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1.如图,在平面直角坐标系中,直线$l$与$x$轴、$y$轴分别交于点$A$,$B(0,6)$,与直线$y=-x+3$交于点$C(-1,a)$,直线$y=-x+3$与$y$轴交于点$E$,连接$AE$.
(1)求直线$l$的函数表达式;
(2)求$△ ACE$的面积.
(1)求直线$l$的函数表达式;
(2)求$△ ACE$的面积.
答案
(1)因为直线$y=-x+3$过点$C(-1,a)$,
所以$a=1+3=4$,所以点$C(-1,4)$.
设直线$l$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$.
因为直线$l$过点$B(0,6),C(-1,4)$,
所以$b=6,4=-k+b$,解得$k=2$.
所以直线$l$的函数表达式为$y=2x+6$.
(2)对于$y=2x+6$,令$y=0$,得$2x+6=0$,解得$x=-3$,
所以点$A(-3,0)$,所以$OA=3$.
对于$y=-x+3$,令$x=0$,得$y=3$,所以点$E(0,3)$,
所以$BE=6-3=3$,
所以$S_{△ ACE}=S_{△ ABE}-S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×3×1=3$.
所以$a=1+3=4$,所以点$C(-1,4)$.
设直线$l$的表达式为$y=kx+b(k≠0)$.
因为直线$l$过点$B(0,6),C(-1,4)$,
所以$b=6,4=-k+b$,解得$k=2$.
所以直线$l$的函数表达式为$y=2x+6$.
(2)对于$y=2x+6$,令$y=0$,得$2x+6=0$,解得$x=-3$,
所以点$A(-3,0)$,所以$OA=3$.
对于$y=-x+3$,令$x=0$,得$y=3$,所以点$E(0,3)$,
所以$BE=6-3=3$,
所以$S_{△ ACE}=S_{△ ABE}-S_{△ BCE}=\frac{1}{2}×3×3-\frac{1}{2}×3×1=3$.
解析
【分析】
(1)要确定直线l的函数表达式，需要先得到直线l上两个点的坐标：已知点B(0,6)，另一个点C在直线y=-x+3上，可先将C点的横坐标代入已知直线解析式求出a，得到C点坐标，再用待定系数法设直线l的解析式，代入两个点的坐标求解即可。
(2)求△ACE的面积时，直接用底乘高计算较为繁琐，可采用割补法：先求出直线l与x轴交点A的坐标、直线y=-x+3与y轴交点E的坐标，再计算△ABE的面积减去△BCE的面积，即可得到△ACE的面积。
【解析】
(1)
∵点C(-1,a)在直线y=-x+3上，
将x=-1代入解析式得：$a=-(-1)+3=4$，
∴点C的坐标为(-1,4)。
设直线l的函数表达式为$y=kx+b(k\ne0)$，
∵直线l过点B(0,6)和C(-1,4)，
代入坐标得$\begin{cases}b=6\\-k+b=4\end{cases}$，
将b=6代入第二个方程，解得$k=2$，
∴直线l的函数表达式为$y=2x+6$。
(2)求点A坐标：对于直线$y=2x+6$，令$y=0$，
则$2x+6=0$，解得$x=-3$，
∴点A坐标为(-3,0)，即$OA=3$。
求点E坐标：对于直线$y=-x+3$，令$x=0$，得$y=3$，
∴点E坐标为(0,3)，
∴$BE=OB-OE=6-3=3$。
由图形关系可得：$S_{△ ACE}=S_{△ ABE}-S_{△ BCE}$，
计算得：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× BE× OA=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BE×|x_C|=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ ACE}=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3$。
【答案】
(1)直线$l$的函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+6}$；
