登录
6. 某物业进行绿化改造，现需要购买大量的景观树树苗.某苗木种植公司给出以下收费方案：
方案一:购买一张会员卡,所有购买的树苗按七折优惠；
方案二:不购买会员卡,所有购买的树苗按九折优惠.
设该物业购买的景观树树苗棵数为$ x $棵,方案一所需费用$ y_1 = k_1x + b_1 $（$ k_1,b_1 $为常数，$ k_1≠0 $）,方案二所需费用$ y_2 = k_2x $（$ k_2≠0 $）,其函数图象如图所示,请根据图象回答下列问题.
(1)$ k_1 = $
(2)求每棵树苗的原价.
(3)求按照方案二购买所需费用的函数关系式$ y_2 = k_2x $,并说明$ k_2 $的实际意义.
(4)若该物业需要购买景观树树苗600棵,采用哪种方案所需费用更少?请说明理由.
方案一:购买一张会员卡,所有购买的树苗按七折优惠；
方案二:不购买会员卡,所有购买的树苗按九折优惠.
设该物业购买的景观树树苗棵数为$ x $棵,方案一所需费用$ y_1 = k_1x + b_1 $（$ k_1,b_1 $为常数，$ k_1≠0 $）,方案二所需费用$ y_2 = k_2x $（$ k_2≠0 $）,其函数图象如图所示,请根据图象回答下列问题.
(1)$ k_1 = $
21
,$ b_1 = $ 3 000
.(2)求每棵树苗的原价.
(3)求按照方案二购买所需费用的函数关系式$ y_2 = k_2x $,并说明$ k_2 $的实际意义.
(4)若该物业需要购买景观树树苗600棵,采用哪种方案所需费用更少?请说明理由.
答案
6.【解】(1)21;3 000 【点拨】由图象可得,函数 $y_1=k_1x+b_1$ 过点$(0,3\ 000),(200,7\ 200)$,所以 $b_1=3\ 000,200k_1+b_1=7\ 200$,所以 $k_1=21$. 故答案为 21,3 000.
(2)由(1)可得,每棵树苗按七折优惠的价格是 21 元,所以每棵树苗的原价是 $21÷0.7=30$(元).
(3)因为方案二中所有购买的树苗按九折优惠,所以按照方案二购买每棵树苗的价格为 $30×0.9=27$(元),所以 $y_2=27x$,$k_2$ 的实际意义是每棵树苗按九折优惠后的价格为 27 元.
(4)采用方案一所需费用更少.
理由:由(1)(3)可知,$y_1=21x+3\ 000$,$y_2=27x$.
当 $x=600$ 时,$y_1=21×600+3\ 000=15\ 600$,$y_2=27×600=16\ 200$.
因为 $15\ 600＜16\ 200$,
所以采用方案一所需费用更少.
(2)由(1)可得,每棵树苗按七折优惠的价格是 21 元,所以每棵树苗的原价是 $21÷0.7=30$(元).
(3)因为方案二中所有购买的树苗按九折优惠,所以按照方案二购买每棵树苗的价格为 $30×0.9=27$(元),所以 $y_2=27x$,$k_2$ 的实际意义是每棵树苗按九折优惠后的价格为 27 元.
(4)采用方案一所需费用更少.
理由:由(1)(3)可知,$y_1=21x+3\ 000$,$y_2=27x$.
当 $x=600$ 时,$y_1=21×600+3\ 000=15\ 600$,$y_2=27×600=16\ 200$.
因为 $15\ 600＜16\ 200$,
所以采用方案一所需费用更少.
