且$12 ＜ x ＜ 20$，所以x的取值为14或16。
当x=14时，$c=14-10=4$，此时三边长为4、6、4，有两条边长度相等，为等腰三角形；
当x=16时，$c=16-10=6$，此时三边长为4、6、6，有两条边长度相等，为等腰三角形。
综上，△ABC为等腰三角形。
【答案】
(1)$2＜c＜10$，$12＜x＜20$；(2)等腰三角形
【知识点】
三角形三边关系，等腰三角形判定，周长计算
【点评】
本题围绕三角形的基本性质设置问题，解题核心是熟练运用三边关系确定未知边和周长的取值范围，再结合限定条件分类讨论即可得到结果，属于基础类的几何应用题型。
【难度系数】
0.7
（1）首先利用三角形三边关系：三角形任意两边之差小于第三边，任意两边之和大于第三边，代入已知的a、b边长，即可求出c的取值范围；再根据周长为三边之和，将c的范围代入，就能推导出周长x的取值范围。
（2）先结合x的取值范围和“小于18的偶数”的限定条件，筛选出x的所有可能值，再分别计算对应c的长度，根据三边的长度特征判断三角形的形状即可。
【解析】
（1）已知a=4，b=6，根据三角形三边关系可得：
$b-a ＜ c ＜ a+b$，即$6-4 ＜ c ＜ 4+6$，
解得$2 ＜ c ＜ 10$。
因为三角形周长$x=a+b+c=4+6+c=10+c$，
将$2 ＜ c ＜ 10$代入得：$10+2 ＜ x ＜ 10+10$，
即$12 ＜ x ＜ 20$。
（2）因为x是小于18的偶数，且$12 ＜ x ＜ 20$，所以x的取值为14或16。
当x=14时，$c=14-10=4$，此时三边长为4、6、4，有两条边长度相等，为等腰三角形；
当x=16时，$c=16-10=6$，此时三边长为4、6、6，有两条边长度相等，为等腰三角形。
综上，△ABC为等腰三角形。
【答案】
(1)$2＜c＜10$，$12＜x＜20$；(2)等腰三角形
【知识点】
三角形三边关系，等腰三角形判定，周长计算
【点评】
本题围绕三角形的基本性质设置问题，解题核心是熟练运用三边关系确定未知边和周长的取值范围，再结合限定条件分类讨论即可得到结果，属于基础类的几何应用题型。
【难度系数】
0.7
15.在$△ ABC$中，$AB=8$，$AC=1$.
(1)若$BC$的长为整数，求$BC$的长；
(2)已知$AD$是$△ ABC$的中线，若$△ ACD$的周长为10，求$△ ABD$的周长.
(1)若$BC$的长为整数，求$BC$的长；
(2)已知$AD$是$△ ABC$的中线，若$△ ACD$的周长为10，求$△ ABD$的周长.
答案
(1)$BC=8$
(2)$△ ABD$的周长是17.
(2)$△ ABD$的周长是17.
解析
【分析】
第(1)问：解题需运用三角形三边关系，先算出BC边的取值范围，再结合BC为整数的限定条件，即可确定BC的长度；第(2)问：先根据三角形中线的定义得到BD=CD，再对比两个三角形的周长组成，可发现二者有公共边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差等于AB与AC的差，结合已知△ACD的周长，用整体代入的方法就能求出△ABD的周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
在△ABC中，AB=8，AC=1，因此可得：
$AB-AC ＜ BC ＜ AB+AC$
代入数值计算得：$8-1 ＜ BC ＜ 8+1$，即$7 ＜ BC ＜ 9$。
因为BC的长为整数，所以$BC=8$。
(2) 因为AD是△ABC的中线，所以D为BC的中点，即$BD=CD$。
已知△ACD的周长为10，即$AC+CD+AD=10$，代入AC=1可得：
$CD+AD=10-1=9$。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，因为$BD=CD$，所以$BD+AD=CD+AD=9$，代入AB=8可得：
△ABD的周长$=8+9=17$。
【答案】
(1)$BC=8$
(2)$△ABD$的周长是17
【知识点】
1.三角形三边关系
2.三角形中线定义
3.三角形周长计算
【点评】
本题属于三角形基础应用题，解题核心是熟练掌握三角形的基础性质，第二问无需单独求解各边长度，通过寻找公共边、相等边进行整体代入计算即可，能很好地锻炼学生的整体思维能力。
【难度系数】
0.8
第(1)问：解题需运用三角形三边关系，先算出BC边的取值范围，再结合BC为整数的限定条件，即可确定BC的长度；第(2)问：先根据三角形中线的定义得到BD=CD，再对比两个三角形的周长组成，可发现二者有公共边AD，且BD=CD，因此两个三角形的周长差等于AB与AC的差，结合已知△ACD的周长，用整体代入的方法就能求出△ABD的周长。
【解析】
(1) 根据三角形三边关系：三角形任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边。
在△ABC中，AB=8，AC=1，因此可得：
$AB-AC ＜ BC ＜ AB+AC$
代入数值计算得：$8-1 ＜ BC ＜ 8+1$，即$7 ＜ BC ＜ 9$。
因为BC的长为整数，所以$BC=8$。
(2) 因为AD是△ABC的中线，所以D为BC的中点，即$BD=CD$。
已知△ACD的周长为10，即$AC+CD+AD=10$，代入AC=1可得：
$CD+AD=10-1=9$。
△ABD的周长为$AB+BD+AD$，因为$BD=CD$，所以$BD+AD=CD+AD=9$，代入AB=8可得：
△ABD的周长$=8+9=17$。
【答案】
(1)$BC=8$
(2)$△ABD$的周长是17
【知识点】
1.三角形三边关系
2.三角形中线定义
3.三角形周长计算
【点评】
本题属于三角形基础应用题，解题核心是熟练掌握三角形的基础性质，第二问无需单独求解各边长度，通过寻找公共边、相等边进行整体代入计算即可，能很好地锻炼学生的整体思维能力。
【难度系数】
0.8