(2)$△ ACE$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点计算，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数常规综合题，核心考察一次函数的基本性质和坐标系下的面积计算，通过割补法将不规则三角形面积转化为两个易求的三角形面积差，可大幅简化计算，熟练掌握待定系数法和一次函数与坐标轴交点的求法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
(1)要确定直线l的函数表达式，需要先得到直线l上两个点的坐标：已知点B(0,6)，另一个点C在直线y=-x+3上，可先将C点的横坐标代入已知直线解析式求出a，得到C点坐标，再用待定系数法设直线l的解析式，代入两个点的坐标求解即可。
(2)求△ACE的面积时，直接用底乘高计算较为繁琐，可采用割补法：先求出直线l与x轴交点A的坐标、直线y=-x+3与y轴交点E的坐标，再计算△ABE的面积减去△BCE的面积，即可得到△ACE的面积。
【解析】
(1)
∵点C(-1,a)在直线y=-x+3上，
将x=-1代入解析式得：$a=-(-1)+3=4$，
∴点C的坐标为(-1,4)。
设直线l的函数表达式为$y=kx+b(k\ne0)$，
∵直线l过点B(0,6)和C(-1,4)，
代入坐标得$\begin{cases}b=6\\-k+b=4\end{cases}$，
将b=6代入第二个方程，解得$k=2$，
∴直线l的函数表达式为$y=2x+6$。
(2)求点A坐标：对于直线$y=2x+6$，令$y=0$，
则$2x+6=0$，解得$x=-3$，
∴点A坐标为(-3,0)，即$OA=3$。
求点E坐标：对于直线$y=-x+3$，令$x=0$，得$y=3$，
∴点E坐标为(0,3)，
∴$BE=OB-OE=6-3=3$。
由图形关系可得：$S_{△ ACE}=S_{△ ABE}-S_{△ BCE}$，
计算得：$S_{△ ABE}=\frac{1}{2}× BE× OA=\frac{1}{2}×3×3=\frac{9}{2}$，
$S_{△ BCE}=\frac{1}{2}× BE×|x_C|=\frac{1}{2}×3×1=\frac{3}{2}$，
∴$S_{△ ACE}=\frac{9}{2}-\frac{3}{2}=3$。
【答案】
(1)直线$l$的函数表达式为$\boldsymbol{y=2x+6}$；
(2)$△ ACE$的面积为$\boldsymbol{3}$。
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点计算，割补法求面积
【点评】
本题是一次函数常规综合题，核心考察一次函数的基本性质和坐标系下的面积计算，通过割补法将不规则三角形面积转化为两个易求的三角形面积差，可大幅简化计算，熟练掌握待定系数法和一次函数与坐标轴交点的求法是解题的基础。
【难度系数】
0.7
2. 如图所示，过点$A(2,0)$的直线$l_1$交$y$轴于点$B$，点$B$在原点上方，已知$OA=2OB$。
(1)求点$B$的坐标；
(2)若过点$A$的直线$l_2$交$y$轴于点$C$，$△ ABC$的面积为$3$，求直线$l_2$的函数表达式。
(1)求点$B$的坐标；
(2)若过点$A$的直线$l_2$交$y$轴于点$C$，$△ ABC$的面积为$3$，求直线$l_2$的函数表达式。
答案
(1)因为点$A(2,0),OA=2OB$,所以$OB=1$. 因为点$B$在原点上方,所以点$B$的坐标是$(0,1)$.
(2)因为$△ ABC$的面积为$3$,$OA=2$,所以$\frac{1}{2}BC· OA=3$,
即$\frac{1}{2}×BC×2=3$,解得$BC=3$. 所以易知点$C(0,4)$或$(0,-2)$.
当点$C$在点$B$上方时,设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$,则$b=4,2k+b=0$,所以$k=-2$,所以直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+4$;
当点$C$在点$B$下方时,设直线$l_2$的表达式为$y=k_1x+b_1$,则$b_1=-2,2k_1+b_1=0$,所以$k_1=1$,所以直线$l_2$的函数表达式为$y=x-2$.
综上所述,直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+4$或$y=x-2$.