解析
【分析】
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：一次函数$y_1=k_1x+b_1$的图象过点$(0,3000)$和$(200,7200)$，先把$x=0$代入函数可直接得到$b_1$的值，再将另一个点的坐标代入就能求出$k_1$。
2. 解决第(2)问：已知$k_1$是每棵树苗打七折后的价格，用折后价除以折扣率就能得到树苗原价。
3. 解决第(3)问：方案二是九折优惠，用原价乘0.9得到九折后的单价，也就是$k_2$的值，即可写出$y_2$的函数式，$k_2$的实际意义就是九折后单棵树苗的售价。
4. 解决第(4)问：将$x=600$分别代入两个方案的函数解析式，计算出对应费用，比较两个费用的大小，费用低的方案更划算。
【解析】
(1) 由图象可知，$y_1=k_1x+b_1$过点$(0,3000)$，代入得$b_1=3000$；
将点$(200,7200)$代入$y_1=k_1x+3000$，得$200k_1+3000=7200$，解得$k_1=21$。
(2) 由(1)可知，七折优惠后每棵树苗价格为21元，因此原价为$21÷0.7=30$（元）。
(3) 方案二是九折优惠，因此九折后每棵树苗价格为$30×0.9=27$（元），所以$y_2=27x$；
$k_2$的实际意义是：每棵树苗打九折后的单价为27元。
(4) 采用方案一所需费用更少，理由如下：
当$x=600$时，
方案一费用：$y_1=21×600+3000=15600$（元），
方案二费用：$y_2=27×600=16200$（元），
因为$15600＜16200$，所以购买600棵树苗时方案一费用更少。
【答案】
(1) $\boxed{21}$；$\boxed{3000}$
(2) 每棵树苗的原价为$\boxed{30}$元
(3) $y_2=\boxed{27x}$，$k_2$的实际意义是每棵树苗打九折后的单价为27元
(4) 采用$\boxed{方案一}$所需费用更少
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；方案优化选择
【点评】
本题结合生活中的消费方案选择场景，考查一次函数的图象与性质、打折销售计算等内容，要求学生能从函数图象中提取有效信息，结合代数计算解决实际问题，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
解题思路如下：
1. 解决第(1)问：一次函数$y_1=k_1x+b_1$的图象过点$(0,3000)$和$(200,7200)$，先把$x=0$代入函数可直接得到$b_1$的值，再将另一个点的坐标代入就能求出$k_1$。
2. 解决第(2)问：已知$k_1$是每棵树苗打七折后的价格，用折后价除以折扣率就能得到树苗原价。
3. 解决第(3)问：方案二是九折优惠，用原价乘0.9得到九折后的单价，也就是$k_2$的值，即可写出$y_2$的函数式，$k_2$的实际意义就是九折后单棵树苗的售价。
4. 解决第(4)问：将$x=600$分别代入两个方案的函数解析式，计算出对应费用，比较两个费用的大小，费用低的方案更划算。
【解析】
(1) 由图象可知，$y_1=k_1x+b_1$过点$(0,3000)$，代入得$b_1=3000$；
将点$(200,7200)$代入$y_1=k_1x+3000$，得$200k_1+3000=7200$，解得$k_1=21$。
(2) 由(1)可知，七折优惠后每棵树苗价格为21元，因此原价为$21÷0.7=30$（元）。
(3) 方案二是九折优惠，因此九折后每棵树苗价格为$30×0.9=27$（元），所以$y_2=27x$；
$k_2$的实际意义是：每棵树苗打九折后的单价为27元。
(4) 采用方案一所需费用更少，理由如下：
当$x=600$时，
方案一费用：$y_1=21×600+3000=15600$（元），
方案二费用：$y_2=27×600=16200$（元），
因为$15600＜16200$，所以购买600棵树苗时方案一费用更少。
【答案】
(1) $\boxed{21}$；$\boxed{3000}$
(2) 每棵树苗的原价为$\boxed{30}$元
(3) $y_2=\boxed{27x}$，$k_2$的实际意义是每棵树苗打九折后的单价为27元
(4) 采用$\boxed{方案一}$所需费用更少
【知识点】
一次函数的实际应用；待定系数法求一次函数解析式；方案优化选择
【点评】
本题结合生活中的消费方案选择场景，考查一次函数的图象与性质、打折销售计算等内容，要求学生能从函数图象中提取有效信息，结合代数计算解决实际问题，贴合生活实际，实用性较强。
【难度系数】
0.7
7. ★★ 甲船从A港出发顺流途经C港匀速驶向B港，到B港停止，行至某处，因机械故障发动机停止工作，甲船在排除故障的过程中顺水漂流的速度与水流的速度相同，排除故障后继续按原速驶向B港。乙船从B港出发逆流途经C港匀速驶向A港，到A港停止。甲乙两船同时出发。甲、乙两船离C港的距离$y_1,y_2$(km)与乙船行驶的时间$x$(h)之间的函数图象如图所示。
(1)A港距C港
(2)分别求甲船在顺流中行驶的速度和乙船在逆流中行驶的速度.
(3)在图中补全甲船的函数图象，并求甲、乙两船何时与C港的距离相等.
(4)甲、乙两船何时相距28 km?
(1)A港距C港
48
km，B港距C港32
km.(2)分别求甲船在顺流中行驶的速度和乙船在逆流中行驶的速度.
(3)在图中补全甲船的函数图象，并求甲、乙两船何时与C港的距离相等.
(4)甲、乙两船何时相距28 km?
答案
7.【解】(1)48;32
(2)由题图,得甲船在顺流中行驶的速度为 $20÷(\frac{17}{6}-2)=24(\mathrm{km/h})$,乙船在逆流中行驶的速度为 $32÷2=16(\mathrm{km/h})$.
(3)因为甲船由 C 港到 B 港用时为 $32÷24=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$,
所以甲船从 A 港到 B 港的时间为 $\frac{17}{6}+\frac{4}{3}=\frac{25}{6}(\mathrm{h})$.
补全甲船的函数图象如图
.当 $2≤ x≤\frac{17}{6}$ 时,易得 $y_1=-24x+68$;
当 $2≤ x≤5$ 时,易得 $y_2=16x-32$.
当 $-24x+68=16x-32$ 时,解得 $x=2.5$,
所以甲、乙两船在 2.5 h 时与 C 港的距离相等.
(4)根据题意,得
$y_1=\begin{cases}-24x+48(0≤ x＜1),\\-4x+28(1≤ x＜2),\\-24x+68(2≤ x＜\frac{17}{6}),\\24x-68(\frac{17}{6}≤ x≤\frac{25}{6}),\end{cases}$
$y_2=\begin{cases}-16x+32(0≤ x＜2),\\16x-32(2≤ x≤5),\end{cases}$
当 $0≤ x＜1$ 时,$-24x+48+(-16x+32)=28$,解得 $x=\frac{13}{10}$(不符合题意,舍去);
当 $1≤ x＜2$ 时,$-4x+28+(-16x+32)=28$,解得 $x=1.6$;
当 $2≤ x＜\frac{17}{6}$ 时,$|y_1-y_2|=|-24x+68-(16x-32)|=28$,解得 $x=1.8$ 或 $x=3.2$(不符合题意,均舍去);
当 $\frac{17}{6}≤ x≤\frac{25}{6}$ 时,$24x-68+16x-32=28$,解得 $x=3.2$.
当 $\frac{25}{6}＜x≤5$ 时,易知此时甲、乙两船之间的距离超过28 km,所以不符合题意,舍去.
所以甲、乙两船在 1.6 h 和 3.2 h 时相距 28 km.
解析
【分析】
(1) 观察图象x=0时的y值：甲船从A港出发，初始时离C港的距离就是A港到C港的距离；乙船从B港出发，初始时离C港的距离就是B港到C港的距离，直接读取数值即可。
(2) 求乙船逆流速度：乙船从B到C的路程为32km，用时2h，根据速度=路程÷时间计算即可。求甲船顺流速度：甲船排除故障后行驶的时间为$\frac{17}{6}-2$h，行驶路程为20km，同样根据速度公式计算。
(3) 补全图象：先计算甲船从C到B的行驶时间，加上排除故障的时间点$\frac{17}{6}$h，得到甲船到达B港的时间，确定对应点坐标后补全图象。求两船与C港距离相等时，先分别写出对应区间内$y_1$、$y_2$的函数解析式，令两式相等解方程即可。
(4) 求两船相距28km的时间：先分区间写出$y_1$、$y_2$的分段函数，再结合两船的位置关系，按x的不同区间列方程求解，舍去不符合区间范围的解即可。
【解析】
(1) 当x=0时，甲船离C港48km，乙船离C港32km，因此A港距C港48km，B港距C港32km。
(2) 乙船从B港到C港用时2h，路程32km，乙船逆流行驶速度为：$32÷2=16(\mathrm{km/h})$。
甲船排除故障后行驶的时间为$\frac{17}{6}-2=\frac{5}{6}(\mathrm{h})$，行驶路程20km，甲船顺流行驶速度为：$20÷\frac{5}{6}=24(\mathrm{km/h})$。
(3) 甲船从C港到B港的路程为32km，行驶时间为$32÷24=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$，因此甲船到达B港的总时间为$\frac{17}{6}+\frac{4}{3}=\frac{25}{6}(\mathrm{h})$，补全图象如图。
当$2≤ x≤\frac{17}{6}$时，易得$y_1=-24x+68$；当$2≤ x≤5$时，易得$y_2=16x-32$。
令$-24x+68=16x-32$，解得$x=2.5$，即甲、乙两船在2.5h时与C港的距离相等。
(4) 由题意可得两船离C港距离的分段函数：
$y_1=\begin{cases}-24x+48(0≤ x＜1),\\-4x+28(1≤ x＜2),\\-24x+68(2≤ x＜\frac{17}{6}),\\24x-68(\frac{17}{6}≤ x≤\frac{25}{6}),\end{cases}$
$y_2=\begin{cases}-16x+32(0≤ x＜2),\\16x-32(2≤ x≤5),\end{cases}$
分区间讨论：
①当$0≤ x＜1$时，$-24x+48+(-16x+32)=28$，解得$x=\frac{13}{10}$，超出区间，舍去；
②当$1≤ x＜2$时，$-4x+28+(-16x+32)=28$，解得$x=1.6$，符合区间要求；
③当$2≤ x＜\frac{17}{6}$时，$|-24x+68-(16x-32)|=28$，解得$x=1.8$或$x=3.2$，均超出区间，舍去；