(2)因为$△ ABC$的面积为$3$,$OA=2$,所以$\frac{1}{2}BC· OA=3$,
即$\frac{1}{2}×BC×2=3$,解得$BC=3$. 所以易知点$C(0,4)$或$(0,-2)$.
当点$C$在点$B$上方时,设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$,则$b=4,2k+b=0$,所以$k=-2$,所以直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+4$;
当点$C$在点$B$下方时,设直线$l_2$的表达式为$y=k_1x+b_1$,则$b_1=-2,2k_1+b_1=0$,所以$k_1=1$,所以直线$l_2$的函数表达式为$y=x-2$.
综上所述,直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+4$或$y=x-2$.
解析
【分析】
(1) 首先根据点A的坐标得到OA的长度，结合OA=2OB的条件算出OB的长度，再根据点B在y轴正半轴的位置特征，就能确定点B的坐标。
(2) 先明确△ABC的边BC在y轴上，BC边上的高就是点A到y轴的距离即OA的长度，利用三角形面积公式求出BC的长度；注意点C既可以在点B上方，也可以在点B下方，需分两种情况求出点C的坐标，再用待定系数法将点A和对应点C的坐标代入一次函数表达式，求解得到直线$l_2$的解析式，不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 已知点$A(2,0)$，因此$OA=2$。
由$OA=2OB$，可得$OB=\frac{OA}{2}=\frac{2}{2}=1$。
又因为点B在y轴上且位于原点上方，所以点B的坐标为$(0,1)$。
(2) △ABC的边BC在y轴上，点A到y轴的距离为$OA=2$，即BC边上的高为2。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × OA$，代入$S_{△ ABC}=3$、$OA=2$得：
$\frac{1}{2} × BC × 2=3$，解得$BC=3$。
分两种情况讨论点C的位置：
① 当点C在点B上方时，点C的纵坐标为$1+3=4$，即$C(0,4)$。
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$，将$A(2,0)$、$C(0,4)$代入得：
$\begin{cases} b=4 \\ 2k+b=0 \end{cases}$，解得$k=-2$，$b=4$，此时直线$l_2$的解析式为$y=-2x+4$。
② 当点C在点B下方时，点C的纵坐标为$1-3=-2$，即$C(0,-2)$。
设直线$l_2$的表达式为$y=k_1x+b_1$，将$A(2,0)$、$C(0,-2)$代入得：
$\begin{cases} b_1=-2 \\ 2k_1+b_1=0 \end{cases}$，解得$k_1=1$，$b_1=-2$，此时直线$l_2$的解析式为$y=x-2$。
【答案】
(1) $B(0,1)$
(2) 直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+4$或$y=x-2$
【知识点】
待定系数法，一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题型，解题核心是准确找到三角形的底和对应高，同时要注意点C的位置存在两种情况，避免漏解，熟练掌握坐标与线段长度的转化、待定系数法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
(1) 首先根据点A的坐标得到OA的长度，结合OA=2OB的条件算出OB的长度，再根据点B在y轴正半轴的位置特征，就能确定点B的坐标。
(2) 先明确△ABC的边BC在y轴上，BC边上的高就是点A到y轴的距离即OA的长度，利用三角形面积公式求出BC的长度；注意点C既可以在点B上方，也可以在点B下方，需分两种情况求出点C的坐标，再用待定系数法将点A和对应点C的坐标代入一次函数表达式，求解得到直线$l_2$的解析式，不要遗漏任意一种情况。
【解析】
(1) 已知点$A(2,0)$，因此$OA=2$。
由$OA=2OB$，可得$OB=\frac{OA}{2}=\frac{2}{2}=1$。
又因为点B在y轴上且位于原点上方，所以点B的坐标为$(0,1)$。
(2) △ABC的边BC在y轴上，点A到y轴的距离为$OA=2$，即BC边上的高为2。
根据三角形面积公式$S_{△ ABC}=\frac{1}{2} × BC × OA$，代入$S_{△ ABC}=3$、$OA=2$得：
$\frac{1}{2} × BC × 2=3$，解得$BC=3$。
分两种情况讨论点C的位置：
① 当点C在点B上方时，点C的纵坐标为$1+3=4$，即$C(0,4)$。
设直线$l_2$的表达式为$y=kx+b$，将$A(2,0)$、$C(0,4)$代入得：
$\begin{cases} b=4 \\ 2k+b=0 \end{cases}$，解得$k=-2$，$b=4$，此时直线$l_2$的解析式为$y=-2x+4$。
② 当点C在点B下方时，点C的纵坐标为$1-3=-2$，即$C(0,-2)$。
设直线$l_2$的表达式为$y=k_1x+b_1$，将$A(2,0)$、$C(0,-2)$代入得：
$\begin{cases} b_1=-2 \\ 2k_1+b_1=0 \end{cases}$，解得$k_1=1$，$b_1=-2$，此时直线$l_2$的解析式为$y=x-2$。
【答案】
(1) $B(0,1)$
(2) 直线$l_2$的函数表达式为$y=-2x+4$或$y=x-2$
【知识点】
待定系数法，一次函数解析式，三角形面积计算
【点评】
本题是一次函数与几何面积结合的基础题型，解题核心是准确找到三角形的底和对应高，同时要注意点C的位置存在两种情况，避免漏解，熟练掌握坐标与线段长度的转化、待定系数法即可顺利解答。
【难度系数】
0.7
3. 如图,两直线分别为$l_1:y=\frac{1}{2}x+b$,$l_2:y=ax$,两直线交于点$A(6,6)$,直线$l_1$与$x$轴交于点$B$.
(1)求$a,b$的值;
(2)求经过点$B$且平分$△ OAB$面积的直线的表达式.
(1)求$a,b$的值;
(2)求经过点$B$且平分$△ OAB$面积的直线的表达式.
答案
(1)因为直线$l_1:y=\frac{1}{2}x+b$,$l_2:y=ax$相交于点$A(6,6)$,
所以$6=\frac{1}{2}×6+b$,$6=6a$,解得$a=1$,$b=3$.
(2)由(1)知直线$l_1$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$.
当$y=0$时,$\frac{1}{2}x+3=0$,解得$x=-6$.
所以点$B$的坐标为$(-6,0)$.
设线段$OA$的中点为$C$,易知点$C$的坐标为$(3,3)$.
所以设直线$BC$的表达式为$y=kx+m(k≠0)$.
因为经过点$B$且平分$△ OAB$面积的直线一定经过线段$OA$的中点$C(3,3)$,把点$B(-6,0)$,$C(3,3)$的坐标分别代入$y=kx+m$,得$0=-6k+m$,$3=3k+m$,解得$k=\frac{1}{3}$,$m=2$,所以经过点$B$且平分$△ OAB$面积的直线的表达式为$y=\frac{1}{3}x+2$.
所以$6=\frac{1}{2}×6+b$,$6=6a$,解得$a=1$,$b=3$.
(2)由(1)知直线$l_1$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$.
当$y=0$时,$\frac{1}{2}x+3=0$,解得$x=-6$.
所以点$B$的坐标为$(-6,0)$.
设线段$OA$的中点为$C$,易知点$C$的坐标为$(3,3)$.
所以设直线$BC$的表达式为$y=kx+m(k≠0)$.
因为经过点$B$且平分$△ OAB$面积的直线一定经过线段$OA$的中点$C(3,3)$,把点$B(-6,0)$,$C(3,3)$的坐标分别代入$y=kx+m$,得$0=-6k+m$,$3=3k+m$,解得$k=\frac{1}{3}$,$m=2$,所以经过点$B$且平分$△ OAB$面积的直线的表达式为$y=\frac{1}{3}x+2$.