④当$\frac{17}{6}≤ x≤\frac{25}{6}$时，$24x-68+16x-32=28$，解得$x=3.2$，符合区间要求；
⑤当$\frac{25}{6}＜x≤5$时，两船距离超过28km，不符合题意，舍去。
因此甲、乙两船在1.6h和3.2h时相距28km。
【答案】
(1)48;32
(2)甲船在顺流中行驶的速度为24km/h，乙船在逆流中行驶的速度为16km/h。
(3)补全图象如图，甲、乙两船在2.5h时与C港的距离相等。
(4)甲、乙两船在1.6h和3.2h时相距28km。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题的核心是准确理解函数图象的横纵坐标、拐点的实际意义，掌握分段函数的分析方法，结合分类讨论思想求解，重点锻炼读图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
(1) 观察图象x=0时的y值：甲船从A港出发，初始时离C港的距离就是A港到C港的距离；乙船从B港出发，初始时离C港的距离就是B港到C港的距离，直接读取数值即可。
(2) 求乙船逆流速度：乙船从B到C的路程为32km，用时2h，根据速度=路程÷时间计算即可。求甲船顺流速度：甲船排除故障后行驶的时间为$\frac{17}{6}-2$h，行驶路程为20km，同样根据速度公式计算。
(3) 补全图象：先计算甲船从C到B的行驶时间，加上排除故障的时间点$\frac{17}{6}$h，得到甲船到达B港的时间，确定对应点坐标后补全图象。求两船与C港距离相等时，先分别写出对应区间内$y_1$、$y_2$的函数解析式，令两式相等解方程即可。
(4) 求两船相距28km的时间：先分区间写出$y_1$、$y_2$的分段函数，再结合两船的位置关系，按x的不同区间列方程求解，舍去不符合区间范围的解即可。
【解析】
(1) 当x=0时，甲船离C港48km，乙船离C港32km，因此A港距C港48km，B港距C港32km。
(2) 乙船从B港到C港用时2h，路程32km，乙船逆流行驶速度为：$32÷2=16(\mathrm{km/h})$。
甲船排除故障后行驶的时间为$\frac{17}{6}-2=\frac{5}{6}(\mathrm{h})$，行驶路程20km，甲船顺流行驶速度为：$20÷\frac{5}{6}=24(\mathrm{km/h})$。
(3) 甲船从C港到B港的路程为32km，行驶时间为$32÷24=\frac{4}{3}(\mathrm{h})$，因此甲船到达B港的总时间为$\frac{17}{6}+\frac{4}{3}=\frac{25}{6}(\mathrm{h})$，补全图象如图
。当$2≤ x≤\frac{17}{6}$时，易得$y_1=-24x+68$；当$2≤ x≤5$时，易得$y_2=16x-32$。
令$-24x+68=16x-32$，解得$x=2.5$，即甲、乙两船在2.5h时与C港的距离相等。
(4) 由题意可得两船离C港距离的分段函数：
$y_1=\begin{cases}-24x+48(0≤ x＜1),\\-4x+28(1≤ x＜2),\\-24x+68(2≤ x＜\frac{17}{6}),\\24x-68(\frac{17}{6}≤ x≤\frac{25}{6}),\end{cases}$
$y_2=\begin{cases}-16x+32(0≤ x＜2),\\16x-32(2≤ x≤5),\end{cases}$
分区间讨论：
①当$0≤ x＜1$时，$-24x+48+(-16x+32)=28$，解得$x=\frac{13}{10}$，超出区间，舍去；
②当$1≤ x＜2$时，$-4x+28+(-16x+32)=28$，解得$x=1.6$，符合区间要求；
③当$2≤ x＜\frac{17}{6}$时，$|-24x+68-(16x-32)|=28$，解得$x=1.8$或$x=3.2$，均超出区间，舍去；
④当$\frac{17}{6}≤ x≤\frac{25}{6}$时，$24x-68+16x-32=28$，解得$x=3.2$，符合区间要求；
⑤当$\frac{25}{6}＜x≤5$时，两船距离超过28km，不符合题意，舍去。
因此甲、乙两船在1.6h和3.2h时相距28km。
【答案】
(1)48;32
(2)甲船在顺流中行驶的速度为24km/h，乙船在逆流中行驶的速度为16km/h。
(3)补全图象如图
，甲、乙两船在2.5h时与C港的距离相等。(4)甲、乙两船在1.6h和3.2h时相距28km。
【知识点】
一次函数的应用，分段函数，行程问题
【点评】
本题结合行程场景考查一次函数的实际应用，解题的核心是准确理解函数图象的横纵坐标、拐点的实际意义，掌握分段函数的分析方法，结合分类讨论思想求解，重点锻炼读图能力和逻辑推理能力。
【难度系数】
0.3