解析
【分析】
(1) 函数图像交点的坐标同时满足两个函数的表达式，因此将点$A(6,6)$分别代入$l_1$和$l_2$的解析式，得到关于$a$、$b$的一元一次方程，解方程即可求出$a$、$b$的值。
(2) 要求过$B$点且平分$△ OAB$面积的直线，根据三角形面积的性质：同高的两个三角形，底相等则面积相等，因此这条直线需要经过$OA$的中点，这样将$△ OAB$分成的两个三角形等底同高，面积相等。先求出$l_1$与$x$轴交点$B$的坐标，再求出$OA$的中点坐标，最后用待定系数法代入两个点的坐标，即可求出直线的表达式。
【解析】
(1) 已知直线$l_1:y=\frac{1}{2}x+b$，$l_2:y=ax$相交于点$A(6,6)$，将$A$点坐标分别代入两个解析式：
代入$l_2$得：$6=6a$，解得$a=1$；
代入$l_1$得：$6=\frac{1}{2}×6 + b$，解得$b=3$。
(2) 由(1)可知直线$l_1$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$，
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$，即点$B$的坐标为$(-6,0)$。
线段$OA$的两个端点为$O(0,0)$、$A(6,6)$，则$OA$的中点$C$的坐标为$(3,3)$。
设直线$BC$的表达式为$y=kx+m(k≠0)$，将$B(-6,0)$、$C(3,3)$分别代入得：
$\begin{cases}0=-6k+m \\3=3k+m \end{cases}$
两式相减得$3=9k$，解得$k=\frac{1}{3}$，将$k=\frac{1}{3}$代入$0=-6k+m$，解得$m=2$。
【答案】
(1) $a=1$，$b=3$；
(2) $y=\frac{1}{3}x+2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点性质，三角形面积等分
【点评】
本题是一次函数与三角形面积的综合题，解题的关键是掌握函数图像上的点满足函数解析式，以及理解平分三角形面积的直线过对边中点的性质，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
(1) 函数图像交点的坐标同时满足两个函数的表达式，因此将点$A(6,6)$分别代入$l_1$和$l_2$的解析式，得到关于$a$、$b$的一元一次方程，解方程即可求出$a$、$b$的值。
(2) 要求过$B$点且平分$△ OAB$面积的直线，根据三角形面积的性质：同高的两个三角形，底相等则面积相等，因此这条直线需要经过$OA$的中点，这样将$△ OAB$分成的两个三角形等底同高，面积相等。先求出$l_1$与$x$轴交点$B$的坐标，再求出$OA$的中点坐标，最后用待定系数法代入两个点的坐标，即可求出直线的表达式。
【解析】
(1) 已知直线$l_1:y=\frac{1}{2}x+b$，$l_2:y=ax$相交于点$A(6,6)$，将$A$点坐标分别代入两个解析式：
代入$l_2$得：$6=6a$，解得$a=1$；
代入$l_1$得：$6=\frac{1}{2}×6 + b$，解得$b=3$。
(2) 由(1)可知直线$l_1$的表达式为$y=\frac{1}{2}x+3$，
令$y=0$，得$\frac{1}{2}x+3=0$，解得$x=-6$，即点$B$的坐标为$(-6,0)$。
线段$OA$的两个端点为$O(0,0)$、$A(6,6)$，则$OA$的中点$C$的坐标为$(3,3)$。
设直线$BC$的表达式为$y=kx+m(k≠0)$，将$B(-6,0)$、$C(3,3)$分别代入得：
$\begin{cases}0=-6k+m \\3=3k+m \end{cases}$
两式相减得$3=9k$，解得$k=\frac{1}{3}$，将$k=\frac{1}{3}$代入$0=-6k+m$，解得$m=2$。
【答案】
(1) $a=1$，$b=3$；
(2) $y=\frac{1}{3}x+2$
【知识点】
待定系数法求解析式，一次函数交点性质，三角形面积等分
【点评】
本题是一次函数与三角形面积的综合题，解题的关键是掌握函数图像上的点满足函数解析式，以及理解平分三角形面积的直线过对边中点的性质，侧重对基础方法的考查。
【难度系数】
0.7
